一一、现代控制简答题#
思路
- 四个现代控制简答小题：能控性判据及离散化影响、状态反馈对能控能观与极点的影响、输出反馈的影响、观测器任意配置极点的条件与分离定理。
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 第1问：给出定常线性系统的能控性判据
本卷实例
- 关键一步：写能控判别阵再判其秩是否等于系统阶数
- 中间结果：判别阵满秩即系统完全能控
- 卡点：能控性判据与能观性判据的矩阵构造别搞混
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过第1问：给出定常线性系统的能控性判据
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过只算到 A 的 n 减 2 次幂乘 B 就下结论
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
连续系统的离散化
离散控制系统
本卷考法
- 第1问：说明离散化对系统能控性的影响
本卷实例
- 关键一步：比较连续系统与离散系统的能控判别阵
- 中间结果：能控系统离散化后可能变得不能控，反之不会
- 卡点：离散化后的能控性还与采样周期取值有关
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
- 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
- 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变
步骤
- 求连续系统的状态转移矩阵
- 把采样周期代入得到离散状态矩阵
- 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
- 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应
通用考法
- 本卷考过第1问：说明离散化对系统能控性的影响
- 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
- 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
- 计算采样点上的状态与输出序列
常见易错
- 本卷考过把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
- 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
- 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵
公式
状态反馈与极点配置
状态空间分析
本卷考法
- 第2问：说状态反馈对能控性、能观性与极点的影响
- 第2问：说系统不稳定时可通过状态反馈镇定的条件
- 第3问（借位）：说输出反馈对能控能观的影响与极点配置限制
本卷实例
- 关键一步：把状态反馈与输出反馈对能控能观和极点的作用分开答
- 中间结果：状态反馈不改变能控性，完全能控时极点可任意配置
- 卡点：输出反馈一般只能沿根轨迹移动极点，不能任意配置
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过第2问：说状态反馈对能控性、能观性与极点的影响
- 本卷考过第2问：说系统不稳定时可通过状态反馈镇定的条件
- 本卷考过第3问（借位）：说输出反馈对能控能观的影响与极点配置限制
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
公式
状态观测器设计
状态空间分析
本卷考法
- 第4问：给观测器可任意配置极点的条件并说明带观测器状态反馈的影响
本卷实例
- 关键一步：由能观测性给出观测器存在与极点任意配置的条件
- 中间结果：完全能观测则全维观测器极点可任意配置
- 卡点：不要求任意配置时不能观测子系统须渐近稳定
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过第4问：给观测器可任意配置极点的条件并说明带观测器状态反馈的影响
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 本卷考过把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式