同济大学 825 自动控制理论（含现控） 2023 年真题思维导图

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难度：中等偏难　11题覆盖RLC与机械建模、稳定性方法综述与六阶系统判稳、可控性与状态反馈、参数稳定域与动态指标、Nyquist与纯延迟、超前校正两种指标、PID极点配置、状态空间建模、相平面图与参数根轨迹

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1一、RLC电路网络求传递函数#

思路

• 列KVL、KCL或复阻抗分压，求电容电压对输入电压的传递函数

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由RLC串联电路求电容电压对输入电压的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把电感写成Ls、电容写成1比Cs后用分压公式
• 中间结果：传递函数为二阶形式，对应RLC振荡环节
• 卡点：复阻抗法把电容阻抗误写成Cs；忽略后级负载效应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由RLC串联电路求电容电压对输入电压的传递函数
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

2二、机械系统传递函数#

思路

• 对小车列牛顿方程，由弹簧力与反力关系消去中间变量，求位移对力的传函

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由弹簧连接的机械系统列方程求位移对输入力的传递函数

本卷实例

• 关键一步：对小车列牛顿方程并用弹簧串并联关系消去中间位移
• 中间结果：等效刚度为两弹簧刚度乘积除以两刚度之和
• 卡点：弹簧串并联等效刚度公式记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过由弹簧连接的机械系统列方程求位移对输入力的传递函数
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

3三、稳定性方法综述与六阶系统判稳#

思路

• 先列举至少4种稳定性判据，再对六阶特征方程用劳斯表判稳并识别纯虚根

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 列举不少于4种判断系统稳定性的方法
• 用劳斯判据判断六阶系统稳定性并识别纯虚根

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表，首列出现整行为零时用辅助方程求根
• 中间结果：首列无变号但存在纯虚根，系统为临界稳定
• 卡点：首列出现整行为零时未用辅助方程，直接判稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过列举不少于4种判断系统稳定性的方法
• 本卷考过用劳斯判据判断六阶系统稳定性并识别纯虚根
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

赫尔维茨判据 稳定性分析

本卷考法

• 把赫尔维茨判据作为稳定性判定方法之一列出

本卷实例

• 关键一步：用特征方程系数构造赫尔维茨行列式判断稳定性
• 中间结果：赫尔维茨与劳斯判据结论一致，均依据右半平面根个数
• 卡点：行列式构造时系数下标写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由特征方程系数构造赫尔维茨行列式
• 各阶主子式全部大于零 ⇔ 系统稳定
• 与劳斯判据等价，适合阶数较低时使用

步骤

• 由特征方程系数写出赫尔维茨行列式
• 依次计算各阶主子式
• 令全部主子式大于零得到稳定条件

通用考法

• 本卷考过把赫尔维茨判据作为稳定性判定方法之一列出
• 用赫尔维茨判据判断稳定性
• 比较两种代数判据的适用场合

常见易错

• 行列式构造时系数下标写错
• 只验证到二阶主子式就下结论

公式

4四、可控性与状态反馈稳定化#

思路

• 辨析可控与稳定无必然联系，说明不稳定但可控的系统可用状态反馈任意配置极点

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 说明系统可控与稳定是两个相互独立的概念

本卷实例

• 关键一步：举能控判别阵满秩但特征值含正实部的反例
• 中间结果：可控性只反映能否配置极点，不代表极点已在左半平面
• 卡点：把可控当成稳定，误以为能控就稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过说明系统可控与稳定是两个相互独立的概念
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 说明不稳定系统在可控时可用状态反馈任意配置极点使其稳定

本卷实例

• 关键一步：由可控性保证极点可任意配置，取期望左半平面极点求反馈阵
• 中间结果：状态反馈可改变系统矩阵特征值，从而改变稳定性
• 卡点：未验证能控性就断言能通过状态反馈稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过说明不稳定系统在可控时可用状态反馈任意配置极点使其稳定
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

5五、参数稳定域与动态指标#

思路

• 由结构图写开环与闭环特征方程，用劳斯判据求参数范围，再由标准二阶形式求指标

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据确定使系统稳定的参数a范围

本卷实例

• 关键一步：由结构图化简求开环传函再写闭环特征方程
• 中间结果：劳斯表首列含参数a，令其大于零得稳定条件
• 卡点：结构图内环化简时把参数a的位置代错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据确定使系统稳定的参数a范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环特征方程求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把二阶特征方程系数与标准形式逐项对应
• 中间结果：阻尼比由一次项系数、自然频率由常数项分别确定
• 卡点：未把s平方项系数归一化就套标准形式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判稳再用终值定理或静态速度误差系数求误差
• 中间结果：Ⅰ型系统的斜坡误差与开环增益成反比
• 卡点：未判稳就用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由指定的阻尼比与稳态误差反求系统参数

本卷实例

• 关键一步：由阻尼比与误差两个条件联立方程解参数
• 中间结果：两个条件分别锁定一个参数
• 卡点：只满足阻尼比未回代检验稳态误差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由指定的阻尼比与稳态误差反求系统参数
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

6六、Nyquist判稳与纯延迟系统稳定范围#

思路

• 画开环Nyquist曲线判稳，再对含延迟系统画Bode并求使闭环稳定的延迟上限

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 画开环Nyquist曲线并由奈氏判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数P，再数曲线包围负实轴段次数
• 中间结果：与负实轴交点的坐标由令虚部为零解出
• 卡点：未写出与坐标轴交点坐标，或P数错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过画开环Nyquist曲线并由奈氏判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

含纯延迟环节的系统稳定性 稳定性分析

本卷考法

• 分析含纯延迟系统在给定延迟下的稳定性
• 求使闭环稳定的延迟时间范围

本卷实例

• 关键一步：延迟只改变相频、不改变幅频
• 关键一步：令截止频率处相角大于负180度求延迟上限
• 中间结果：稳定条件化为相角裕度对延迟的约束不等式
• 卡点：把延迟环节当成惯性环节；角度与弧度换算出错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 延迟环节 e^{-τs} 的幅值为 1、相位为 -τω，只恶化相位
• 延迟会显著缩小稳定域，τ 越大越难稳定
• 频域判据需用相位裕度扣除延迟引起的附加滞后

步骤

• 写出含延迟的开环传递函数
• 分别求幅值与相位表达式
• 在相频特性中扣除 τω 的滞后量
• 按稳定裕度或奈氏判据求临界 τ 或临界 K

通用考法

• 本卷考过分析含纯延迟系统在给定延迟下的稳定性
• 本卷考过求使闭环稳定的延迟时间范围
• 求使系统稳定的最大延迟时间
• 求含延迟系统的临界开环增益
• 分析延迟对稳定裕度的影响

常见易错

• 把延迟环节当成惯性环节处理
• 相位计算时忘记角度与弧度换算

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制含延迟系统的对数渐近幅频特性曲线

本卷实例

• 关键一步：按各转折频率逐段画渐近线，延迟不改变幅频
• 中间结果：幅频低频段高度由开环增益与积分环节确定
• 卡点：把延迟的幅值衰减也算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制含延迟系统的对数渐近幅频特性曲线
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

7七、超前校正的两种指标设计#

思路

• 由稳态误差定增益，再分别按最小与最大相位裕度设计超前网络，最后定性比较动态性能

超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计超前补偿器使相位裕度取到区间下限
• 设计超前补偿器使相位裕度取到区间上限

本卷实例

• 关键一步：由未校正系统相角求补偿角后定超前网络参数
• 中间结果：补偿角取目标裕度减原裕度再加附加补偿
• 卡点：忘记留出附加补偿角，导致校正后裕度不达标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过设计超前补偿器使相位裕度取到区间下限
• 本卷考过设计超前补偿器使相位裕度取到区间上限
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由速度误差常数与斜坡误差要求确定开环增益

本卷实例

• 关键一步：由速度误差常数与斜坡误差的关系反解增益
• 中间结果：超前校正不改变低频增益，故先定比例环节
• 卡点：把速度误差常数与开环增益混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由速度误差常数与斜坡误差要求确定开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 定性比较不同相位裕度下系统的超调量与调节时间

本卷实例

• 关键一步：用相位裕度与超调量、调节时间的近似经验公式比较
• 中间结果：相位裕度越大时域超调量越小
• 卡点：只比较裕度不看截止频率变化对调节时间的影响

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过定性比较不同相位裕度下系统的超调量与调节时间
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

8八、PID极点配置#

思路

• 把PID化为带零点的控制器，写闭环特征方程，代入指定主导极点解参数

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 设计PID控制器使闭环主导极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：写出含PID的闭环特征方程并代入指定复极点
• 中间结果：由实部虚部均为零得到关于参数的方程组
• 卡点：PID零点参数与增益的对应关系写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过设计PID控制器使闭环主导极点位于指定位置
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 说明指定的复极对构成主导极点并作降阶近似

本卷实例

• 关键一步：验证闭环另一极点远离虚轴且与零点构成偶极子
• 中间结果：偶极子对消后系统可近似为二阶
• 卡点：未验证主导性就直接降阶

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过说明指定的复极对构成主导极点并作降阶近似
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

9九、闭环传函、状态空间建模与稳定性#

思路

• 由反馈结构求闭环传函，整理成能控标准型写状态空间，再用劳斯判据判稳

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由前向通道与反馈通道求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按反馈结构用前向传函除以1加回路传函整理
• 中间结果：闭环分母为1加GH，分子为前向通道传函
• 卡点：反馈通道不是1时误用单位反馈公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由前向通道与反馈通道求闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由闭环传递函数写出能控标准型状态空间模型

本卷实例

• 关键一步：把传函化为真分式，按能控标准型写A、B、C、D
• 中间结果：状态维数等于分母阶数3
• 卡点：友矩阵系数符号写反；漏掉直接传递项D

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由闭环传递函数写出能控标准型状态空间模型
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据分析闭环系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：写闭环特征方程后列劳斯表看首列符号
• 中间结果：首列全正时系统稳定
• 卡点：特征方程系数抄错导致结论反了

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据分析闭环系统稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

10十、非线性系统的相平面图#

思路

• 由结构图建立误差微分方程，分别对两参数取值求奇点类型并画相平面图

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 由系统结构建立误差微分方程并求平衡点
• 分别绘制不同参数下的相平面图

本卷实例

• 关键一步：把结构图误差关系化为二阶误差微分方程
• 关键一步：按特征根类型判断平衡点类型
• 中间结果：参数取零时特征根为共轭虚根、取一时为重根
• 卡点：平衡点类型只看特征根符号就下结论，未结合分段

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过由系统结构建立误差微分方程并求平衡点
• 本卷考过分别绘制不同参数下的相平面图
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

11十一、参数根轨迹#

思路

• 把闭环特征方程整理成以α为参变量的等效开环形式，画根轨迹并求起点终点与分离点

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以参数α为变量绘制闭环系统的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把特征方程整理成1加α乘某分式等于零的标准形式
• 中间结果：等效开环含一个零点与一对共轭复极点
• 卡点：参数未完整提到标准形式，零点或极点写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以参数α为变量绘制闭环系统的根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求参数根轨迹的分离点

本卷实例

• 关键一步：用分离点方程解出驻点后按实轴轨迹段筛选
• 中间结果：实轴上根轨迹段确定有效分离点
• 卡点：驻点不筛选，保留了不在轨迹上的根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求参数根轨迹的分离点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹起点与有限终点确定开环零极点分布

本卷实例

• 关键一步：根轨迹起点为开环极点、终点为开环零点或无穷远
• 中间结果：分支数等于开环极点数
• 卡点：把有限终点与渐近线方向搞混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过由根轨迹起点与有限终点确定开环零极点分布
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式