同济大学 825 自动控制理论（含现控） 2022 年真题思维导图

大纲导图全屏

难度：中等偏难　11题覆盖电路与机械建模、劳斯判据、特征根实部限制的参数范围、误差与动态指标联合选参、二阶系统频域与谐振、扰动下超前校正、Z-N整定PID、状态反馈极点配置、描述函数与参数根轨迹

板块 考点 全部 ＋ － 适应

点击节点展开/折叠　·　滚轮缩放　·　拖拽平移

控制考研哪家强，万人教育来领航
28考研交流群：1104923352
B站账号：控制考研阿祖

1一、电路网络求传递函数10 分#

思路

• 按复阻抗串并联关系或列KVL、KCL方程，求输出电压对输入电压的传递函数

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由无源电路网络求输出电压与输入电压的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把电感写成Ls、电容写成1比Cs后按复阻抗串并联化简
• 中间结果：输出支路为电感、电容与一电阻并联后再与另一电阻分压
• 卡点：复阻抗法把电容阻抗误写成Cs；含运放时忘用虚短虚断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由无源电路网络求输出电压与输入电压的传递函数
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

2二、机械系统的微分方程组与传递函数#

思路

• 分别对两质量块列牛顿方程，整理成以两位移为变量的方程组，再求u到y传函

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由弹簧阻尼连接的两质量块系统列运动微分方程并求传递函数

本卷实例

• 关键一步：分别对两质量块列牛顿第二定律方程
• 关键一步：两方程通过弹簧力与阻尼力相互耦合
• 中间结果：相互作用力方向相反、大小相等，联立消去中间量
• 卡点：相互作用力方向取反；漏掉某一质量块的惯性项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过由弹簧阻尼连接的两质量块系统列运动微分方程并求传递函数
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 以两质量块位移为状态变量写出系统运动的微分方程组

本卷实例

• 关键一步：选两位移作状态变量后整理成一阶微分方程组
• 中间结果：状态维数为4，对应两个二阶方程
• 卡点：状态变量个数与方程阶数不匹配

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过以两质量块位移为状态变量写出系统运动的微分方程组
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

3三、劳斯判据判断特征方程稳定性10 分#

思路

• 对两个给定特征方程分别列劳斯表，判断稳定性并数右半平面根个数

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据判断给定特征方程的稳定性并指出右半平面根个数

本卷实例

• 关键一步：按特征方程次数列劳斯表并数首列变号次数
• 中间结果：首列变号次数等于右半平面特征根个数
• 卡点：首列出现零时未用ε法或辅助方程处理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据判断给定特征方程的稳定性并指出右半平面根个数
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

4四、特征根实部小于-1的参数范围10 分#

思路

• 先由闭环结构写特征方程，再用平移变换s等于s撇减1后列劳斯表求K范围

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据确定使全部特征根实部小于-1的增益范围

本卷实例

• 关键一步：令s等于s撇减1代入特征方程，把要求化为新变量下稳定
• 中间结果：平移后得到关于K的新特征多项式
• 卡点：直接对原特征方程列劳斯表，未做平移

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据确定使全部特征根实部小于-1的增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 确定满足特征根实部限制的增益参数K范围

本卷实例

• 关键一步：对新劳斯表首列各元素取不等式并求交集
• 中间结果：K的上下界由新首列元素的不等式给出
• 卡点：漏取题设K大于0这个约束

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过确定满足特征根实部限制的增益参数K范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

5五、稳态误差与动态指标联合选参15 分#

思路

• 由斜坡误差定增益下界，再由超调量与调节时间定阻尼比与自然频率，联立选K与T

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由单位斜坡下的稳态误差要求反求开环增益

本卷实例

• 关键一步：按Ⅰ型系统用速度误差系数写出斜坡误差与增益关系
• 中间结果：斜坡误差等于1比Kv，可反解出K的取值下界
• 卡点：未先判稳就用终值定理求误差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由单位斜坡下的稳态误差要求反求开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与调节时间要求确定阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：由超调量公式反解阻尼比、由调节时间公式反解自然频率
• 中间结果：两个指标分别给出阻尼比与自然频率的约束
• 卡点：两种误差带的调节时间系数取混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量与调节时间要求确定阻尼比与自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 联立误差与动态指标选出一组可行的增益与时间常数

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函化为标准二阶形式后比对系数
• 中间结果：K与T由阻尼比和自然频率的关系式联立确定
• 卡点：只满足单项指标就下结论，未做交叉验证

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过联立误差与动态指标选出一组可行的增益与时间常数
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

6六、二阶系统频域特性与正弦稳态输出20 分#

思路

• 求X比R，再画对数渐近幅频、判谐振频率，最后由频率特性求正弦稳态输出

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由质量弹簧阻尼系统求位移对正弦位移激励的传递函数

本卷实例

• 关键一步：对底盘列牛顿方程，取相对位移与相对速度项
• 中间结果：传递函数为二阶形式，分子含一阶微分项
• 卡点：弹簧力与阻尼力方向和输入激励的关系取反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过由质量弹簧阻尼系统求位移对正弦位移激励的传递函数
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 概略绘制系统的对数渐近幅频特性曲线

本卷实例

• 关键一步：把传函化为标准形式并找出各转折频率
• 中间结果：由积分或微分环节与惯性环节叠加确定各段斜率
• 卡点：转折频率处斜率变化量记错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过概略绘制系统的对数渐近幅频特性曲线
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 判断系统是否存在谐振峰值并求谐振频率

本卷实例

• 关键一步：由阻尼比是否小于0.707判断谐振是否存在
• 中间结果：用谐振频率公式代入阻尼比与自然频率
• 卡点：阻尼比大于0.707时仍套用谐振峰值公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过判断系统是否存在谐振峰值并求谐振频率
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由频率特性求正弦输入下的稳态输出

本卷实例

• 关键一步：令s等于jω分别求幅频与相频
• 关键一步：稳态输出幅值等于输入幅值乘幅频
• 中间结果：指定频率处先算幅值与相角再合成正弦
• 卡点：忘记乘输入幅值2

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由频率特性求正弦输入下的稳态输出
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

7七、扰动下的超前校正设计#

思路

• 先由单位阶跃扰动误差要求定增益，再按相位裕量与交接频率要求设计超前校正

超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计串联超前校正装置使相位裕量与增益交接频率满足要求

本卷实例

• 关键一步：由未校正系统在目标截止频率处的相角求补偿角
• 关键一步：再由补偿角求超前网络参数
• 中间结果：补偿角等于目标裕度减原裕度再加附加量
• 卡点：忽略截止频率变化导致的附加相角损失

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过设计串联超前校正装置使相位裕量与增益交接频率满足要求
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 由单位阶跃扰动引起的稳态误差要求确定开环增益

本卷实例

• 关键一步：求扰动到误差的传递函数后取s趋于零的极限
• 中间结果：扰动误差与开环增益成反比，可反解增益
• 卡点：把扰动误差当成总误差，或求扰动传函时未置零参考输入

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃扰动引起的稳态误差要求确定开环增益
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

8八、PID作用与Z-N整定参数25 分#

思路

• 先说明PID三个环节的作用，再用Z-N整定法由临界增益与振荡周期算PID参数

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 说明PID控制器中比例、积分、微分三个环节的作用
• 用Z-N整定法计算PID控制器参数

本卷实例

• 关键一步：只加比例控制器使闭环临界稳定，读出临界增益与振荡周期
• 中间结果：由临界增益与振荡周期按Z-N公式换算出三个参数
• 卡点：临界增益取成实际增益而非临界值，或周期与频率弄反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过说明PID控制器中比例、积分、微分三个环节的作用
• 本卷考过用Z-N整定法计算PID控制器参数
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

9九、状态反馈极点配置15 分#

思路

• 把传函化为能控标准型，设状态反馈增益，由期望特征多项式比对系数求解

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈增益矩阵使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：先写能控标准型并验证可控性
• 关键一步：设反馈增益后比较特征多项式系数
• 中间结果：期望特征多项式由三个指定极点相乘得到
• 卡点：未验证能控性就直接配置；系数比对时符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈增益矩阵使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

10十、描述函数法基础#

思路

• 回答描述函数法的应用条件与定义，再按定义求立方非线性的描述函数

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 简述描述函数法的适用条件与描述函数定义
• 求单值奇函数非线性的描述函数

本卷实例

• 关键一步：按定义用输出基波分量与输入正弦量的复数比表示
• 中间结果：单值奇函数的描述函数为实数，正比于输出基波幅值
• 卡点：把描述函数当成频率的函数；忽略低通滤波条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过简述描述函数法的适用条件与描述函数定义
• 本卷考过求单值奇函数非线性的描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

11十一、参数根轨迹与稳定范围#

思路

• 把特征方程整理为以c为参变量的根轨迹标准形，求汇合点，再由虚轴交点定稳定范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以参数c为变量绘制闭环系统的参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把特征方程整理成1加c乘某分式等于零的标准形式
• 中间结果：等效开环含一个实零点与两个共轭虚极点
• 卡点：参数在分子时未完整提到标准形式，零点位置写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以参数c为变量绘制闭环系统的参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求参数根轨迹的汇合点坐标

本卷实例

• 关键一步：分离点方程由极点贡献倒数之和等于零点贡献倒数之和
• 中间结果：解出两个驻点，只有一个落在实轴轨迹段上
• 卡点：两个驻点都保留，未筛选

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求参数根轨迹的汇合点坐标
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴的交点求闭环稳定的参数c范围

本卷实例

• 关键一步：令特征方程中s等于jω，实部与虚部分别为零
• 中间结果：临界c由虚轴交点方程解出
• 卡点：漏掉另一组根，或未结合实轴轨迹段判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴的交点求闭环稳定的参数c范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式