同济大学 825 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等偏难　11道大题覆盖智能车闭环概念、运放RC网络超前滞后判别、劳斯判据与临界振荡、奈奎斯特判据、稳态误差与正弦稳态、频域定义、无源超前校正、PI参数整定、能控能观与极点配置、相平面分析、根轨迹概略绘制

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1一、智能车闭环控制系统简答#

思路

• 举一个智能车闭环实例，说明闭环控制原理并画出方框图

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 举智能车闭环控制实例并解释闭环控制原理
• 指出被控对象、被控量与检测反馈元件

本卷实例

• 关键一步：选智能车位置或转速闭环，明确给定量与反馈量
• 中间结果：比较给定量与反馈量得偏差，经控制器驱动执行机构
• 卡点：只画方框图不指认环节会漏分，框图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过举智能车闭环控制实例并解释闭环控制原理
• 本卷考过指出被控对象、被控量与检测反馈元件
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

2二、运放RC网络传函与超前滞后判别#

思路

• 列运放电路方程求传函，再由零极点位置判别超前或滞后

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由运放RC网络求输出电压对输入电压的传递函数

本卷实例

• 关键一步：用虚短虚断列节点电流方程，整理成s的有理分式
• 中间结果：传函分子分母均为一阶，含一个零点和一个极点
• 卡点：电容阻抗写成Cs或漏掉反相输入的负号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由运放RC网络求输出电压对输入电压的传递函数
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 由传函分子分母一次项系数判别超前或滞后

本卷实例

• 关键一步：比较分子一次项时间常数与分母时间常数的相对大小
• 中间结果：由一次项系数比较确定零极点相对位置后判类型
• 卡点：超前与滞后的判据记反，或忽略网络负号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过由传函分子分母一次项系数判别超前或滞后
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

3三、对象传函稳定性与临界振荡分析#

思路

• 先列稳定性判据，再求闭环传函并用劳斯判据定k范围与临界频率

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由给定G(s)求单位负反馈闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按C/R等于G除以一加G代入给定G(s)整理
• 中间结果：闭环特征式为三阶多项式，系数含待定k
• 卡点：负反馈分母写成1减G导致符号反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由给定G(s)求单位负反馈闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求k的稳定范围
• 由辅助方程求临界根与振荡频率

本卷实例

• 关键一步：补齐缺项，列三阶劳斯表，令首列各项大于零
• 中间结果：由首列不等式交集得k的稳定区间
• 卡点：首列出现零时不用辅助方程，漏掉临界根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求k的稳定范围
• 本卷考过由辅助方程求临界根与振荡频率
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 确定使系统稳定的参数上下界

本卷实例

• 关键一步：把劳斯表首列每个元素都写成k的不等式
• 中间结果：多条不等式取交集确定k范围
• 卡点：漏掉某条不等式，把稳定域取大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过确定使系统稳定的参数上下界
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

赫尔维茨判据 稳定性分析

本卷考法

• 把赫尔维茨判据作为稳定性方法之一列出

本卷实例

• 关键一步：把赫尔维茨行列式条件作为列举行之一记忆
• 中间结果：时域代数判据与劳斯判据可互相印证
• 卡点：只答劳斯判据而漏掉其它稳定性方法

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由特征方程系数构造赫尔维茨行列式
• 各阶主子式全部大于零 ⇔ 系统稳定
• 与劳斯判据等价，适合阶数较低时使用

步骤

• 由特征方程系数写出赫尔维茨行列式
• 依次计算各阶主子式
• 令全部主子式大于零得到稳定条件

通用考法

• 本卷考过把赫尔维茨判据作为稳定性方法之一列出
• 用赫尔维茨判据判断稳定性
• 比较两种代数判据的适用场合

常见易错

• 行列式构造时系数下标写错
• 只验证到二阶主子式就下结论

公式

4四、奈奎斯特图与稳定k范围#

思路

• 画开环幅相曲线，由起终点与负实轴交点配合奈氏判据定k范围

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求开环传函的幅频相频表达式及起终点

本卷实例

• 关键一步：令s等于jω，分别求幅值与相角随ω的变化
• 中间结果：由分子分母阶次差确定无穷远幅值与相角
• 卡点：相角累加时漏掉重根的180度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求开环传函的幅频相频表达式及起终点
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数P，再看曲线包围负一点的圈数
• 中间结果：曲线与负实轴交点决定临界增益
• 卡点：积分环节未补画无穷大圆弧，或包围圈数正负记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 本卷考过求使闭环稳定的开环增益范围
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

5五、稳态误差与正弦稳态响应#

思路

• 先判稳，再用静态误差系数求组合输入误差，最后用频率特性求正弦稳态误差

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求r(t)=1+t下系统的稳态误差
• 比较不同k值时系统的稳定性与误差

本卷实例

• 关键一步：先由劳斯判据判稳，再按系统型别分别求阶跃与斜坡误差
• 中间结果：组合输入的稳态误差为各分量误差之和
• 卡点：k较小时系统可能不稳定，不能直接套终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求r(t)=1+t下系统的稳态误差
• 本卷考过比较不同k值时系统的稳定性与误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据分别判断两个k取值下的稳定性

本卷实例

• 关键一步：把给定k代入特征方程列劳斯表看首列是否变号
• 中间结果：首列无变号才可用终值定理求稳态误差
• 卡点：只算误差不判稳，结论对不稳定系统没有意义

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据分别判断两个k取值下的稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由误差频率特性求正弦输入下的稳态响应

本卷实例

• 关键一步：把正弦输入幅值与频率代入误差传函的幅频和相频
• 中间结果：稳态响应为同频率正弦，幅值等于幅频乘输入幅值
• 卡点：漏乘正弦输入幅值或把相角符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由误差频率特性求正弦输入下的稳态响应
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

6六、频域特性定义与奈氏判据#

思路

• 先答频域定义与常用曲线坐标，再对给定开环传函用奈氏判据判稳

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 给出线性定常系统频域特性定义与常用曲线

本卷实例

• 关键一步：从正弦输入下稳态输出与输入的幅值比和相位差定义
• 中间结果：常用曲线为奈氏图、伯德图与尼柯尔斯图
• 卡点：把频域特性说成时域响应的简单对应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过给出线性定常系统频域特性定义与常用曲线
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 对含一个右半平面极点的开环传函判闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：分解分母求开环右半平面极点数P，再画幅相曲线
• 中间结果：P不为零时必须用完整奈氏判据判包围圈数
• 卡点：忽略右半平面极点，直接把P当成零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过对含一个右半平面极点的开环传函判闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

7七、无源超前校正网络设计#

思路

• 由稳态误差要求定增益，按截止频率与相角裕度确定超前网络参数

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由斜坡输入稳态误差上界反求满足要求的开环增益

本卷实例

• 关键一步：用静态速度误差系数与稳态误差的关系列不等式定增益
• 中间结果：增益确定后得到校正前的开环传递函数
• 卡点：把稳态误差与其上界的不等式方向写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由斜坡输入稳态误差上界反求满足要求的开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计无源超前校正网络并确定其参数

本卷实例

• 关键一步：在期望截止频率处由需补偿相角求分度系数与时间常数
• 中间结果：超前网络写成含零点、极点的一阶分式形式
• 卡点：计算补偿角时忽略截止频率提高带来的相角损失

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过设计无源超前校正网络并确定其参数
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由截止频率与相角裕度要求检验校正效果

本卷实例

• 关键一步：求校正后开环在期望截止频率处的幅值与相角
• 中间结果：以相角裕度不小于给定值作为设计校核条件
• 卡点：截止频率与相位穿越频率两个频率用混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由截止频率与相角裕度要求检验校正效果
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

8八、PI控制器参数整定#

思路

• 先由速度误差系数定积分增益，再由超调量要求确定比例增益

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 按给定速度常数与超调要求设计PI控制器参数

本卷实例

• 关键一步：写出PI控制与对象串联后的闭环传递函数
• 中间结果：闭环传函化为标准二阶形式，参数与比例、积分增益对应
• 卡点：把比例与积分作用对超调量的影响记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过按给定速度常数与超调要求设计PI控制器参数
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由静态速度误差系数要求确定积分增益

本卷实例

• 关键一步：令s趋于零求速度误差系数并令其等于要求值
• 中间结果：积分增益由速度误差系数要求直接确定
• 卡点：把开环增益与速度误差系数混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由静态速度误差系数要求确定积分增益
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量要求确定二阶系统阻尼比

本卷实例

• 关键一步：由超调量公式反解阻尼比，再对应闭环分母系数
• 中间结果：阻尼比确定后与闭环一次项系数比较求比例增益
• 卡点：超调量公式漏乘百分之百，或忽略闭环零点影响

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量要求确定二阶系统阻尼比
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

9九、能控能观判断与状态反馈#

思路

• 先由A、B、C判能控能观，再把传函化为能控标准型并用极点配置求反馈增益

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 由A、B、C判断能控与能观状态变量个数

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控判别阵与能观判别阵并求秩
• 中间结果：由B与AB的秩判断能控状态变量个数
• 卡点：只算到B就下结论，或把能控与能观判据构造混淆

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过由A、B、C判断能控与能观状态变量个数
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由二阶传函写出能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按分母系数构造友矩阵，分子系数写入输出方程
• 中间结果：得到能控标准型的A、B、C三组矩阵
• 卡点：真分式化分时直接传递项处理错误

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由二阶传函写出能控标准型状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点位于给定位置

本卷实例

• 关键一步：先验证能控，再令特征多项式等于期望极点多项式
• 中间结果：比较s各次幂系数得到状态反馈增益阵
• 卡点：未验证能控性就做极点配置，系数比较符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点位于给定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

10十、非线性系统相平面分析#

思路

• 由非线性环节写误差微分方程，分区域求奇点并在相平面上画相轨迹

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 在给定相平面上概略绘制相轨迹并分析系统特性

本卷实例

• 关键一步：写出误差微分方程后分三个区域分别求奇点
• 中间结果：由特征根判断各区域奇点类型与稳定性
• 卡点：相轨迹斜率公式分子分母写反，图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过在给定相平面上概略绘制相轨迹并分析系统特性
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

典型非线性特性及其影响 非线性系统

本卷考法

• 分析死区或饱和非线性对系统特性的影响

本卷实例

• 关键一步：按死区特性把输入分为线性区与饱和区分段处理
• 中间结果：不同区域的等效增益不同导致奇点分布不同
• 卡点：忽略小信号死区造成原点附近误差不衰减

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 饱和特性降低等效增益，可能引起系统不稳定或自振
• 死区特性使小信号时增益为零，产生稳态误差
• 间隙特性引起相位滞后，导致波形畸变与自振
• 继电特性使系统出现持续振荡并可能产生颤振

步骤

• 识别非线性环节类型
• 写出其描述函数或分段数学表达式
• 分析其对等效增益与稳定性的影响

通用考法

• 本卷考过分析死区或饱和非线性对系统特性的影响
• 分析饱和或死区对系统性能的影响
• 求典型非线性的描述函数表达式
• 说明间隙为何容易引起自振

常见易错

• 认为饱和总是使系统更稳定
• 忽略死区在原点附近造成的小信号失效

公式

非线性系统的特点 非线性系统

本卷考法

• 说明非线性系统与线性系统分析方法的差别

本卷实例

• 关键一步：按工作区段分别建立线性模型再用相平面综合
• 中间结果：非线性系统的稳定性与初始条件有关
• 卡点：把非线性问题直接线性化后沿用全部线性结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 不满足叠加原理，输出与初始条件、输入幅值都有关
• 可能出现自持振荡即极限环
• 响应可能对初始条件敏感，出现跳跃谐振
• 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性

步骤

• 确认系统含明显非线性环节
• 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
• 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法

通用考法

• 本卷考过说明非线性系统与线性系统分析方法的差别
• 说明非线性系统与线性系统的本质差别
• 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
• 判断某系统应选用哪种分析方法

常见易错

• 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
• 认为非线性系统一定不稳定

11十一、根轨迹概略绘制#

思路

• 由开环零极点画实轴段、渐近线、出射角，并求虚轴交点与临界增益

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画根轨迹的实轴段与渐近线

本卷实例

• 关键一步：先标开环零极点，再按实轴段判据与渐近线公式作图
• 中间结果：渐近线交点与夹角由极点之和及个数确定
• 卡点：渐近线夹角公式中的2k+1写成2k

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画根轨迹的实轴段与渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

出射角与入射角 根轨迹法

本卷考法

• 求复数极点处的出射角

本卷实例

• 关键一步：由相角条件令该极点处总相角等于正负180度
• 中间结果：出射角由其它零极点提供的相角反推
• 卡点：累加相角时把该极点自身相角也算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
• 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
• 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
• 共轭复数极点的出射角互为相反数

步骤

• 取待求极点（或零点）为参考点
• 写出相角条件并代入该点
• 把其余零极点的相角移到等式右边累加
• 求反正切得到出射角或入射角

通用考法

• 本卷考过求复数极点处的出射角
• 求复数极点的出射角
• 根据出射角画出根轨迹起始方向
• 由入射角确定根轨迹终止方向

常见易错

• 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
• 忘记判断象限导致角度差 180°

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：令特征方程中s等于jω，实部虚部分别为零
• 中间结果：解得临界增益与对应的虚轴交点频率
• 卡点：只代一个ω就下结论，漏掉另一组交点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式