1一、拉氏变换、反变换与全响应#
思路
- 三小问：微分方程取拉氏变换求传函、由传函带初值求反变换、由脉冲响应求阶跃响应
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 对微分方程取拉氏变换并写出系统传递函数
本卷实例
- 关键一步：传递函数是在零初始条件下输出与输入的拉氏变换之比，所以求传函时初值项要全部置零
- 关键一步：对每一项求拉氏变换时，导数的变换会带出初值项，写传函时必须把它们划掉
- 关键一步：整理成输出比输入后，分母就是特征多项式的各次系数
- 中间结果：本题左端是二阶导数、一阶导数与本项，右端是输入项，传函的分母是二次三项式、分子是常数
- 卡点：求传函时把初值项留着，导致多出与输入无关的项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过对微分方程取拉氏变换并写出系统传递函数
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
零极点分布与响应模态
传递函数
本卷考法
- 由传递函数求给定初始条件下的响应
本卷实例
- 关键一步：非零初值下的响应要把初值项移到方程右端当作等效输入
- 关键一步：本题给出初始输出值与初始导数，等效输入是这两个初值的组合
- 关键一步：等效输入与传函分母相乘后即为响应的拉氏变换
- 关键一步：把结果的部分分式展成两个一阶项，反变换得到两个指数模态的叠加
- 中间结果：本题等效输入的分子是一次的，部分分式后两个系数符号相反，响应在零时刻恰好等于给定初值
- 卡点：初值只代了输出值忘了导数项；或把自由响应当成零状态响应，结果在零时刻对不上初值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过由传递函数求给定初始条件下的响应
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
公式
由响应曲线反求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由零状态脉冲响应求阶跃响应并计入初值影响
本卷实例
- 关键一步：脉冲响应就是传函的拉氏反变换，所以先对给出的脉冲响应做拉氏变换得到传函
- 关键一步：阶跃响应等于传函乘输入的拉氏变换再反变换，得到零状态分量
- 关键一步：题目还给了初始条件，必须再加上由初值决定的自由响应分量，两者相加才是完整响应
- 中间结果：本题传函分子是一次式，说明微分方程右端含输入的一阶导数
- 中间结果：阶跃输入会在零时刻给状态导数带来一个跳变
- 中间结果：把零状态分量与自由分量相加后，用零时刻的值与导数的一次跳变关系可以自检
- 卡点：只给零状态响应而漏掉由初值引起的自由分量；或忽略分子带来的输入导数项，导致零时刻导数对不上
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态值决定增益 K
- 超调量只由阻尼比 ξ 决定
- 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
- 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
- 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
- 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
- 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
- 写出标准形式并补上增益
通用考法
- 本卷考过由零状态脉冲响应求阶跃响应并计入初值影响
- 由实验阶跃响应曲线求传递函数
- 由给出的性能指标反求参数
常见易错
- 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
- 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式