一（1~10）一、填空：传函、稳定性与状态空间基本计算20 分#
思路
- 逐空各考一个基本概念或单步计算，注意劳斯表全零行、主导极点降阶与状态反馈镇定的条件。
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由单位脉冲响应求系统闭环传递函数（第 1 空）
本卷实例
- 关键一步：单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换
- 中间结果：e 的负 t 次方对应 1/(s+1)，幅值 10 对应分子
- 卡点：把脉冲响应误当成开环传函，或漏掉幅值 10
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由单位脉冲响应求系统闭环传递函数（第 1 空）
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由阻尼比反求标准二阶开环传函的增益 K（第 2 空）
本卷实例
- 关键一步：把 G(s)=K/(s(0.1s+1)) 化为标准二阶开环形式
- 中间结果：分母 s 项系数 10 等于两倍阻尼比乘自然频率
- 卡点：忘记分子应写成自然频率平方，导致 K 差一个数量级
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由阻尼比反求标准二阶开环传函的增益 K（第 2 空）
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 用劳斯判据数右半平面闭环极点个数（第 3 空）
本卷实例
- 关键一步：列劳斯表，遇全零行先构造辅助方程再继续
- 中间结果：首列变号次数即右半平面闭环极点数
- 卡点：全零行不构造辅助方程直接继续，变号次数数错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过用劳斯判据数右半平面闭环极点个数（第 3 空）
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
高阶系统的降阶与主导极点
时域响应与动态性能
本卷考法
- 用闭环主导极点概念把高阶模型降阶（第 4 空）
本卷实例
- 关键一步：取距虚轴最近且附近无闭环零点者为主导极点
- 中间结果：保留最靠近虚轴的主导极点，并把高频段增益折算进分子
- 卡点：降阶时漏掉高频段增益，直接写成 1/(s+1)
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
- 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
- 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶
步骤
- 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
- 用主导极点对近似为二阶系统
- 用零点修正式修正超调量与峰值时间
通用考法
- 本卷考过用闭环主导极点概念把高阶模型降阶（第 4 空）
- 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
- 判断附加闭环零点对超调量的影响
- 说明某极点能否忽略的理由
常见易错
- 忽略零点对超调量的放大作用
- 只看极点距离而不管该极点的留数大小
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 正弦输入下由误差频率特性求稳态误差（第 5 空）
本卷实例
- 关键一步：正弦输入下用误差频率特性在输入频率处的模与相角
- 中间结果：稳态误差幅值为输入幅值乘误差频率特性模值
- 卡点：正弦输入误用终值定理，或漏乘输入幅值 5
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过正弦输入下由误差频率特性求稳态误差（第 5 空）
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
超前校正
系统校正
本卷考法
- 判断相角骤减系统不宜用超前校正（第 6 空）
本卷实例
- 关键一步：超前校正依赖截止频率附近的相位超前量
- 中间结果：若该频段相角骤降，超前量会被抵消，需先评估相角储备
- 卡点：只记超前校正能提高裕度，忽略相角骤降的不利影响
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
- 会使截止频率提高，响应加快
- 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
- 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显
步骤
- 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
- 由最大超前角公式求 α
- 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
- 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
- 本卷考过判断相角骤减系统不宜用超前校正（第 6 空）
- 设计串联超前校正装置
- 计算校正后的相角裕度与截止频率
- 分析超前校正的局限性
常见易错
- 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
- α 的取值与超前角公式方向取反
公式
相平面法
非线性系统
本卷考法
- 由二阶状态方程判断相轨迹形状（第 7 空）
本卷实例
- 关键一步：由状态矩阵特征值符号判断奇点类型与稳定性
- 中间结果：由特征根实部符号与是否共轭判断奇点类型与轨迹形态
- 卡点：把奇点类型与相轨迹形态对应错，或忘记看实部符号
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
- 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
- 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
- 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
- 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
- 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
- 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
- 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
- 本卷考过由二阶状态方程判断相轨迹形状（第 7 空）
- 画出给定初始条件下的相轨迹
- 判断奇点类型与稳定性
- 分析极限环的存在与形态
常见易错
- 相轨迹斜率公式中分子分母写反
- 把相轨迹与根轨迹混淆
公式
连续系统的离散化
离散控制系统
本卷考法
- 判断连续系统离散化后能控性的变化（第 8 空）
本卷实例
- 关键一步：离散系统的能控性会因采样周期选取而改变
- 中间结果：能控性是否保持需由采样周期与系统结构具体判断
- 卡点：忽略采样周期对能控性的影响
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
- 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
- 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变
步骤
- 求连续系统的状态转移矩阵
- 把采样周期代入得到离散状态矩阵
- 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
- 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应
通用考法
- 本卷考过判断连续系统离散化后能控性的变化（第 8 空）
- 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
- 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
- 计算采样点上的状态与输出序列
常见易错
- 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
- 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵
公式
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 由传递函数写能观标准型（第 9 空，据宝典补回）
本卷实例
- 关键一步：先写能控标准型，再用对偶定理得能观标准型
- 中间结果：由 G(s) 分解出直接项后按对偶关系写系数阵
- 卡点：忘记处理直接项 D，或对偶时系数顺序写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由传递函数写能观标准型（第 9 空，据宝典补回）
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 由状态方程判断能控性并给出可镇定的参数条件（第 10 空）
本卷实例
- 关键一步：列能控性矩阵并要求满秩
- 中间结果：能控性矩阵某行恒为零，需由满秩条件解出参数约束
- 卡点：只看矩阵对角形式就误判能控，忽略 B 的结构
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过由状态方程判断能控性并给出可镇定的参数条件（第 10 空）
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置
状态空间分析
本卷考法
- 由极点可配置条件确定状态反馈镇定的参数范围（第 10 空）
本卷实例
- 关键一步：状态反馈可任意配置极点的前提是系统能控
- 中间结果：能控性给出参数约束，镇定还要求全部极点在左半平面
- 卡点：漏掉极点位置对可镇定的附加约束
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过由极点可配置条件确定状态反馈镇定的参数范围（第 10 空）
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
公式