一一、根轨迹绘制与稳态误差#
思路
- 先按法则画 G=K/(s(s+1)(s+4)) 的根轨迹并求分离点与虚轴交点；再由型别与静态速度误差系数求阶跃加斜坡组合输入下的稳态误差
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 按绘制法则画出三极点系统的根轨迹
本卷实例
- 关键一步：由三个开环极点定实轴段、渐近线与分离点
- 中间结果：三条轨迹分支起始于极点、终止于无穷远
- 卡点：渐近线夹角公式分子是二 k 加一
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过按绘制法则画出三极点系统的根轨迹
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 本卷考过渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点
根轨迹法
本卷考法
- 求分离点并判断其取舍
本卷实例
- 关键一步：用 dK/ds 为零求分离点并只取根轨迹上的解
- 中间结果：分离点处的增益为实根段的临界值
- 卡点：解得的另一个根不在根轨迹上要舍去
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
- 分离点必满足 dK/ds=0
- 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
- 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
- 令 dK/ds=0 得分离点方程
- 解方程并用实轴段判据筛选
- 代回求分离点处的 K 值
通用考法
- 本卷考过求分离点并判断其取舍
- 求根轨迹的分离点坐标
- 确定分离点处的临界增益
- 判断解的取舍
常见易错
- 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
- 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
- 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
与虚轴的交点及临界参数
根轨迹法
本卷考法
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
本卷实例
- 关键一步：令闭环特征式等于零求根轨迹与虚轴交点
- 中间结果：由劳斯表全零行写出辅助方程定交点与临界增益
- 卡点：临界增益处系统出现等幅振荡
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 本卷考过只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 求阶跃加斜坡组合输入下系统的稳态误差
本卷实例
- 关键一步：按叠加原理分别求阶跃与斜坡分量的稳态误差
- 中间结果：一型系统对阶跃无差、对斜坡的误差为速度误差系数倒数
- 卡点：要先用根轨迹结果判稳再算稳态误差
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过求阶跃加斜坡组合输入下系统的稳态误差
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 本卷考过输入为组合信号时漏掉某一分量
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式