一一、现代控制简答题#
思路
- 四个简答小题覆盖现代控制基础：能控能观判据与结构分解及传函零极点对消、状态反馈对能控能观与极点的影响、观测器存在条件与分离定理、最优控制提法与求解方法。
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 第(1)问：述能控性能观性的判据与结构分解
- 第(1)问：说明传函零极点对消与能控能观的关系
本卷实例
- 关键一步：由能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断系统的能控与能观性
- 中间结果：不完全能控时按能控性分解出能控与不能控子空间
- 卡点：零极点对消对应某模态不能控或不能观
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过第(1)问：述能控性能观性的判据与结构分解
- 本卷考过第(1)问：说明传函零极点对消与能控能观的关系
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过只算到 A 的 n-2 次方乘 B 就下结论
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 第(1)问：解释传递函数矩阵零极点对消与能控能测的对应
本卷实例
- 关键一步：由传函矩阵最小实现的维数判断是否存在对消
- 中间结果：传函极点数等于能控且能观子系统的阶数
- 卡点：被对消的模态不影响输入输出但影响内部稳定性
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过第(1)问：解释传递函数矩阵零极点对消与能控能测的对应
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 本卷考过把特征值个数与传函极点数直接等同而不查对消
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
状态反馈与极点配置
状态空间分析
本卷考法
- 第(2)问：述状态反馈对能控性、能观性与极点的影响
- 第(2)问：述状态反馈可镇定系统的条件
本卷实例
- 关键一步：用状态反馈前后能控性矩阵秩不变说明能控性保持
- 中间结果：状态反馈改变特征多项式即改变闭环极点分布
- 卡点：不能控模态须自身稳定才能靠反馈镇定
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过第(2)问：述状态反馈对能控性、能观性与极点的影响
- 本卷考过第(2)问：述状态反馈可镇定系统的条件
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
公式
状态观测器设计
状态空间分析
本卷考法
- 第(3)问：述观测器存在的条件与设计观测器的用途
- 第(3)问：述带观测器状态反馈的分离定理与传函差别
本卷实例
- 关键一步：用对偶原理把观测器设计化为状态反馈极点配置
- 中间结果：观测器极点可任意配置的条件是系统能观
- 卡点：状态反馈与观测器极点可分开独立配置
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过第(3)问：述观测器存在的条件与设计观测器的用途
- 本卷考过第(3)问：述带观测器状态反馈的分离定理与传函差别
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 本卷考过把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式
最优控制的极大值原理
最优控制
本卷考法
- 第(4)问：述最优控制问题的一般提法与主要求解方法
本卷实例
- 关键一步：写出性能指标、状态方程与容许控制集三要素
- 中间结果：由哈密顿函数写出正则方程组与横截条件
- 卡点：终端约束不同则横截条件的写法不同
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 最优控制问题由状态方程、性能指标与控制量约束共同描述
- 哈密顿函数对控制量取极值是极大值原理的核心条件
- 协态方程与横截条件由哈密顿函数分别对状态量和终端条件给出
- 终端自由时横截条件要求终端协态为零
步骤
- 构造哈密顿函数（性能指标的被积函数加上协态与状态方程的乘积）
- 由哈密顿函数对控制量取极值解出最优控制与协态的关系
- 写出协态方程与边界条件，与状态方程联立
- 求状态与协态的解析解，再回代得最优控制与最优轨线
通用考法
- 本卷考过第(4)问：述最优控制问题的一般提法与主要求解方法
- 用极大值原理求使性能指标极小的最优控制与最优轨线
- 构造哈密顿函数并写出正则方程组
- 判断终端约束对应的横截条件
常见易错
- 本卷考过终端自由时仍把协态终值取零以外的值
- 终端自由时仍把协态终值取零以外的值，或反之错把终端固定当自由
- 解出控制量后忘记回代状态方程验证
公式
线性二次型最优控制
最优控制
本卷考法
- 第(4)问：比较线性调节器与跟踪问题的目标函数设计
本卷实例
- 关键一步：调节器以状态与控制加权，跟踪以输出误差加权
- 中间结果：跟踪问题比调节器多一个期望输出的参考项
- 卡点：加权阵变化同时影响响应快慢与控制量大小
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 性能指标由状态量的二次型与控制量的二次型加权求和
- 最优控制是状态的线性反馈，反馈阵由黎卡提方程的解给出
- 加权阵对状态惩罚越重，闭环响应越快、控制量越大
- 无限时间问题中黎卡提方程取稳态解
步骤
- 写出性能指标与状态方程，确定加权阵
- 写出黎卡提代数方程并列写矩阵元素方程
- 解出正定的解阵，再由反馈公式得到最优反馈增益
- 校验闭环稳定性与加权阵的对称正定性
通用考法
- 本卷考过第(4)问：比较线性调节器与跟踪问题的目标函数设计
- 由性能指标求最优控制律与闭环系统
- 解黎卡提方程求反馈增益阵
- 分析加权阵变化对响应快慢与控制量的影响
常见易错
- 本卷考过黎卡提方程里的项顺序写错，导致解阵不对称
- 黎卡提方程里的项顺序写错，导致解阵不对称
- 只找到解阵的非正定解而舍去正定解
公式