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同济大学 825 自动控制理论(含现控) 2015 年真题思维导图

985 院校共 11 题

难度:中等 11题覆盖机电调速系统与有差性、机械振动参数辨识、结构图与误差、根轨迹与PD、奈氏判据、Bode反求、复合控制补偿、校正与裕度、状态空间与极点配置、相平面、李雅普诺夫

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1一、机电调速系统闭环与有差性#

思路
  • 由机电调速系统示意图判反馈连线与闭环方框图,并定性判断常值输入下的稳态误差
本卷考法
  • 指出系统的被控对象、被控量与反馈量
本卷实例
  • 关键一步:按给定电压与测速反馈电压比较得到偏差
  • 中间结果:偏差经放大后驱动电动机与发电机
  • 卡点:连线图与方框图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过指出系统的被控对象、被控量与反馈量
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 本卷考过把被控量与操纵量或反馈量搞反
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
转速负反馈单闭环调速系统 电力拖动与运动控制
本卷考法
  • 判断常值输入下转速闭环是否为零稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:常值输入下转速恒定,反馈电压与给定电压间存在偏差
  • 中间结果:放大器前端电压为非零恒定值
  • 卡点:有差结论依赖反馈通道稳态关系,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 被控量是转速,反馈量是测速发电机输出电压
  • 属于有差系统,稳态时偏差 e=U_n*−U_n 必须不为零才能维持输出
  • 闭环后稳态速降减小为开环的 1/(1+K) 倍
  • 闭环放大倍数 K 越大,静差率越小,但稳定性越差
步骤
  • 确定被控制量与反馈量
  • 按信号流向画出给定、比较、放大、变换器、电动机、测速反馈各环节
  • 写出稳态关系式并求闭环静特性
  • 比较开环与闭环的稳态速降
通用考法
  • 本卷考过判断常值输入下转速闭环是否为零稳态误差
  • 指出系统的被控量与反馈量
  • 画出系统结构框图
  • 解释稳态时偏差不为零的原因
  • 计算闭环稳态速降并比较开环
常见易错
  • 本卷考过误以为有差系统在常值输入下可做到无差
  • 误以为有差系统稳态可以做到零偏差
  • 把被控量与反馈量混为一谈
  • 求闭环静特性时漏掉 (1+K) 因子
公式

2二、机械振动系统参数辨识#

思路
  • 对质量块列牛顿方程并作拉氏变换,再由阶跃响应曲线终值与峰值反求质量、阻尼与刚度
机械系统建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 列写弹簧-质量-阻尼系统的运动微分方程
本卷实例
  • 关键一步:按牛顿第二定律把外力、弹力与阻尼力写成合力
  • 中间结果:整理成二阶微分方程并作零初始条件拉氏变换
  • 卡点:受力图与位移曲线需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
  • 三种基本元件:质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
  • 同一方向取正,反向取负,逐项列出合力
步骤
  • 选定正方向并作受力分析
  • 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
  • 按 F=ma 列写运动方程
  • 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
  • 本卷考过列写弹簧-质量-阻尼系统的运动微分方程
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
  • 本卷考过受力方向容易写反
  • 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
本卷考法
  • 由给定的阶跃响应曲线反求三个机械参数
本卷实例
  • 关键一步:先由响应曲线读稳态位移与峰值时间
  • 中间结果:再与二阶标准响应形式对照求参数
  • 卡点:响应曲线坐标需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态值决定增益 K
  • 超调量只由阻尼比 ξ 决定
  • 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
  • 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
  • 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
  • 判断系统是一阶还是二阶(看有无振荡)
  • 由超调量反求 ξ,再由峰值时间反求 ωn
  • 写出标准形式并补上增益
通用考法
  • 本卷考过由给定的阶跃响应曲线反求三个机械参数
  • 由实验阶跃响应曲线求传递函数
  • 由给出的性能指标反求参数
常见易错
  • 本卷考过未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 把机械系统传函化为二阶标准形式读阻尼比与自然频率
本卷实例
  • 关键一步:把传函分母首项系数归一化为 1
  • 中间结果:写出自然频率与阻尼比的表达式
  • 卡点:峰值与稳态读数需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过把机械系统传函化为二阶标准形式读阻尼比与自然频率
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 本卷考过化标准形式时漏除质量 m
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式

3三、结构图求闭环与误差传函#

思路
  • 按结构图等效化简求闭环与误差传函,再由终值定理求组合输入的稳态误差
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由给定结构图求闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:沿回路逐层合并比较点与反馈支路
  • 中间结果:写出闭环传递函数表达式
  • 卡点:结构图拓扑需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由给定结构图求闭环传递函数
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 本卷考过负反馈分母写成 1 减 GH
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式
本卷考法
  • 写出误差传递函数并说明误差定义
本卷实例
  • 关键一步:在输入与反馈比较点处定义误差信号
  • 中间结果:用梅森公式或等效化简写误差传函
  • 卡点:比较点位置需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差有两种定义:输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s),须看清题意
  • 误差传递函数由结构决定
  • 单位反馈时两种定义等价
步骤
  • 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
  • 由结构图写出误差传递函数
  • 乘输入后取 s→0 的极限
通用考法
  • 本卷考过写出误差传递函数并说明误差定义
  • 写出误差传递函数
  • 说明不同误差定义对结果的影响
常见易错
  • 本卷考过非单位反馈时两种误差定义混用
  • 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
  • 忘记先判断系统是否稳定
公式
本卷考法
  • 求组合输入下的稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:把组合输入拆成阶跃与斜坡分量
  • 中间结果:用静态误差系数分别求后叠加
  • 卡点:输入系数清零条件需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求组合输入下的稳态误差
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 本卷考过未判稳就使用终值定理
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

4四、根轨迹绘制与PD控制器影响#

思路
  • 分别以 Gc 为比例与比例微分形式画根轨迹,并讨论附加零点对稳定性的影响
本卷考法
  • 按法则绘制两种 Gc 形式下的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:先写出开环零极点再定分支数与渐近线
  • 中间结果:按实轴段与分离点逐段画轨迹
  • 卡点:开环零极点由结构图读出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按法则绘制两种 Gc 形式下的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 本卷考过实轴段判据的零极点个数算错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 分析附加开环零点对根轨迹与稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:比较加零点前后根轨迹左移与渐近线变化
  • 中间结果:据轨迹走向判断稳定性变化
  • 卡点:零点位置依赖结构图,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 增加开环零点使根轨迹左移,改善稳定性
  • 增加开环极点使根轨迹右移,恶化稳定性
  • 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
  • 增加极点还可能是系统结构不稳定
步骤
  • 对比增加前后零极点分布
  • 重新判断实轴段与渐近线
  • 分析根轨迹整体移动方向
  • 据此说明对稳定性和动态性能的影响
通用考法
  • 本卷考过分析附加开环零点对根轨迹与稳定性的影响
  • 说明附加零点对根轨迹形状的影响
  • 判断增加极点后系统是否仍稳定
  • 分析为何某系统需要引入零点
常见易错
  • 本卷考过把附加零点与附加极点的影响搞反
  • 只讨论渐近线是否左移右移,忽略分离点变化
  • 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反
本卷考法
  • 说明比例微分控制器对系统稳定性的作用
本卷实例
  • 关键一步:微分项提供正相角使轨迹左移
  • 中间结果:结合轨迹说明稳定裕度改善
  • 卡点:控制器接入点需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 比例项提高快速性但存在稳态误差
  • 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
  • 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
  • PD 相当于超前校正,PI 相当于滞后校正
步骤
  • 按误差类型选择需要引入的环节
  • 先调比例再调积分最后调微分
  • 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
  • 本卷考过说明比例微分控制器对系统稳定性的作用
  • 设计 PID 控制器满足给定指标
  • 分析各参数变化对系统性能的影响
  • 说明微分项对噪声的影响
常见易错
  • 本卷考过把微分项的相位超前作用说成滞后
  • 把 PI 的相位影响说成超前
  • 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式

5五、奈氏图与稳定性判别#

思路
  • 画出开环奈氏图,数右半平面极点数并判断闭环稳定性,再比较不同开环形式
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 由开环奈氏图判断闭环稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先数开环右半平面极点数 P
  • 中间结果:再数曲线包围临界点的圈数
  • 卡点:开环含右半平面极点,P 值数错会翻转结论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过由开环奈氏图判断闭环稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 本卷考过含积分环节时未补画无穷大圆弧
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
本卷考法
  • 分析非最小相位环节对稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:识别开环含一个右半平面极点
  • 中间结果:据此确定 P 的取值
  • 卡点:环节正负号需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 最小相位系统:全部零点极点都在左半平面
  • 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
  • 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
  • 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向
步骤
  • 检查零点实部符号判断是否最小相位
  • 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
  • 分析右半平面零点对时域响应的影响
通用考法
  • 本卷考过分析非最小相位环节对稳定性的影响
  • 判断系统是否最小相位
  • 解释阶跃响应初始反向的原因
  • 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数
常见易错
  • 本卷考过把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
  • 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
  • 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
本卷考法
  • 绘制指定条件下的奈氏图并写出画图过程
本卷实例
  • 关键一步:分别求频率趋于零与无穷时的幅值与相角
  • 中间结果:描出关键点后连线成奈氏图
  • 卡点:传函中参数符号需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过绘制指定条件下的奈氏图并写出画图过程
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 本卷考过相角累加时漏掉积分环节的负九十度
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

6六、由Bode图反求传函与相频#

思路
  • 由最小相位系统的对数幅频渐近线反求开环传函,再求指定频率处的相频
本卷考法
  • 由渐近幅频特性反求最小相位开环传函
本卷实例
  • 关键一步:由低频段斜率定积分环节个数
  • 中间结果:由各转折频率处斜率变化定环节类型与时间常数
  • 卡点:Bode图坐标需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由渐近幅频特性反求最小相位开环传函
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 本卷考过把延长线交点误当作增益而未折算型别
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
本卷考法
  • 求若干指定频率处的相频特性
本卷实例
  • 关键一步:由传函写出相频表达式
  • 中间结果:逐点代入频率求相角
  • 卡点:频率刻度需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过求若干指定频率处的相频特性
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 本卷考过相角累加时漏掉积分环节的相位
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

7七、复合控制系统补偿装置设计#

思路
  • 由扰动不变性与阶跃无差条件列方程,分别确定反馈补偿与串联校正装置
本卷考法
  • 设计复合控制使输出不受可测扰动影响且阶跃无差
本卷实例
  • 关键一步:令扰动到输出的传函为零求补偿通道
  • 中间结果:再由误差传函满足阶跃无差定串联环节
  • 卡点:补偿点位置需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 反馈校正可改变被包围环节的特性,抑制参数波动
  • 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
  • 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
  • 前馈不改变闭环稳定性,可与反馈叠加使用
步骤
  • 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
  • 写出等效后的传递函数
  • 按不变性原理列写前馈补偿器条件
  • 求解补偿器并校验可实现性
通用考法
  • 本卷考过设计复合控制使输出不受可测扰动影响且阶跃无差
  • 设计反馈校正装置改善被包围环节
  • 求前馈补偿器实现不变性
  • 分析复合控制对稳态误差的作用
常见易错
  • 本卷考过前馈补偿器结果不可实现却直接采用
  • 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分,不可实现却直接采用
  • 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大
公式
本卷考法
  • 由扰动作用下输出不变性条件列方程
本卷实例
  • 关键一步:单独考虑扰动 N 并令参考输入为零
  • 中间结果:写出扰动到输出的传函并令其为零
  • 卡点:结构图回路需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
  • 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
  • 增大扰动点前的增益可减小扰动误差
步骤
  • 令参考输入为零,求扰动到误差的传递函数
  • 代入扰动信号求稳态值
  • 与输入引起的误差叠加
通用考法
  • 本卷考过由扰动作用下输出不变性条件列方程
  • 求扰动引起的稳态误差
  • 比较扰动与输入对误差的不同影响
  • 分析提高前向增益的作用
常见易错
  • 本卷考过求扰动传函时未把参考输入置零
  • 把扰动误差直接当作总误差,遗漏输入分量
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 分析提高系统型别对稳态误差与稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:用增加积分环节提高系统型别
  • 中间结果:同时用校正环节保证闭环稳定
  • 卡点:补偿装置可实现性需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 提高开环增益可减小有差系统的误差,但会削弱稳定性
  • 增加积分环节可提高型别,代价是相位滞后与超调增大
  • 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
  • 采用扰动补偿可提高扰动不变性
步骤
  • 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
  • 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
  • 校验补偿后系统仍然稳定
  • 重新计算稳态误差确认达标
通用考法
  • 本卷考过分析提高系统型别对稳态误差与稳定性的影响
  • 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
  • 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
  • 说明为何单纯提高增益不可行
常见易错
  • 本卷考过只谈误差减小而不检查稳定性
  • 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
  • 把增加积分环节的影响单一化,忽略超调
公式

8八、校正前后Bode与稳定裕度#

思路
  • 分别画原系统与校正装置的Bode图,再计算校正系统的相位裕度与增益裕度
本卷考法
  • 绘制原系统与串联校正装置的对数频率特性
本卷实例
  • 关键一步:把传函写成典型环节串联形式
  • 中间结果:按转折频率逐段叠加斜率
  • 卡点:传函系数需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制原系统与串联校正装置的对数频率特性
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 本卷考过转折频率顺序易写反,需复核表达式
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算相位裕度与增益裕度
本卷实例
  • 关键一步:由幅值条件求截止频率
  • 中间结果:由相角条件求相位穿越频率再算裕度
  • 卡点:开环表达式中的系数需复核
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算相位裕度与增益裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 本卷考过把截止频率与相位穿越频率用反
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 分析串联超前校正装置对系统性能的改善
本卷实例
  • 关键一步:由未校正系统相角求所需补偿角
  • 中间结果:据此确定超前网络时间常数
  • 卡点:校正装置参数需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过分析串联超前校正装置对系统性能的改善
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 本卷考过补偿角未计入截止频率变化的附加相角损失
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

9九、状态空间建模与极点配置#

思路
  • 由状态空间系数阵求传递函数与能控能观矩阵,再设计状态反馈配置闭环极点
本卷考法
  • 由状态空间模型求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先算预解矩阵的逆再乘输出矩阵
  • 中间结果:整理成传递函数并核对零极点
  • 卡点:系数阵数值需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由状态空间模型求传递函数
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 本卷考过漏掉直接传递项 D
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 构造能控性与能观性矩阵并判断
本卷实例
  • 关键一步:按定义写出能控与能观判别阵
  • 中间结果:由秩判断是否完全能控能观
  • 卡点:矩阵元素需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过构造能控性与能观性矩阵并判断
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过只算到二阶矩阵就下结论
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈阵使闭环极点位于给定位
本卷实例
  • 关键一步:先由期望极点写出特征多项式
  • 中间结果:再与闭环特征多项式比较系数求解
  • 卡点:反馈符号约定需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈阵使闭环极点位于给定位
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 本卷考过未验证能控性就直接配置极点
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式

10十、相平面图与圆形相轨迹#

思路
  • 对无阻尼二阶系统建立相轨迹微分方程,用等倾线或分析法画出相图并证明轨迹为圆
相平面法 非线性系统
本卷考法
  • 绘制二阶无阻尼系统的相平面图
本卷实例
  • 关键一步:把二阶方程化成一阶相轨迹方程
  • 中间结果:用等倾线法逐条绘制相轨迹
  • 卡点:原方程导数符号在逐年中缺失,需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相平面以误差及其导数为坐标,适用于一、二阶非线性系统
  • 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
  • 奇点对应系统的平衡状态,奇点类型决定局部行为
  • 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
  • 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
  • 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
  • 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
  • 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
  • 本卷考过绘制二阶无阻尼系统的相平面图
  • 画出给定初始条件下的相轨迹
  • 判断奇点类型与稳定性
  • 分析极限环的存在与形态
常见易错
  • 本卷考过相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 把相轨迹与根轨迹混淆
公式

11十一、李雅普诺夫直接法判稳#

思路
  • 选取正定李雅普诺夫函数,沿非线性系统轨线求导并判断原点稳定性
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫直接法分析原点稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先构造含二次型的正定候选函数
  • 中间结果:沿系统方程求 V 对时间的导数
  • 卡点:非线性项符号需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫直接法分析原点稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 本卷考过只判断 V 正定而未检查导数符号
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
本卷考法
  • 分析非线性系统在原点附近的稳定性
本卷实例
  • 关键一步:由候选函数导数判断是否渐近稳定
  • 中间结果:结合非线性项说明结论适用范围
  • 卡点:方程第二式OCR残缺需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 非线性系统只有局部稳定性概念,与初始条件有关
  • 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
  • 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
  • 用描述函数或相平面结果指导参数选择
步骤
  • 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
  • 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
  • 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
  • 重新分析确认自振消除或幅值达标
通用考法
  • 本卷考过分析非线性系统在原点附近的稳定性
  • 提出消除自振的工程措施
  • 分析增益变化对极限环幅值的影响
  • 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊
常见易错
  • 本卷考过把非线性项线性化后直接沿用线性结论
  • 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
  • 把不稳定极限环误判为可观测的自振