1一、RLC频响与二阶系统性能指标#
思路
- 由RLC电路在给定频率处的幅值与相角反求传递函数；再由二阶闭环传递函数分母与标准形式对照，读出自然频率与阻尼比后求谐振频率与谐振峰值
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由RLC电路的频率特性反求系统传递函数
本卷实例
- 关键一步：按电路结构列出以元件参数表示的传递函数形式
- 关键一步：把给定角频率处的幅值与相角条件代入，建立待定参数方程
- 中间结果：源文给出角频率10rad/s处幅值为1、相角为负90度
- 卡点：RLC电路为原卷插图，元件串并联关系需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由RLC电路的频率特性反求系统传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
由响应曲线反求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由指定频率点的幅值与相角反求传递函数参数
本卷实例
- 关键一步：幅值与相角各提供一个条件，与待定元件参数个数对应后联立求解
- 中间结果：相角为负90度可用来判断积分环节或一阶微分环节的个数
- 卡点：频率点幅值两种源文的印法不一致，取值需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态值决定增益 K
- 超调量只由阻尼比 ξ 决定
- 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
- 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
- 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
- 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
- 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
- 写出标准形式并补上增益
通用考法
- 本卷考过由指定频率点的幅值与相角反求传递函数参数
- 由实验阶跃响应曲线求传递函数
- 由给出的性能指标反求参数
常见易错
- 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
- 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传递函数系数求自然频率与阻尼比
本卷实例
- 关键一步：把分母与二阶标准形式逐项对照，常数项开方得自然频率
- 关键一步：一次项系数与自然频率之比的一半即为阻尼比
- 中间结果：分母一次项系数为1、常数项为25，据此可得自然频率与阻尼比
- 卡点：阻尼比小于1才属欠阻尼，才能继续求谐振频率与谐振峰值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传递函数系数求自然频率与阻尼比
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
闭环频率特性与性能指标
频域分析
本卷考法
- 由阻尼比与自然频率求谐振频率与谐振峰值
本卷实例
- 关键一步：谐振频率在自然频率基础上乘根号内一减二倍阻尼比平方
- 关键一步：谐振峰值按阻尼比的表达式计算，只对欠阻尼有定义
- 中间结果：阻尼比很小时根号内的量为正，谐振频率略小于自然频率
- 卡点：阻尼比大于等于0.707时不出现谐振峰，公式不再适用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
- 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
- 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
- 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性
步骤
- 由开环频率特性求闭环频率特性
- 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
- 按经验公式估计超调量与调节时间
通用考法
- 本卷考过由阻尼比与自然频率求谐振频率与谐振峰值
- 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
- 由 Mr 估算超调量
- 分析带宽与响应速度的关系
常见易错
- 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
- 把开环谐振与闭环谐振混为一谈
公式