1一、弹簧质量系统的传递函数15 分#
思路
- 对硬质杆与两质量块分别列力矩平衡与牛顿方程，在小角度下线性化，消去中间变量得 M2 位移 x 对力 f 的传递函数。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 对刚性杆与质量块组合系统列力与力矩平衡方程
本卷实例
- 关键一步：分别对硬质杆列转动方程、对 M2 列平动方程
- 中间结果：两方程通过弹簧的伸长量耦合
- 卡点：水平硬质杆结构图以插图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过对刚性杆与质量块组合系统列力与力矩平衡方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 本卷考过多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 在小角度处对几何非线性关系作线性化
本卷实例
- 关键一步：取小角度正弦约等于角度、余弦约等于一化简方程
- 中间结果：弹簧伸长量与 M2 位移的关系线性化
- 卡点：题给 a 等于 b 等于 c 的几何关系要代入化简
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过在小角度处对几何非线性关系作线性化
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 本卷考过未先求平衡点就直接展开
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由机械系统运动方程求位移对力的传递函数
本卷实例
- 关键一步：对线性化方程组取拉氏变换并消去转角变量
- 中间结果：整理得位移对力的有理分式
- 卡点：输入为力 f、输出为 M2 位移 x
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由机械系统运动方程求位移对力的传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 本卷考过阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式