一一、参数根轨迹与性能分析#
思路
- 结构图含可变参数 a，先画参数根轨迹，再由根轨迹求临界稳定的 a 值、稳定取值范围，以及阶跃响应有超调与无超调时 a 的范围和等幅振荡频率。
广义根轨迹与参数根轨迹
根轨迹法
本卷考法
- 以参数 a 为变量画参数根轨迹
本卷实例
- 关键一步：把特征式整理成一加 a 乘某个传递函数为零的标准形式
- 中间结果：参数根轨迹的起点与终点由原系统的开环零极点互换
- 卡点：结构图为插图，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
- 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
- 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
- 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
- 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
- 按常规根轨迹法则绘制
- 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
- 本卷考过以参数 a 为变量画参数根轨迹
- 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
- 绘制正反馈系统的零度根轨迹
- 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
- 本卷考过整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
与虚轴的交点及临界参数
根轨迹法
本卷考法
- 由根轨迹与虚轴交点求临界 a 值与稳定范围
本卷实例
- 关键一步：令特征式为零代入纯虚根求出交点频率与临界 a
- 中间结果：临界 a 把参数轴划分为稳定的区间
- 卡点：要取根轨迹落在左半平面的那段对应稳定
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过由根轨迹与虚轴交点求临界 a 值与稳定范围
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 本卷考过只代一个 omega 就下结论，漏掉另一组交点
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
由根轨迹分析性能与确定参数
根轨迹法
本卷考法
- 由根轨迹判断有无超调并求 a 的范围
本卷实例
- 关键一步：无超调对应闭环极点全为负实根，有超调对应共轭复根
- 中间结果：分离点对应有无超调的分界 a 值
- 卡点：等幅振荡频率取自虚轴交点对应的频率
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
- 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
- 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
- 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
- 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
- 求其与根轨迹的交点
- 由幅值条件求出交点对应的参数
- 由极点位置估算动态性能
通用考法
- 本卷考过由根轨迹判断有无超调并求 a 的范围
- 求满足给定阻尼比的参数值
- 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
- 分析提高增益对性能的影响
常见易错
- 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
- 把等阻尼线画成了垂直线
- 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式