哈尔滨工业大学 801 自动控制原理 2025 年真题思维导图
985 院校共 10 题合计 150 分
难度：较难 10 题覆盖全科，从建模到状态空间；含 Nyquist 判据证明题与两道非线性大题
1物理系统建模15 分#
思路
- 先按物理定律把两个子系统的方程列全，再消去中间变量写成 Q(s)/T(s)；不要急着套典型环节
本卷考法
- 由实际物理装置求输入输出传递函数 Q(s)/T(s)
本卷实例 P1 图1、图2
- 关键一步：两幅图是两个子系统，各自按物理定律列方程后再串联消元，不能直接相乘
- 关键一步：先找出真正的中间变量（流量/电流/位移），全部消掉才得到 Q(s)/T(s)
- 中间结果：分母阶数 = 系统独立储能元件个数，可用来反查有没有漏列方程
- 卡点：漏掉一路反馈或耦合项会让阶次少 1，且后面无法补救
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由实际物理装置求输入输出传递函数 Q(s)/T(s)
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
本卷实例 P1 图1、图2
- 关键一步：按牛顿第二定律或物料平衡逐项写力/流量，同向取正反向取负
- 中间结果：按力矩平衡列 JQ̈+fQ̇=T，Q 为轴转角、f 为粘性阻尼系数
- 卡点：漏掉粘性阻尼项 fQ̇ 会把模型降阶
- 卡点：图 2 的 K 是纯比例环节，不改变超调百分比
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过机械/流体类装置受力或物料平衡后建模
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
2二阶系统指标与稳态误差15 分#
思路
- ξ 只决定超调、ξωn 决定调节时间；稳态误差把「ξ=0.7」和「ess=0.25」翻译成两个方程联立求 K、a
本卷实例 P1 图3
- 关键一步：先把闭环特征方程与 s²+2ξωn s+ωn² 逐项比对
- 关键一步：直接读出 2ξωn、ωn² 与 K、a 的关系
- 中间结果：2ξωn 和 ωn² 都是 K、a 的函数 → 两个方程解两个未知数
- 卡点：先把 s² 项系数归一化再比对，否则 ξ 会算错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传函求 ωn 与 ξ
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
本卷实例 P1 图3
- 关键一步：ξ 只由超调量决定，是本题的突破口；ξωn 由调节时间决定
- 中间结果：由 ess=0.25 反推的是开环增益而不是闭环参数，注意别混
- 卡点：调节时间的 2%/5% 两个系数题目给了哪个就用哪个
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由超调量与调节时间反求 K、a
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
本卷实例 P1 图3
- 关键一步：先定型别（看开环积分环节个数），再选对应的静态误差系数公式
- 中间结果：开环化简为 K/[s(s+2+Ka)]，速度误差系数 Kv=K/(2+Ka)
- 卡点：求 ess 时 Kv 的分母含 2+Ka，漏掉 a 的贡献会算错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过由稳态误差指标反求开环增益
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
本卷实例 P1 图3
- 关键一步：把图示的指标要求翻译成对 ξ 与 ωn 的不等式，再在 K-a 平面上取交集
- 中间结果：题图阴影区折算为 1/2<ξ<√3/2 且 1<ωn<2 两组不等式
- 卡点：各不等式取交集时端点开闭容易写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳定条件是一组关于参数的不等式
- 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
- 稳定域是不等式组的交集
步骤
- 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
- 逐个解不等式并取交集
- 检查端点是否为临界稳定
通用考法
- 本卷考过求满足图示要求的 K、a 范围
- 求使系统稳定的参数上界或下界
- 判断某参数取值是否满足稳定要求
- 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
- 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
- 取交集时把端点是否包含搞错
3Nyquist 判据及证明15 分#
思路
- 证明题要顺着「辐角原理 → 映射曲线 → Z=N+P」的逻辑链写，不能只背结论
本卷实例 P1
- 关键一步：证明的骨架是辐角原理：F(s) 在围线内零点数 − 极点数 = 曲线绕原点的圈数
- 关键一步：取 F(s)=1+G(s)H(s)，把绕原点圈数换算成绕 (−1,j0) 的圈数
- 关键一步：由此得 Z=N+P
- 中间结果：F(s) 的极点就是开环极点（P 的来源），零点就是闭环极点（Z 的含义）
- 卡点：只写结论不解释 P 为什么是开环右半平面极点数，证明题拿不到分
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过简述 Nyquist 判据并用辐角原理证明
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
4频域判稳与闭环极点15 分#
思路
- 给的是 G(s) 的 Nyquist 曲线而非表达式，只能用曲线数包围圈数；第 3 问求闭环极点要先判稳再确定 Z
本卷考法
- 由图判断稳定时 K 的取值范围
- 指出闭环右半平面极点个数
本卷实例 P2 图5、图6
- 关键一步：题目说 G(s) 是无比例环节的稳定最小相位环节 → P=0，于是 Z=N
- 关键一步：K 是纯放大倍数：不改变相频，只把曲线整体按比例缩放
- 关键一步：不同 K 的曲线就是同一形状按倍数伸缩
- 中间结果：稳定 ⇔ Z=0 ⇔ 曲线不包围 (−1,j0)，由此把 K 卡在两个临界值之间
- 卡点：包围圈数方向（逆时针为正）写反，结论会整体反过来
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过由图判断稳定时 K 的取值范围
- 本卷考过指出闭环右半平面极点个数
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
本卷实例 P2 图5、图6
- 关键一步：先看型别：由曲线在低频的走向判断有无积分环节，再决定用 K_v 还是 K_a
- 中间结果：先由 Nyquist 曲线低频段定系统型别 v，再选 K_v 或 K_a 公式
- 卡点：该题 G(s) 未给表达式，型别只能从曲线低频段判断
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过K=1.5、r(t)=20t 时求 ess
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
本卷实例 P2 图5、图6
- 关键一步：由上一问已知 Z=2（两个右半平面闭环极点），再结合已知的开环极点数凑出全部闭环极点
- 中间结果：闭环极点总数等于开环极点数，已知 2 个在右半平面，其余可用根之和凑
- 卡点：K 取超临界值时系统已不稳定，仍按稳定系统的思路凑极点会矛盾
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过K=3 时求闭环极点
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
5稳定裕度与串联校正15 分#
思路
- 第 1 问由 ωc=1 反求 K 再算 γ；第 2 问 Mr 限制本质是阻尼比限制，用超前校正把 γ 抬起来
本卷实例 P2
- 关键一步：ωc 的定义就是 |G0(jωc)|=1，把 ωc=1 代进幅值式直接解出 K
- 关键一步：再把该 ωc 代进相频式求 ∠G，γ=180°+∠G
- 中间结果：G0(s)=K/(s(√3s+1)(0.01s+1))
- 中间结果：在 ω=1 处 |G0(j)|=K/(1·2·√(1+0.0001))≈K/2
- 卡点：√3s 项在 ω=1 处是 √3·j 不是 j，模要取 2 不是 1
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过由剪切频率求开环增益 K 与相位裕度
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
本卷实例 P2
- 关键一步：Mr 与 ξ 有解析关系，Mr≤√2 等价于 ξ 不小于某个下限，再换算成 γ 的下限
- 中间结果：ξ≈0.707 时 Mr≈1.414=√2，这是本题的临界点
- 卡点：Mr 与 γ 的换算只对高阶系统近似成立，别与二阶 ξ 关系混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
- 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
- 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
- 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性
步骤
- 由开环频率特性求闭环频率特性
- 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
- 按经验公式估计超调量与调节时间
通用考法
- 本卷考过由 Mr≤√2 折算对 ξ 或 γ 的要求
- 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
- 由 Mr 估算超调量
- 分析带宽与响应速度的关系
常见易错
- 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
- 把开环谐振与闭环谐振混为一谈
本卷实例 P2
- 关键一步：把「γ 差多少」作为需要补偿的超前角，而不是直接对 Mr 下手
- 中间结果：先把 Mr 要求折算成目标相角裕度，再按补偿角选校正装置类型
- 卡点：超前校正会抬高剪切频率，算补偿角时必须扣除新 ωc 处的额外相位损失
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
- 会使截止频率提高，响应加快
- 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
- 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显
步骤
- 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
- 由最大超前角公式求 α
- 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
- 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
- 本卷考过设计校正网络满足最大谐振峰值要求
- 设计串联超前校正装置
- 计算校正后的相角裕度与截止频率
- 分析超前校正的局限性
常见易错
- 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
- α 的取值与超前角公式方向取反
6根轨迹与纯虚根15 分#
思路
- G(s)=K(1-s)/(s(s+2)) 含右半平面零点，根轨迹形状反常；纯虚根就令 s=jω 代特征方程
本卷实例 P2
- 关键一步：零点 z=+1 在右半平面 → 实轴上根轨迹段要重新用「右侧零极点总数为奇数」判
- 关键一步：n−m=1，只有一条渐近线，方向是 180°
- 中间结果：特征方程 s²+(2−K)s+K=0，复根部分是以 (1,0) 为圆心的圆
- 卡点：右半平面零点会让根轨迹向右弯曲，不能按直觉把轨迹画在左半平面
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过绘制含右半平面零点的根轨迹
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
本卷实例 P2
- 关键一步：令 s=jω 代入特征方程，实部与虚部分别为零得两个方程，解出 ω 与 K
- 中间结果：特征方程 s²+2s+K(1−s)=0 整理为 s²+(2−K)s+K=0
- 中间结果：纯虚根条件可由常数项与一次项的关系直接读出
- 卡点：只有一组解也算完；要顺带回答 K 超过该值后系统是否稳定
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过用根轨迹法确定出现纯虚根时的 K
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
7非线性系统自振分析15 分#
思路
- 把非线性环节等效开环整理成 1+N(A)G₁(s)[1+H₁(s)]=0，再用 -1/N(A) 与 G(jω) 求交点
本卷实例 P2 图7
- 关键一步：先做等效变换，把非线性与线性部分整理成 1+N(A)·G_eq(s)=0
- 关键一步：G_eq(s) = G(s)[1+H₁(s)]，把 H₁(s)=K−1 代进去化简
- 中间结果：N(A)=(A+2)/(A+4) 是 A 的实函数
- 中间结果：负倒特性 −1/N(A) 落在负实轴上，不含虚部
- 卡点：H₁(s)=K−1 是个常数增益，不能当成频率相关环节处理
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
- 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
- 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
- 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
- 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
- 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
- 按定义求描述函数 N(A)
- 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
- 本卷考过由给定 N(A) 与 H₁(s) 写出等效开环
- 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
- 说明描述函数法的适用条件
- 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
- 把描述函数当成频率的函数
- 忽略一次谐波近似带来的误差条件
本卷考法
- 讨论 K 对稳定性的影响
- 求自振频率 ω 与幅值 A
本卷实例 P2 图7
- 关键一步：K 出现在 H₁ 与 G(s) 的分子上
- 关键一步：改变 K 会同时改变幅值条件与 −1/N(A) 的相对位置
- 关键一步：自振点由 −1/N(A) 与 G_eq(jω) 的交点给出
- 关键一步：因 −1/N(A) 是实数，交点纵坐标必为 0
- 中间结果：由虚部为零先解出 ω，再由实部相等解出 A
- 卡点：只画 N(A) 不画 −1/N(A)，交点位置会整个错掉
- 卡点：求出 A 后要回头验证 A 的增大方向是否指向稳定侧
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
- 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
- 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
- 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
- 求线性部分的频率特性 G(jω)
- 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
- 在同一复平面上画两条曲线并求交点
- 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A
通用考法
- 本卷考过讨论 K 对稳定性的影响
- 本卷考过求自振频率 ω 与幅值 A
- 判断系统是否产生自持振荡
- 求自振频率与自振幅值
- 分析参数变化对自振的影响
常见易错
- 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
- 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
- 把交点频率当成截止频率
8离散系统稳定性与稳态误差15 分#
思路
- 先把 G₁(s) 连同零阶保持器一起 z 变换，再求闭环脉冲传函；判稳用 w 变换套劳斯
本卷实例 P3 图8
- 关键一步：G₁(s)=K(1+s)/s² 要先做部分分式再逐项查 z 变换表
- 关键一步：G_D(z)=1 说明数字控制器是直通，闭环结构就是最简单位反馈
- 中间结果：1/s² 对应 Tz/(z−1)²，1/s 对应 z/(z−1)
- 中间结果：两者组合后分子会带上 (z+1)
- 卡点：T=0.25 要真正代进数值，不能保留符号
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
- 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
- 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
- G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
- 确定采样开关位置并画出离散化结构图
- 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
- 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
- 本卷考过求闭环脉冲传递函数
- 求开环或闭环脉冲传递函数
- 比较不同采样开关位置对结果的影响
- 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
- 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
- 忘记把零阶保持器计入 G(z)
本卷实例 P3 图8
- 关键一步：得到特征方程后做 w 变换 z=(1+w)/(1−w)，再用劳斯判据
- 关键一步：也可以直接求特征根模并令 |z|<1
- 中间结果：闭环特征方程 z²+(0.22K−2)z+1−0.18K=0，用朱利判据卡 K
- 卡点：w 变换后判据是劳斯表首列大于零，别与 z 平面条件混着用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
- 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
- w 变换把单位圆内映射到左半平面
- 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
- 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
- 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
- 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
- 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
- 本卷考过求系统稳定时 K 的范围
- 判断离散系统是否稳定
- 求使系统稳定的采样周期或增益范围
- 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
- 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
- w 变换公式记错导致映射关系颠倒
本卷实例 P3 图8
- 关键一步：输入有三个分量，按离散系统型别分别判断哪些分量有差、哪些无差
- 关键一步：用终值定理 e_ss = lim(z→1)(1−z⁻¹)E(z)
- 中间结果：1+t+t² 逐项 z 变换：1 对应 z/(z−1)
- 中间结果：t 对应 Tz/(z−1)²，t² 对应 T²z(z+1)/(2(z−1)³)
- 卡点：必须先用上一问的稳定条件确认 K=5 时系统是稳定的，否则终值定理不成立
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
- 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
- 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
- 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
- 求误差脉冲传递函数
- 数出 z=1 处极点重数确定型别
- 查表或用终值定理求稳态误差
- 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
- 本卷考过r(t)=1+t+t² 时求稳态误差
- 求离散系统在典型输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
- 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
- 未判稳就用终值定理
9非线性系统奇点与极限环15 分#
思路
- 先把方程组写成 r' = r(r²−4)(r²−1) 这类极坐标形式，看各球面上 r' 的符号
本卷实例 P3
- 关键一步：方程右端是 x₁、x₂、x₃ 的齐次组合 → 换到球坐标，令 r²=x₁²+x₂²+x₃²
- 关键一步：三个平衡点由 r=0 与 r²=4、r²=1 给出
- 中间结果：r=0 是平衡点；球面 r=2 与 r=1 上的点也是平衡点
- 卡点：只在直角坐标下硬算会看不出结构，必须先换极坐标
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
- 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
- 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
- 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
- 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
- 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
- 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
- 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
- 本卷考过判断奇点状态
- 画出给定初始条件下的相轨迹
- 判断奇点类型与稳定性
- 分析极限环的存在与形态
本卷实例 P3
- 关键一步：对 r'=r(r²−4)(r²−1) 分区间判号
- 关键一步：r<1 与 r>2 时 r'>0（向外），1<r<2 时 r'<0（向内）
- 中间结果：两侧符号都指向 r=2，故 r=2 是稳定极限环
- 中间结果：两侧符号都背离 r=1，故 r=1 是不稳定极限环
- 卡点：符号判反会把稳定/不稳定极限环对调
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 非线性系统只有局部稳定性概念，与初始条件有关
- 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
- 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
- 用描述函数或相平面结果指导参数选择
步骤
- 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
- 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
- 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
- 重新分析确认自振消除或幅值达标
通用考法
- 本卷考过判断是否存在极限环
- 提出消除自振的工程措施
- 分析增益变化对极限环幅值的影响
- 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊
常见易错
- 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
- 把不稳定极限环误判为可观测的自振
10状态反馈与观测器15 分#
思路
- 先判能控，再按 ξ、ωn 写期望极点，比较特征多项式解 K；观测器极点取 -10、-10 求 L
本卷实例 P3
- 关键一步：A=[[0,1],[0,−1]]、B=[0,1]ᵀ 是能控标准型，可直接套极点配置公式
- 关键一步：ξ=√2/2、ωn=√2 → 期望极点 s=−1±j1
- 中间结果：期望特征多项式 (s+1)²+1 = s²+2s+2
- 中间结果：再与 det(sI−A+BK) 比对求 K
- 卡点：A 的第二行是 −1 不是 0，比对系数时容易漏掉这个常数项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过由 ξ、ωn 折算期望极点并设计状态反馈 K
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
本卷考法
- 设计全维状态观测器，极点配置到 −10、−10
- 写出含观测器的状态方程与输出方程
本卷实例 P3
- 关键一步：观测器误差动态由 A−LC 决定
- 关键一步：把期望多项式 (s+10)² 与 det(sI−A+LC) 比对求 L
- 关键一步：第 3 问要把 x̂ 的状态方程与 y、u 的表达式一并写出，形成完整闭环描述
- 中间结果：C=[1,0] → L 的第二个分量不出现在 sI−A+LC 里，需要靠第二列实现极点配置
- 卡点：观测器极点取 −10、−10 比系统极点快 10 倍左右，说明这是工程惯例，可顺带回答
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过设计全维状态观测器，极点配置到 −10、−10
- 本卷考过写出含观测器的状态方程与输出方程
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
本卷实例 P3
- 关键一步：算 Qc=[B AB] 的行列式，非零才可以说极点可任意配置
- 中间结果：A=[[0,1],[0,−1]]、B=[0,1]ᵀ，Qc=[B AB] 为二阶方阵
- 卡点：Qc 的秩等于系统阶数才完全能控；秩亏时不能任意配置极点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过动手前先验证能控性
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
