1、2、3、4、5简答：时域方程、响应存在性、根轨迹、延迟与采样50 分#
思路
- 五个小问各自独立，分别把传函与微分方程、离散传函与差分方程对应起来；判断给定阶跃响应是否为二阶系统响应；判断实轴根轨迹段并用劳斯表数不稳定极点；分析纯延迟系统对任意延迟都稳定的增益范围；按采样定理由输入最高频率求最低采样频率。
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 连续传函与微分方程的对应关系
本卷实例
- 关键一步：由零初始条件下的拉氏变换关系，把输出与输入的比值写成传函，再反推微分方程
- 中间结果：分母各次幂对应输出导数的各阶系数，分子对应输入导数的各阶系数
- 卡点：零初始条件是写传函的前提；微分方程与传函的系数顺序容易按升幂抄反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过连续传函与微分方程的对应关系
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
z 变换与 z 反变换
离散控制系统
本卷考法
- 离散传函与差分方程的对应关系
本卷实例
- 关键一步：对差分方程两边取 z 变换并令零初始条件，输出与输入的 z 变换之比就是离散传函
- 中间结果：差分方程阶数等于传函分母 z 的最高次幂，各项系数按降幂一一对应
- 卡点：z 变换的延迟性质会带出超前项；指数中的采样周期 T 不要漏掉
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
- 常用函数的 z 变换要熟记
- z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
- 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
- 将连续传递函数展开为部分分式
- 逐项查表做 z 变换
- 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
- 本卷考过离散传函与差分方程的对应关系
- 求给定函数的 z 变换
- 求 z 反变换得到采样序列
- 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
- 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
- 部分分式分解时漏项导致反变换出错
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由给定阶跃响应表达式判断其是否为二阶系统响应
本卷实例
- 关键一步：把题给响应与二阶欠阻尼标准阶跃响应逐项对照，稳态值、衰减指数、振荡频率与初相都要吻合
- 中间结果：标准响应中初相由阻尼比的反余弦给出，衰减指数与振荡频率又同时约束两个参数
- 卡点：四个特征量需同时成立，只用其中两条会误判；零时刻不为零也提示不是零初值标准响应
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由给定阶跃响应表达式判断其是否为二阶系统响应
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由超调量与上升时间反求二阶系统参数
本卷实例
- 关键一步：先用超调量公式由给定超调量解出阻尼比，再把阻尼比与上升时间代入上升时间公式求自然频率
- 中间结果：本题超调量对应一个常用阻尼比，反解后自然频率由上升时间与阻尼比共同确定
- 卡点：上升时间公式的分子是 pi 减初相，不是峰值时间公式；求出的阻尼比要落在欠阻尼区间
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由超调量与上升时间反求二阶系统参数
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 确定实轴上属于根轨迹的线段并画根轨迹
本卷实例
- 关键一步：逐段数实轴右侧开环零极点的总数，为奇数则该段属于根轨迹
- 中间结果：本题无开环零点，四个重极点位于原点，实轴上只有负实轴的一段属于根轨迹
- 卡点：原点处四重极点要按重数计入，否则实轴段会判错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过确定实轴上属于根轨迹的线段并画根轨迹
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 用劳斯表数出右半平面闭环极点的个数
本卷实例
- 关键一步：写出闭环特征方程后列劳斯表，首列符号变化次数就是右半平面极点数
- 中间结果：特征方程含 s 的四次因子，劳斯表首列会出现零，需要先用 epsilon 法处理
- 卡点：首列出现零时不能直接停下列表；虚轴上的根要单独说明，不能都算不稳定极点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过用劳斯表数出右半平面闭环极点的个数
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
含纯延迟环节的系统稳定性
稳定性分析
本卷考法
- 求使含纯延迟系统对任意延迟都稳定的开环增益范围
本卷实例
- 关键一步：延迟环节幅值为一、只附加相位滞后，对任意延迟都稳定等价于幅相曲线起点位于单位圆内
- 中间结果：无延迟时幅相曲线起点在正实轴，起点到原点的距离由开环增益与静态增益决定
- 卡点：题面待求量与固定量被 OCR 吃掉，按答案段读作求增益范围、延迟任意，需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 延迟环节 e^{-τs} 的幅值为 1、相位为 -τω，只恶化相位
- 延迟会显著缩小稳定域，τ 越大越难稳定
- 频域判据需用相位裕度扣除延迟引起的附加滞后
步骤
- 写出含延迟的开环传递函数
- 分别求幅值与相位表达式
- 在相频特性中扣除 τω 的滞后量
- 按稳定裕度或奈氏判据求临界 τ 或临界 K
通用考法
- 本卷考过求使含纯延迟系统对任意延迟都稳定的开环增益范围
- 求使系统稳定的最大延迟时间
- 求含延迟系统的临界开环增益
- 分析延迟对稳定裕度的影响
常见易错
- 把延迟环节当成惯性环节处理
- 相位计算时忘记角度与弧度换算
公式
奈奎斯特判据
稳定性分析
本卷考法
- 用奈奎斯特判据分析螺旋形幅相曲线的包围情况
本卷实例
- 关键一步：先数开环右半平面极点数，再看幅相曲线对临界点的净包围圈数
- 中间结果：含延迟的幅相曲线是向内旋转的螺旋线，第一次与负实轴的交点决定稳定边界
- 卡点：无穷大半径圆弧的补画方向容易漏；包围圈数正负号容易写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过用奈奎斯特判据分析螺旋形幅相曲线的包围情况
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
采样过程与香农采样定理
离散控制系统
本卷考法
- 由输入信号最高频率确定最低采样频率
本卷实例
- 关键一步：先用倍角公式把正弦平方项化成单一频率分量，再找出所有分量中的最高角频率
- 中间结果：展开后信号含零频、三次与四次分量，最高角频率为四弧度每秒
- 卡点：答案段把最高频率当成最低采样频率，采样定理要求两倍最高频率，两种读法需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
- 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
- 采样频率不足会产生频率混叠
- 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟
步骤
- 确定信号最高频率或系统带宽
- 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
- 必要时加入前置滤波器抑制混叠
通用考法
- 本卷考过由输入信号最高频率确定最低采样频率
- 由信号最高频率确定采样周期
- 判断给定采样频率是否满足采样定理
- 说明零阶保持器的频率特性
常见易错
- 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
- 忽略零阶保持器带来的相位滞后
公式