一一、现代控制简答题24 分#
思路
- 四个简答小题：能控性格拉姆矩阵判据与对偶、状态反馈对能控能观与极点的影响、观测器极点任意配置条件、最省燃料目标函数与最优控制解法。
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 第1问：写能控性格拉姆矩阵判据并讨论对偶
本卷实例
- 关键一步：先写能控性格拉姆矩阵再判断其非奇异
- 中间结果：完全能控不能保证完全能观，需另判能观
- 卡点：反例可取输出矩阵元素全为零
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过第1问：写能控性格拉姆矩阵判据并讨论对偶
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置
状态空间分析
本卷考法
- 第2问：述状态反馈对能控能观和极点的影响
本卷实例
- 关键一步：状态反馈不改变能控性但会改变闭环极点
- 中间结果：极点可任意配置的充要条件是完全能控
- 卡点：系统稳定的充要条件是闭环特征根均具负实部
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过第2问：述状态反馈对能控能观和极点的影响
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
公式
状态观测器设计
状态空间分析
本卷考法
- 第3问：述观测器可任意配置极点的充要条件
本卷实例
- 关键一步：先判系统完全能观再设计全维观测器
- 中间结果：观测器与状态反馈极点共同决定闭环极点
- 卡点：加观测器不改变原输入输出传递函数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过第3问：述观测器可任意配置极点的充要条件
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 本卷考过把观测器增益阵写成状态反馈增益阵的形式
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式
泛函极值与变分法
最优控制
本卷考法
- 第4问：写最省燃料目标函数并说明变分法适用性
本卷实例
- 关键一步：先写出含控制量绝对值的性能泛函
- 中间结果：变分法要求控制无约束且泛函可微
- 卡点：最省燃料含控制约束，要对方法适用性下判断
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 泛函的极值由欧拉-拉格朗日方程给出，它是变分法的基本必要条件
- 被积函数不显含自变量时可用首次积分降阶
- 端点固定的横截条件由给定的边界条件直接给出
步骤
- 写出被积函数（含状态量、状态量的导数、自变量）
- 代入欧拉-拉格朗日方程并化简
- 对被积函数不显含自变量的情形改用首次积分降阶
- 代入两端边界条件定积分常数，得到极值函数
通用考法
- 本卷考过第4问：写最省燃料目标函数并说明变分法适用性
- 求给定泛函在给定边界条件下的极值函数
- 写出欧拉-拉格朗日方程并化简
- 说明横截条件的作用
常见易错
- 本卷考过边界条件有多个时只用两个，漏掉导数的端点条件
- 边界条件有多个时只用两个，漏掉导数的端点条件
- 含高阶导数的泛函仍套一阶的欧拉方程
公式
最优控制的极大值原理
最优控制
本卷考法
- 第4问追问：列举除变分法外的最优控制解法
本卷实例
- 关键一步：按控制有无约束区分极小值原理与动态规划
- 中间结果：线性二次型问题可用黎卡提方程求解
- 卡点：各方法适用范围要按约束与指标形式说明
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 最优控制问题由状态方程、性能指标与控制量约束共同描述
- 哈密顿函数对控制量取极值是极大值原理的核心条件
- 协态方程与横截条件由哈密顿函数分别对状态量和终端条件给出
- 终端自由时横截条件要求终端协态为零
步骤
- 构造哈密顿函数（性能指标的被积函数加上协态与状态方程的乘积）
- 由哈密顿函数对控制量取极值解出最优控制与协态的关系
- 写出协态方程与边界条件，与状态方程联立
- 求状态与协态的解析解，再回代得最优控制与最优轨线
通用考法
- 本卷考过第4问追问：列举除变分法外的最优控制解法
- 用极大值原理求使性能指标极小的最优控制与最优轨线
- 构造哈密顿函数并写出正则方程组
- 判断终端约束对应的横截条件
常见易错
- 本卷考过终端自由时仍把协态终值取零以外的值
- 终端自由时仍把协态终值取零以外的值，或反之错把终端固定当自由
- 解出控制量后忘记回代状态方程验证
公式