一一、比例与积分控制下的稳态误差与动态性能17 分#
思路
- 对同一对象分别采用比例与积分控制器，比较稳态误差与动态指标，并由超调量要求反求积分增益范围，最后选择改善调节时间的典型环节。
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传函化标准二阶形式求阻尼比与自然频率
本卷实例
- 关键一步：把s平方项系数归一化
- 关键一步：与标准二阶形式比对系数
- 中间结果：ξ与ωn由控制器参数决定
- 卡点：未归一化就读出ξ与ωn
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传函化标准二阶形式求阻尼比与自然频率
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 求单位阶跃下的超调量与调节时间
本卷实例
- 关键一步：由ξ与ωn代入指标公式
- 关键一步：按误差带取调节时间系数
- 中间结果：动态指标随控制器参数变化
- 卡点：两种误差带的系数混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过求单位阶跃下的超调量与调节时间
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 求比例与积分控制下单位阶跃的稳态误差
本卷实例
- 关键一步：先判稳再比较开环型别
- 关键一步：比例控制误差有限，积分控制消除阶跃误差
- 中间结果：误差与开环静态增益相关
- 卡点：未判稳直接代入误差公式
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过求比例与积分控制下单位阶跃的稳态误差
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
由性能指标要求反求参数
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由超调量小于给定值反求积分增益k的范围
本卷实例
- 关键一步：把超调量要求转为阻尼比下界
- 关键一步：再代入ξ与k的关系解不等式
- 中间结果：超调量约束化为k的区间
- 卡点：把阻尼比不等号方向取反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
- 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
- 指标之间往往相互制约，需权衡取舍
步骤
- 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
- 在参数平面上画出各不等式的可行域
- 取交集并选取合适的参数值
- 回代验证全部指标是否满足
通用考法
- 本卷考过由超调量小于给定值反求积分增益k的范围
- 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
- 求满足指标要求的参数取值范围
- 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
- 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
- 把 ξ 的可行域方向取反
公式
PID 控制器与参数整定
系统校正
本卷考法
- 选择能改善调节时间的典型环节
本卷实例
- 关键一步：比较比例与积分控制对响应速度的作用
- 关键一步：引PI并引入零点改变闭环极点
- 中间结果：增加零点可缩短调节时间
- 卡点：把PI的相位影响说成超前
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 比例项提高快速性但存在稳态误差
- 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
- 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
- PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正
步骤
- 按误差类型选择需要引入的环节
- 先调比例再调积分最后调微分
- 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
- 本卷考过选择能改善调节时间的典型环节
- 设计 PID 控制器满足给定指标
- 分析各参数变化对系统性能的影响
- 说明微分项对噪声的影响
常见易错
- 把 PI 的相位影响说成超前
- 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式