1一、倒立摆建模与线性化15 分#
思路
- 把倒立摆视为绕支点转动的刚体，小偏差角下对支点列力矩平衡方程；再取小角度近似线性化，最后作零初始拉氏变换求传递函数并分解零极点。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 对倒立摆一类摆动系统按转动定律列力矩平衡方程
本卷实例
- 关键一步：选转角θ为广义坐标，对支点列转动方程
- 中间结果：方程含 sinθ 项，小偏差下近似为 θ
- 卡点：倒立摆结构示意以插图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过对倒立摆一类摆动系统按转动定律列力矩平衡方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 本卷考过漏掉重力恢复力矩或把转动惯量写成质量
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 在平衡点附近对小偏差角模型线性化
本卷实例
- 关键一步：在 θ=0 附近取 sinθ≈θ、cosθ≈1
- 中间结果：线性化方程只保留 θ 的一次项
- 卡点：支点力矩方向要与题图一致
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过在平衡点附近对小偏差角模型线性化
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 本卷考过未先求平衡点就直接展开
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式
零极点分布与响应模态
传递函数
本卷考法
- 由线性化微分方程求传递函数并写零极点
本卷实例
- 关键一步：对线性化方程两端作零初始拉氏变换
- 中间结果：传递函数为有理分式，极点由参数决定
- 卡点：零极点要用题设参数写成表达式
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过由线性化微分方程求传递函数并写零极点
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 本卷考过忽略零初始条件这一前提
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
公式