一一、机械位移系统建模与不振荡条件12 分#
思路
- 由牛顿第二定律列机械位移系统微分方程并整理为传递函数，再由系统不振荡条件确定阻尼系数的取值范围。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由牛顿第二定律列弹簧质量阻尼系统微分方程
本卷实例
- 关键一步：把合力写成输入力减弹簧力再减阻尼力
- 关键一步：按质量乘加速度列方程
- 中间结果：得到二阶线性微分方程
- 卡点：阻尼力与弹簧力方向取反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过由牛顿第二定律列弹簧质量阻尼系统微分方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由微分方程在零初始条件下求传递函数
本卷实例
- 关键一步：对方程两边取拉氏变换
- 关键一步：按输出比输入整理成s的有理分式
- 中间结果：分母由质量弹簧阻尼参数组成
- 卡点：未用零初始条件
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由微分方程在零初始条件下求传递函数
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由不振荡条件确定阻尼系数的取值范围
本卷实例
- 关键一步：把特征方程化标准二阶形式
- 关键一步：要求阻尼比大于等于1
- 中间结果：不振荡条件化为f的不等式
- 卡点：把临界阻尼与欠阻尼边界取反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由不振荡条件确定阻尼系数的取值范围
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式