长沙理工大学 825 自动控制原理 2025 年真题思维导图

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难度：中等偏易　全卷按题号 1~23 连续编号：前 16 题为选择与填空小问，覆盖基本概念与离散基础；后 7 题为计算与分析大题，涵盖结构图、参数根轨迹、频域校正、离散脉冲传函、状态空间与非线性线性化

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1闭环频域性能指标#

思路

• 填空题：问反映闭环频域性能的指标有哪些

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 列举反映闭环频域性能的指标

本卷实例

• 关键一步：从闭环幅频曲线的特征量入手找指标
• 中间结果：带宽、谐振频率与谐振峰值构成闭环频域三指标
• 卡点：开环截止频率不属于闭环频域性能指标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过列举反映闭环频域性能的指标
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 本卷考过把开环指标与闭环指标混为一谈
• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

2Ⅱ型系统低频渐近线斜率#

思路

• 填空题：问Ⅱ型系统对数幅频低频段渐近线的斜率

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由系统型别写出开环对数幅频低频段斜率

本卷实例

• 关键一步：按开环积分环节个数决定低频段斜率
• 中间结果：每个积分环节贡献负二十 dB/dec
• 卡点：型别数等于积分环节个数，不是开环极点数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由系统型别写出开环对数幅频低频段斜率
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过低频段起始高度漏乘型别对应的负斜率
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由开环积分环节个数判断系统型别

本卷实例

• 关键一步：数清原点处开环极点的重数
• 中间结果：有两个积分环节即为Ⅱ型系统
• 卡点：型别只由积分环节个数决定，与增益无关

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由开环积分环节个数判断系统型别
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

3闭环传递函数的错误说法判断#

思路

• 选择题：给出闭环传函，判断闭环增益、阻尼、稳定性、开环零点四项中哪个说法错误

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 由闭环传函读出增益、极点与开环零点

本卷实例

• 关键一步：先把闭环传函化成尾一标准形式
• 中间结果：尾一形式的常数项即闭环增益
• 卡点：开环零点要由闭环传函反推开环传函后才能判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过由闭环传函读出增益、极点与开环零点
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 本卷考过把闭环增益直接当成开环增益
• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由分母系数判断系统的阻尼状态

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征式对照典型二阶形式定阻尼比
• 中间结果：由阻尼比大于一或等于一区分过阻尼与临界阻尼
• 卡点：阻尼比大于一时为过阻尼，等于一时为临界阻尼

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由分母系数判断系统的阻尼状态
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过只比较两个实根大小却不看相等情形
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

4根轨迹相同的条件#

思路

• 填空/选择：问两系统根轨迹相同，则它们一定共有哪些量

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 说明根轨迹的起点、终点与形状由哪些量决定

本卷实例

• 关键一步：从根轨迹的幅相条件出发找共同决定量
• 中间结果：根轨迹相同意味着开环零极点与闭环极点都相同
• 卡点：根轨迹描述闭环极点随增益移动，起点是开环极点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过说明根轨迹的起点、终点与形状由哪些量决定
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 本卷考过把开环极点与闭环极点混为一谈
• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

5由相频反求角频率#

思路

• 选择题：已知频率特性表达式与相角为负六十度，反求角频率

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由相频表达式反求给定相角处的角频率

本卷实例

• 关键一步：把频率特性看成两个一阶惯性环节之积
• 中间结果：相角等于负二倍的反正切
• 卡点：解出正切值后要取符合条件的正频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由相频表达式反求给定相角处的角频率
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过反正切漏乘环节重数
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

6温度控制系统的被控量#

思路

• 选择题：由电热丝电压控制加热炉温度的系统，指认被控量

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 在温度控制系统中指认被控对象与被控量

本卷实例

• 关键一步：先分清执行机构、操纵量与被控对象
• 中间结果：电热丝与电压属于执行环节，炉温才是被控量
• 卡点：被控对象是加热炉本体，被控量是炉温

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过在温度控制系统中指认被控对象与被控量
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过把执行机构或操纵量误当被控量
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

7特征根分布与阻尼状态#

思路

• 选择题：二阶系统闭环特征根为一对相等负实根时的阻尼状态

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环极点分布判断阻尼状态

本卷实例

• 关键一步：按根在复平面上的位置对阻尼分类
• 中间结果：一对相等负实根对应临界阻尼
• 卡点：无阻尼是一对纯虚根，不要与临界阻尼混淆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环极点分布判断阻尼状态
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过把两个不等负实根也判成临界阻尼
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

8离散系统稳定域#

思路

• 选择题：线性定常离散系统在 z 平面的稳定域

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 指出离散系统在 z 平面的稳定区域

本卷实例

• 关键一步：用 z 等于 e 的 sT 次幂做平面映射
• 中间结果：s 左半平面映射到 z 平面的单位圆内
• 卡点：离散稳定看模长小于一，不是看实部

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过指出离散系统在 z 平面的稳定区域
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

9脉冲序列转连续信号的器件#

思路

• 选择题：把脉冲序列恢复为连续信号所用的器件

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 指认采样与信号恢复两个环节的器件

本卷实例

• 关键一步：按信号流向区分采样、保持与放大
• 中间结果：采样器把连续变离散，保持器把离散变连续
• 卡点：零阶保持器还会引入半个采样周期的相位滞后

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过指认采样与信号恢复两个环节的器件
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 本卷考过把采样器与保持器的作用说反
• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

10不可观测时的参数取值#

思路

• 填空题：由二阶系统的能观判别矩阵奇异，求参数 a

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 由能观判别矩阵的秩求使系统不可观测的参数

本卷实例

• 关键一步：按输出矩阵与状态矩阵乘出能观判别矩阵
• 中间结果：判别矩阵行列式为零对应系统不完全能观
• 卡点：能观判别矩阵是输出阵在上、乘积在下

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过由能观判别矩阵的秩求使系统不可观测的参数
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过能控与能观判别矩阵的构造方式搞混
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

11惯性环节与一阶微分环节识别#

思路

• 填空题：由开环传函读惯性环节时间常数，并指认分子一次因子对应的环节

典型环节及其特性 传递函数

本卷考法

• 由传递函数识别典型环节及时间常数

本卷实例

• 关键一步：把分母各因式化为尾一形式提取时间常数
• 中间结果：分母一次因子对应惯性环节，分子一次因子对应一阶微分环节
• 卡点：惯性时间常数取尾一形式分母常数项与原系数的比值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 六种典型环节：比例、积分、微分、惯性、振荡、延迟
• 惯性环节由时间常数 T 描述，T 越小响应越快
• 振荡环节由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 共同描述
• 延迟环节只改变相位，不改变幅值

步骤

• 把传递函数分解为若干典型环节的乘积
• 逐环节写出幅频与相频表达式
• 按环节类型判断对系统性能的影响

通用考法

• 本卷考过由传递函数识别典型环节及时间常数
• 指出给定传递函数由哪些典型环节串联组成
• 由阶跃响应曲线或 Bode 图识别环节类型
• 比较两个系统的时间常数大小

常见易错

• 本卷考过把一阶微分环节与纯微分环节混为一谈
• 把一阶微分环节 (τs+1) 与纯微分环节 s 混为一谈
• 把延迟环节的相位滞后误当作幅值衰减

公式

12幅频与相频特性表达式#

思路

• 由 G=3/(s²(s+2)) 写出幅频特性与相频特性

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求含重积分环节传函的幅频与相频表达式

本卷实例

• 关键一步：令 s 等于 jω 后分子分母分别取模与取相角
• 中间结果：幅频为分子模除以分母模，相频为各环节相角之和
• 卡点：两个积分环节贡献固定的负一百八十度相角

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求含重积分环节传函的幅频与相频表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过积分环节贡献的相角漏乘重数
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

13最小相位二阶振荡环节#

思路

• 填空：二阶振荡环节为最小相位时阻尼比满足什么条件，并写转折频率与高频渐近线斜率

典型环节的对数频率特性 频域分析

本卷考法

• 写出二阶振荡环节的对数幅频转折频率与高频斜率

本卷实例

• 关键一步：把振荡环节化成尾一标准形式
• 中间结果：转折频率为自然频率，高频段每十倍频下降四十 dB
• 卡点：标准二阶振荡环节高频斜率由阻尼比的二次项贡献

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
• 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
• 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
• 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高

步骤

• 把传递函数分解为典型环节乘积
• 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
• 代数相加得到总特性

通用考法

• 本卷考过写出二阶振荡环节的对数幅频转折频率与高频斜率
• 画出某一典型环节的 Bode 图
• 由 Bode 图识别环节类型
• 说明转角频率处的幅值与相角

常见易错

• 本卷考过把高频渐近线斜率写成负二十
• 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
• 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 由最小相位条件确定阻尼比的取值范围

本卷实例

• 关键一步：令特征方程的两个根都落在左半平面
• 中间结果：阻尼比大于零时特征根实部为负
• 卡点：最小相位要求零极点都在左半平面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过由最小相位条件确定阻尼比的取值范围
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 本卷考过把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

14水位控制系统的分类#

思路

• 填空题：按输入信号分类，水箱水位控制属于哪类系统

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 按输入信号形式对控制系统分类

本卷实例

• 关键一步：看设定值是否随时间变化
• 中间结果：水位保持恒定设定值属于恒值控制系统
• 卡点：随动与程序控制的输入都是时间函数，与恒值相对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过按输入信号形式对控制系统分类
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过把恒值控制与随动控制混为一谈
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

15能观性定义#

思路

• 填空题：描述输出量能否确定全部状态变量的能力叫什么

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 写出能观性的定义

本卷实例

• 关键一步：从输出及其各阶导数能否反推状态入手
• 中间结果：由输出可唯一确定初始状态即系统能观
• 卡点：能观性关注输出对状态的反映，与输入无关

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过写出能观性的定义
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过把能观性与能控性的定义写反
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

16由误差响应求阻尼比与稳态误差#

思路

• 由单位阶跃下的误差响应反求闭环传函，识别二阶参数并算稳态误差

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由误差响应识别二阶系统的阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：先由误差响应写出输出响应再取拉氏变换
• 中间结果：由输出响应拉氏变换反推出闭环传函
• 卡点：误差等于输入减输出，单位阶跃下要把常数项补全

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由误差响应识别二阶系统的阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过把误差响应直接当成输出响应
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由误差传函求单位阶跃作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：写出误差传函后对阶跃输入取终值
• 中间结果：误差传函分子保留一个 s 因子使阶跃误差为零
• 卡点：只有闭环稳定时终值定理才成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由误差传函求单位阶跃作用下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就直接使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

17结构图化简与扰动不变性#

思路

• 图1：求闭环传函；并求使扰动对输出无影响的补偿环节 H(s)

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求参考输入与扰动同时作用下的输出传函

本卷实例

• 关键一步：分别令参考与扰动单独作用列传函再叠加
• 中间结果：总输出为两路传函的加权和
• 卡点：题图1的连接关系需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求参考输入与扰动同时作用下的输出传函
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 本卷考过求扰动传函时没有把参考输入置零
• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由结构图列写闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按反馈回路的信号流向写出闭环式
• 中间结果：闭环分母化为一加回路增益
• 卡点：通道增益的符号随比较点极性改变

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由结构图列写闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 本卷考过负反馈分母写成开环减一
• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

18参数根轨迹与稳定参数范围#

思路

• 图2：分别作 τ=0 与 τ=1 时的根轨迹，并据根轨迹确定系统稳定时 τ 的范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以时间常数 τ 为参变量绘制根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把含 τ 的项并入等效开环分子
• 中间结果：得到以 τ 为参变量的等效开环传函
• 卡点：题图2的对象结构需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以时间常数 τ 为参变量绘制根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 本卷考过整理时没有把参变量完整提到分子位置
• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴的交点确定参数的稳定范围

本卷实例

• 关键一步：把 s=jω 代入特征式并按实虚部整理
• 中间结果：交点频率与临界参数由实虚部同时为零给出
• 卡点：稳定范围要结合根轨迹穿越虚轴的方向判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴的交点确定参数的稳定范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率而漏另一组虚轴交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

19由阶跃响应求频率特性与正弦稳态误差#

思路

• 由已知单位阶跃响应反求闭环传函与频率特性，再算余弦输入下的稳态误差

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由时域阶跃响应反求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：对阶跃响应取拉氏变换并与输入变换相除
• 中间结果：闭环传函由响应变换与阶跃变换之比得到
• 卡点：响应中所给常数项要和稳态值对应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由时域阶跃响应反求闭环传递函数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 本卷考过未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由闭环传函写频率特性并求幅值与相角

本卷实例

• 关键一步：令 s 等于 jω 代入闭环传函
• 中间结果：得到闭环幅频与相频表达式
• 卡点：正弦输入下的稳态输出幅值与相角都随之改变

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由闭环传函写频率特性并求幅值与相角
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记对分母复数取模
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 求正弦输入作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：按误差通道的频率特性算稳态幅值与相角
• 中间结果：稳态误差是与输入同频的正弦量
• 卡点：正弦输入下误差不是常值，要用幅相形式表示

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过求正弦输入作用下的稳态误差
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 本卷考过把正弦输入的稳态误差当成常数误差
• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

20静态误差要求与串联校正思路#

思路

• 由阶跃静态误差不大于给定值确定 k 范围；再在给定 k 与截止频率要求下讨论串联校正装置的选型

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由静态误差要求反求开环增益范围

本卷实例

• 关键一步：写出阶跃误差与开环增益的关系
• 中间结果：静态误差不大于给定值给出增益下界
• 卡点：0 型系统阶跃误差与开环增益成反比

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由静态误差要求反求开环增益范围
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 按截止频率要求选择校正装置类型

本卷实例

• 关键一步：比较未校正与期望的截止频率高低
• 中间结果：降低截止频率多选滞后校正，提高则选超前校正
• 卡点：串联校正装置选型要同时兼顾增益与相角裕度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过按截止频率要求选择校正装置类型
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 本卷考过只盯相角裕度而忽略带宽要求
• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 说明滞后校正对带宽与响应速度的影响

本卷实例

• 关键一步：利用高频幅值衰减压低截止频率
• 中间结果：截止频率左移使相角裕度回升
• 卡点：转折频率取得过高会抵消增益改善带来的裕度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过说明滞后校正对带宽与响应速度的影响
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 本卷考过把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

21离散系统脉冲传递函数与稳定性#

思路

• 由开环脉冲传函求闭环脉冲传函并判稳，再算单位阶跃下第 2 拍输出采样值

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由开环脉冲传函求闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按反馈结构在 z 域列写闭环脉冲传函
• 中间结果：闭环脉冲传函分母化为一加开环脉冲传函
• 卡点：采样开关位置不同会使脉冲传函不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环脉冲传函求闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把两个无采样开关隔开的环节直接相乘
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环脉冲传函的极点位置判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：求闭环特征根并看模长是否小于一
• 中间结果：全部极点落在单位圆内时系统稳定
• 卡点：注意特征方程在 z 域而不是 s 域

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环脉冲传函的极点位置判断稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 由脉冲传函计算输出采样序列

本卷实例

• 关键一步：把闭环脉冲传函展成 z 的幂级数或部分分式
• 中间结果：幂级数系数就是各采样时刻的输出值
• 卡点：求第二拍输出只需展开到 z 的负二次幂

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过由脉冲传函计算输出采样序列
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 本卷考过z 反变换时部分分式分解漏项
• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

22状态空间建模与能控能观#

思路

• 图4：由系统图列写状态空间表达式，再分别判断能控性与能观性

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由系统结构图列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：选取积分器输出为状态变量并列写状态与输出方程
• 中间结果：整理得到状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵与直接项
• 卡点：题图4的回路连接需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由系统结构图列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配
• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断给定状态空间模型的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控与能观判别矩阵并求秩
• 中间结果：判别矩阵满秩对应完全能控或完全能观
• 卡点：两个判别矩阵的排列方式互为对偶

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断给定状态空间模型的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过能控与能观判别矩阵的构造方式搞混
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

23非线性系统平衡点线性化与稳定性#

思路

• 对给定二阶非线性状态方程求平衡点、作小偏差线性化并分析平衡点稳定性

非线性模型的线性化 建模与机电系统

本卷考法

• 在平衡点处对非线性状态方程作线性化

本卷实例

• 关键一步：先令状态导数为零解出平衡点
• 中间结果：在平衡点处取雅可比矩阵得到线性化模型
• 卡点：线性化只在该平衡点邻域内有效

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
• 线性化模型只在小偏差范围内有效
• 必须先求出平衡工作点

步骤

• 由静态方程求平衡工作点
• 在工作点处求偏导得到增量系数
• 写出以增量表示的线性化方程

通用考法

• 本卷考过在平衡点处对非线性状态方程作线性化
• 对非线性微分方程在平衡点处线性化
• 写出小偏差线性化模型的传递函数

常见易错

• 本卷考过未先求平衡点就直接展开
• 未先求平衡点就直接展开
• 把增量符号去掉后与原始变量混用

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫方法判断平衡点稳定性

本卷实例

• 关键一步：构造正定函数并检查其沿轨线的导数符号
• 中间结果：导数负定对应平衡点渐近稳定
• 卡点：线性化后特征值实部全负只能说明小范围稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫方法判断平衡点稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 本卷考过只判断李雅普诺夫函数正定就下结论
• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式