一（1~4）一、填空：响应求传函、裕度与状态空间#
思路
- 四空分别考线性系统响应叠加、最大相角裕度、状态方程镇定性/能观性与状态转移矩阵反求。
由响应曲线反求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由单位阶跃响应与稳态值反求系统传递函数（第 1 空）
本卷实例
- 关键一步：由单位阶跃响应的稳态值与输入幅值之比得闭环增益
- 中间结果：传递函数由 h(t) 的拉氏变换与阶跃输入拉氏变换之比得到
- 卡点：把响应稳态值当成时间常数，或漏掉输入幅值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态值决定增益 K
- 超调量只由阻尼比 ξ 决定
- 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
- 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
- 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
- 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
- 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
- 写出标准形式并补上增益
通用考法
- 本卷考过由单位阶跃响应与稳态值反求系统传递函数（第 1 空）
- 由实验阶跃响应曲线求传递函数
- 由给出的性能指标反求参数
常见易错
- 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
- 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 求矩形脉冲输入下线性系统的零初始输出（第 1 空）
本卷实例
- 关键一步：把矩形脉冲分解为两个阶跃叠加，利用线性系统叠加原理
- 中间结果：输出为 h(t) 与其延迟 h(t-1) 之差再乘脉冲幅值
- 卡点：只求零状态响应忽略延迟项，或把脉冲当冲激
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过求矩形脉冲输入下线性系统的零初始输出（第 1 空）
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
稳定裕度
频域分析
本卷考法
- 求使相角裕度最大时的开环增益 K 与最大裕度（第 2 空）
本卷实例
- 关键一步：先写相频表达式，求相角裕度取最大时的截止频率
- 中间结果：由反正切式配方求极大值，再由幅值条件定 K
- 卡点：把相角裕度公式中的 180 度基准弄错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过求使相角裕度最大时的开环增益 K 与最大裕度（第 2 空）
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 判断状态方程渐近稳定条件与系统可观测条件（第 3 空）
本卷实例
- 关键一步：由状态矩阵特征值实部全负得渐近稳定，由能观性矩阵满秩得可观
- 中间结果：由特征值实部全负列 a 约束，由能观性矩阵行列式非零列另一约束
- 卡点：只算特征方程不检查能观性矩阵的行列式
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过判断状态方程渐近稳定条件与系统可观测条件（第 3 空）
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态转移矩阵
状态空间分析
本卷考法
- 由状态转移矩阵反求系统矩阵 A（第 4 空）
本卷实例
- 关键一步：对状态转移矩阵在 t 等于 0 处求导得系统矩阵 A
- 中间结果：矩阵逐元素求导后取 t 等于 0 即可读出 A 各元素
- 卡点：对矩阵逐元素求导时漏项或符号出错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过由状态转移矩阵反求系统矩阵 A（第 4 空）
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
公式
连续系统的离散化
离散控制系统
本卷考法
- 求 T 等于 ln2 时的离散化系统矩阵（第 4 空）
本卷实例
- 关键一步：离散化矩阵为 e 的 AT 次方，把 T 代入状态转移矩阵
- 中间结果：T 等于 ln2 代回后指数项化简为 1/2 的幂次
- 卡点：把 ln2 当成 1.2，或直接代时间常数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
- 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
- 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变
步骤
- 求连续系统的状态转移矩阵
- 把采样周期代入得到离散状态矩阵
- 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
- 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应
通用考法
- 本卷考过求 T 等于 ln2 时的离散化系统矩阵（第 4 空）
- 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
- 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
- 计算采样点上的状态与输出序列
常见易错
- 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
- 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵
公式