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同济大学 825 自动控制理论(含现控) 2021 年真题思维导图

985 院校共 11 题

难度:中等偏难 11题覆盖工程实例建模、机械系统建模与正弦稳态、劳斯稳定域、奈氏判据、复合控制型别、Bode与超前校正、PD与PI、状态空间能控分解、相平面与Z平面根轨迹;源文多数题不印分值

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1一、反馈清除扰动偏差的工程实例10 分#

思路
  • 举一工程实例,指出被控对象与扰动,说明闭环如何消除扰动偏差并画方框图
本卷考法
  • 给出一个通过闭环控制清除扰动输出偏差的实际工程实例
  • 简述其工作原理并绘出闭环控制方框图
本卷实例
  • 关键一步:选锅炉液位或炉温等含扰动的被控对象作实例
  • 关键一步:按给定、比较、调节、执行、对象、反馈串成闭环
  • 中间结果:扰动经反馈回路引回输入端与给定值比较,靠偏差驱动调节器
  • 卡点:只画方框图不指认环节,或漏画反馈支路使闭环不成立
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过给出一个通过闭环控制清除扰动输出偏差的实际工程实例
  • 本卷考过简述其工作原理并绘出闭环控制方框图
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半

2二、汽车悬架系统建模与正弦稳态输出#

思路
  • 对车厢列牛顿方程求 X比R,再由频率特性求正弦激励下的稳态输出
机械系统建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 由弹簧阻尼质量系统的受力分析求位移对路面激励的传递函数
本卷实例
  • 关键一步:以车厢为对象列质量乘加速度等于弹簧力加阻尼力
  • 关键一步:弹簧力与阻尼力都取路面与车厢的相对量
  • 中间结果:传递函数为二阶形式,分子为一次项、分母为二次多项式
  • 卡点:弹簧力与阻尼力方向取反;漏掉相对速度项
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
  • 三种基本元件:质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
  • 同一方向取正,反向取负,逐项列出合力
步骤
  • 选定正方向并作受力分析
  • 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
  • 按 F=ma 列写运动方程
  • 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
  • 本卷考过由弹簧阻尼质量系统的受力分析求位移对路面激励的传递函数
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
  • 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
本卷考法
  • 由传递函数求幅频与相频,再求正弦输入下的稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:令s等于jω分别求幅频与相频
  • 关键一步:稳态输出幅值为输入幅值乘幅频、相角加相频
  • 中间结果:指定频率处先算幅值与相角,再合成稳态正弦
  • 卡点:忘记把输入幅值0.1乘进稳态输出幅值
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由传递函数求幅频与相频,再求正弦输入下的稳态输出
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

3三、劳斯判据求K的稳定范围#

思路
  • 由闭环特征方程列劳斯表,令首列全正求K的稳定范围
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用劳斯判据求使闭环系统稳定的增益K范围
本卷实例
  • 关键一步:写出D(s)等于1加G(s)后列劳斯表
  • 关键一步:由高阶多项式按次数逐行填写劳斯表
  • 中间结果:特征方程为含K的五次多项式,首列含K的一次式
  • 卡点:首列出现纯K项时别漏掉K大于零这一约束
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过用劳斯判据求使闭环系统稳定的增益K范围
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式
参数稳定域的确定 稳定性分析
本卷考法
  • 确定稳定时增益参数K的取值上界
本卷实例
  • 关键一步:令劳斯表首列各元素都大于零,取各不等式交集
  • 中间结果:K的范围由首列两个含K的不等式共同确定
  • 卡点:只取一个不等式就下结论,漏掉另一个端点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳定条件是一组关于参数的不等式
  • 区间端点通常对应临界稳定,即根落在虚轴上
  • 稳定域是不等式组的交集
步骤
  • 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
  • 逐个解不等式并取交集
  • 检查端点是否为临界稳定
通用考法
  • 本卷考过确定稳定时增益参数K的取值上界
  • 求使系统稳定的参数上界或下界
  • 判断某参数取值是否满足稳定要求
  • 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
  • 只列出部分首列元素的不等式,漏掉某个约束
  • 取交集时把端点是否包含搞错
公式

4四、奈氏判据判断非最小相位系统稳定性#

思路
  • 先求幅相特性,再由开环右半平面极点数P与包围圈数判断闭环稳定性
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 绘出开环幅相曲线并根据奈氏判据判断闭环稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先数开环右半平面极点数P
  • 关键一步:再数幅相曲线对负实轴段的包围次数
  • 中间结果:开环含一个右半平面极点,故P等于1
  • 卡点:把一个右半平面极点当成稳定极点,导致P数错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过绘出开环幅相曲线并根据奈氏判据判断闭环稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
本卷考法
  • 由开环传递函数求幅相特性的表达式与关键点
本卷实例
  • 关键一步:把s换成jω后分离实部与虚部
  • 关键一步:分频段讨论相角所在象限与变化趋势
  • 中间结果:幅相曲线起点与终点幅角随频率连续变化
  • 卡点:分母含右半平面极点时相角变化范围要重新判断
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由开环传递函数求幅相特性的表达式与关键点
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

5五、复合控制系统的型别与前馈参数#

思路
  • 用梅森公式求误差传函,按Ⅲ型系统令低阶误差系数为零解前馈参数,再由极点判响应
本卷考法
  • 按系统型别要求反求前馈补偿参数a与b
本卷实例
  • 关键一步:写出误差传函,按Ⅲ型系统要求前两阶误差系数为零
  • 中间结果:令误差传函分子s一次项与二次项为零,得两个方程
  • 卡点:系统型别看误差传函低频段s的最低次幂,别数错积分环节
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过按系统型别要求反求前馈补偿参数a与b
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式
本卷考法
  • 分析前馈补偿对系统型别与稳态误差的作用
本卷实例
  • 关键一步:用梅森公式写出含前馈通路的闭环与误差传函
  • 中间结果:前馈通道在误差传函分子中引入s的幂次,从而提高型别
  • 卡点:求误差传函时漏掉前馈支路的贡献
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 反馈校正可改变被包围环节的特性,抑制参数波动
  • 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
  • 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
  • 前馈不改变闭环稳定性,可与反馈叠加使用
步骤
  • 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
  • 写出等效后的传递函数
  • 按不变性原理列写前馈补偿器条件
  • 求解补偿器并校验可实现性
通用考法
  • 本卷考过分析前馈补偿对系统型别与稳态误差的作用
  • 设计反馈校正装置改善被包围环节
  • 求前馈补偿器实现不变性
  • 分析复合控制对稳态误差的作用
常见易错
  • 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分,不可实现却直接采用
  • 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大
公式
高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由三个闭环极点判断单位阶跃响应的形式
本卷实例
  • 关键一步:比较远离虚轴的实极点与一对共轭复极点的距离
  • 中间结果:共轭复极点实部小、靠近虚轴,可作主导极点
  • 卡点:不判断主导极点就直接按最高阶次下结论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 离虚轴最近的极点起主导作用,其余极点对应快速衰减分量
  • 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
  • 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶
步骤
  • 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
  • 用主导极点对近似为二阶系统
  • 用零点修正式修正超调量与峰值时间
通用考法
  • 本卷考过由三个闭环极点判断单位阶跃响应的形式
  • 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
  • 判断附加闭环零点对超调量的影响
  • 说明某极点能否忽略的理由
常见易错
  • 忽略零点对超调量的放大作用
  • 只看极点距离而不管该极点的留数大小
公式

6六、由闭环传函反求开环并分析Bode#

思路
  • 由Φ等于G比(1加G)反解G,再画Bode图并读幅值、相角与穿越频率
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由单位负反馈的闭环传递函数反求开环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:用G等于Φ比(1减Φ)整理,约去分子分母公因式
  • 中间结果:开环为带一个积分与两个惯性环节的形式
  • 卡点:化简约分时把零极点对消掉,导致型别判错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由单位负反馈的闭环传递函数反求开环传递函数
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式
本卷考法
  • 绘制开环对数渐近幅频特性并读某频率处的幅值与相角
本卷实例
  • 关键一步:由低频段斜率与高度确定型别和增益
  • 关键一步:按各转折频率逐段改斜率
  • 中间结果:低频段高度按积分环节的负斜率确定
  • 卡点:逐段改斜率时误把新斜率替换旧斜率,而非累加
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制开环对数渐近幅频特性并读某频率处的幅值与相角
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
本卷考法
  • 计算指定频率处的对数幅值与相角
本卷实例
  • 关键一步:把各环节幅值相乘、相角相加
  • 中间结果:某频率处对数幅值等于各环节分贝值之和
  • 卡点:惯性环节相角忘记取反正切,符号弄错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过计算指定频率处的对数幅值与相角
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求系统的穿越频率
本卷实例
  • 关键一步:令相频等于负180度解出相位穿越频率
  • 关键一步:或令幅频等于1解出截止频率
  • 中间结果:穿越频率由相频表达式直接解出
  • 卡点:把截止频率与相位穿越频率两个概念用反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求系统的穿越频率
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

7七、串联超前校正设计#

思路
  • 先由稳态误差要求定开环增益,再按相角裕度与幅值裕度要求设计超前网络
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 设计串联超前校正装置使相角裕度与幅值裕度满足要求
本卷实例
  • 关键一步:由未校正系统截止频率处相角求所需补偿角
  • 关键一步:再由补偿角求超前网络参数
  • 中间结果:补偿角等于目标裕度减原裕度再加附加补偿
  • 卡点:计算补偿角时忽略截止频率右移带来的附加相角损失
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过设计串联超前校正装置使相角裕度与幅值裕度满足要求
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式
本卷考法
  • 由速度误差系数Kv要求确定开环增益
本卷实例
  • 关键一步:写出Kv与开环增益的关系式后反解增益
  • 中间结果:Kv由低频段开环增益与积分环节数共同决定
  • 卡点:把Kv与开环增益K混为一谈
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过由速度误差系数Kv要求确定开环增益
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式

8八、PD与PI校正的性能对比#

思路
  • 由超调量与调节时间要求定PD参数,再定性分析换成PI后的性能变化
本卷考法
  • 求PD校正装置参数使超调量与调节时间满足要求
  • 定性说明换成PI校正后系统性能的变化
本卷实例
  • 关键一步:写出校正后闭环传函并化成标准二阶形式
  • 中间结果:PD引入闭环零点、PI引入积分环节改变系统型别
  • 卡点:PD与PI对相角的作用说反,或忽略PI的相角滞后
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 比例项提高快速性但存在稳态误差
  • 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
  • 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
  • PD 相当于超前校正,PI 相当于滞后校正
步骤
  • 按误差类型选择需要引入的环节
  • 先调比例再调积分最后调微分
  • 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
  • 本卷考过求PD校正装置参数使超调量与调节时间满足要求
  • 本卷考过定性说明换成PI校正后系统性能的变化
  • 设计 PID 控制器满足给定指标
  • 分析各参数变化对系统性能的影响
  • 说明微分项对噪声的影响
常见易错
  • 把 PI 的相位影响说成超前
  • 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式
由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量与调节时间要求反求校正装置参数
本卷实例
  • 关键一步:由超调量定阻尼比、由调节时间定自然频率
  • 中间结果:两个指标分别限定阻尼比与自然频率
  • 卡点:按2%误差带取调节时间系数时与5%误差带用混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量要求给出 ξ 的下界,调节时间要求给出 ξωn 的下界
  • 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
  • 指标之间往往相互制约,需权衡取舍
步骤
  • 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
  • 在参数平面上画出各不等式的可行域
  • 取交集并选取合适的参数值
  • 回代验证全部指标是否满足
通用考法
  • 本卷考过由超调量与调节时间要求反求校正装置参数
  • 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
  • 求满足指标要求的参数取值范围
  • 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
  • 只满足单项指标就下结论,未做交叉验证
  • 把 ξ 的可行域方向取反
公式

9九、能控性判断与可控子系统#

思路
  • 算能控判别阵的秩判断能控性,不完全能控时按能控性分解取出可控子系统
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判断给定状态空间模型的能控性
  • 对不完全能控系统进行结构分解并写出可控子系统
本卷实例
  • 关键一步:算能控判别阵取b、Ab、A平方b后求秩
  • 关键一步:秩不足时取线性无关列作变换阵做分解
  • 中间结果:判别阵秩等于2,小于系统阶数3,故不完全能控
  • 卡点:只算到Ab就下结论;或分解时变换矩阵取错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判断给定状态空间模型的能控性
  • 本卷考过对不完全能控系统进行结构分解并写出可控子系统
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式

10十、非线性系统相平面分析#

思路
  • 由非线性结构建立误差微分方程,定开关线与奇点类型后分区画相轨迹
相平面法 非线性系统
本卷考法
  • 写出开关线方程并确定奇点位置与类型
  • 绘制给定初始条件下的相平面图
本卷实例
  • 关键一步:将系统化为以误差e为变量的分段微分方程
  • 关键一步:按e大于2、绝对值小于2、小于负2分区讨论
  • 中间结果:开关线为e等于正负2,各区内分别对应中心点
  • 卡点:分区边界处相轨迹要连续拼接,斜率公式分子分母别写反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相平面以误差及其导数为坐标,适用于一、二阶非线性系统
  • 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
  • 奇点对应系统的平衡状态,奇点类型决定局部行为
  • 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
  • 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
  • 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
  • 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
  • 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
  • 本卷考过写出开关线方程并确定奇点位置与类型
  • 本卷考过绘制给定初始条件下的相平面图
  • 画出给定初始条件下的相轨迹
  • 判断奇点类型与稳定性
  • 分析极限环的存在与形态
常见易错
  • 相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 把相轨迹与根轨迹混淆
公式

11十一、Z平面根轨迹与振荡收敛范围10 分#

思路
  • 画Z平面根轨迹并求分离汇合点,再由闭环极点在单位圆内求振荡收敛的K范围
本卷考法
  • 在Z平面绘制离散系统根轨迹并标出开环零极点
本卷实例
  • 关键一步:把开环脉冲传函写成标准形式后数零极点
  • 关键一步:按实轴段判据与渐近线法则画分支
  • 中间结果:开环两个极点、一个零点,渐近线一条
  • 卡点:把z平面根轨迹与s平面根轨迹的虚轴、单位圆判据混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过在Z平面绘制离散系统根轨迹并标出开环零极点
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求Z平面根轨迹的分离点与汇合点坐标
本卷实例
  • 关键一步:对K求导令其为零,通分后解出驻点
  • 关键一步:用实轴段判据筛选有效点
  • 中间结果:方程给出两个驻点,需按是否落在轨迹上取舍
  • 卡点:两个驻点都保留,未剔除不在轨迹上的那个
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求Z平面根轨迹的分离点与汇合点坐标
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 求使离散系统响应振荡收敛的增益范围
本卷实例
  • 关键一步:把闭环特征根都限制在z平面单位圆内
  • 关键一步:临界点为单位圆上根,对应K的上下界
  • 中间结果:由单位圆交点对应的增益确定K的取值区间
  • 卡点:把稳定条件写成极点实部小于零而不是模小于1
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过求使离散系统响应振荡收敛的增益范围
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式