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厦门大学 844 自动控制理论(含现控) 2024 年真题思维导图

985 院校共 10 题

难度:中等 10道大题各15分、合计150分。覆盖电路网络传函与方框图、由阶跃响应反求二阶参数、劳斯判据求全部特征根、概略根轨迹、开环对数幅频特性、串联超前校正、根轨迹为圆的证明、飞机系统参数根轨迹、由脉冲传函求对角标准型、可控可观标准型的能控能观对比。

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1一、由电路求传递函数并画方框图(含图)#

思路
  • 由电路图列复阻抗分压方程求出输出电压与输入电压之比,再按信号流向画出对应系统方框图。
本卷考法
  • 由RC网络复阻抗关系求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按复阻抗分压关系列输入输出方程
  • 中间结果:整理成输出电压比输入电压的有理分式
  • 卡点:电容阻抗写成1除以sC,别与Cs混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 电路用复阻抗法:电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
  • 机械平移系统三种元件:质量 m、阻尼 f、弹簧 k
  • 先列物理定律方程,再消去中间变量
  • 列方程的依据:KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
  • 画出复阻抗等效电路或受力分析图
  • 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
  • 消去中间变量,得到只含输入输出的方程
  • 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
  • 本卷考过由RC网络复阻抗关系求传递函数
  • 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
  • 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
  • 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由电路结构画出对应系统方框图
本卷实例
  • 关键一步:按信号流向确定各环节串联与并联关系
  • 中间结果:反馈支路用比较点与引出点表示
  • 卡点:电路拓扑以图给出,环节接线需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由电路结构画出对应系统方框图
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式

2二、由阶跃响应曲线求二阶参数(含图)#

思路
  • 由方框图写闭环传函并化为标准二阶形式;由响应曲线的稳态值与峰值反求阻尼比、自然频率与各参数。
本卷考法
  • 由单位阶跃响应曲线反求闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:由稳态值定增益、由峰值定超调量
  • 中间结果:响应曲线峰值与稳态值之比给出超调量
  • 卡点:响应曲线以图给出,读数需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态值决定增益 K
  • 超调量只由阻尼比 ξ 决定
  • 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
  • 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
  • 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
  • 判断系统是一阶还是二阶(看有无振荡)
  • 由超调量反求 ξ,再由峰值时间反求 ωn
  • 写出标准形式并补上增益
通用考法
  • 本卷考过由单位阶跃响应曲线反求闭环传递函数
  • 由实验阶跃响应曲线求传递函数
  • 由给出的性能指标反求参数
常见易错
  • 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 把闭环传函化为标准二阶并对应系数
本卷实例
  • 关键一步:将分母常数项与自然频率平方对应
  • 中间结果:一次项系数等于两倍阻尼比乘自然频率
  • 卡点:先归一化二次项系数再读参数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过把闭环传函化为标准二阶并对应系数
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量与峰值时间反求阻尼比与自然频率
本卷实例
  • 关键一步:由超调量公式反解阻尼比
  • 中间结果:峰值时间给出阻尼比与自然频率的组合
  • 卡点:峰值时间公式中的π与根号项别写错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由超调量与峰值时间反求阻尼比与自然频率
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由阻尼比与自然频率反求系统各参数
本卷实例
  • 关键一步:把标准二阶系数写成所求参数的表达式
  • 中间结果:三个参数由两个系数与增益分别解出
  • 卡点:参数符号要与方框图中的反馈支路一致
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量要求给出 ξ 的下界,调节时间要求给出 ξωn 的下界
  • 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
  • 指标之间往往相互制约,需权衡取舍
步骤
  • 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
  • 在参数平面上画出各不等式的可行域
  • 取交集并选取合适的参数值
  • 回代验证全部指标是否满足
通用考法
  • 本卷考过由阻尼比与自然频率反求系统各参数
  • 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
  • 求满足指标要求的参数取值范围
  • 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
  • 只满足单项指标就下结论,未做交叉验证
  • 把 ξ 的可行域方向取反
公式

3三、用劳斯判据判断稳定并求全部特征根#

思路
  • 对六阶特征方程列劳斯表;出现全零行时用辅助方程求虚根并继续列,由首列变号判断不稳定根个数,再长除求出全部特征根。
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 对六阶特征方程列劳斯表判断稳定性
本卷实例
  • 关键一步:发现全零行时用上一行系数构造辅助方程
  • 中间结果:由辅助方程求出纯虚根与对称根
  • 卡点:出现全零行后要用辅助方程求导后的系数继续列
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过对六阶特征方程列劳斯表判断稳定性
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式

4四、概略根轨迹绘制#

思路
  • 标出三个开环极点后判实轴段、求渐近线与分离点,再求根轨迹与虚轴交点后画出概略曲线。
本卷考法
  • 按法则绘制三个开环极点的概略根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:标极点后判实轴根轨迹段并求三条渐近线
  • 中间结果:实轴段由该段右侧极点个数为奇数确定
  • 卡点:渐近线与实轴夹角按二k加一乘π除以极点数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按法则绘制三个开环极点的概略根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求根轨迹分离点并筛选有效解
本卷实例
  • 关键一步:令分离点方程为零并解方程
  • 中间结果:方程解需按实轴根轨迹段筛选
  • 卡点:不在根轨迹上的解要舍去
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹分离点并筛选有效解
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
本卷考法
  • 求根轨迹与虚轴交点及临界参数
本卷实例
  • 关键一步:将复变量代成纯虚数代入特征方程
  • 中间结果:由实部虚部均为零求交点频率与参数
  • 卡点:要同时核对交点频率与对应参数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及临界参数
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式

5五、画开环对数幅频特性曲线#

思路
  • 把开环传函化为标准时间常数形式,读低频段斜率与各转折频率,逐段累加斜率画出对数渐近幅频特性。
本卷考法
  • 识别开环传函各典型环节的转折频率
本卷实例
  • 关键一步:按各环节时间常数求转折频率
  • 中间结果:振荡环节在自然频率处斜率减少40
  • 卡点:振荡环节谐振峰不等于自然频率处幅值
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 比例环节是水平线,积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
  • 惯性环节转角频率为 1/T,高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
  • 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
  • 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰,ξ 越小峰越高
步骤
  • 把传递函数分解为典型环节乘积
  • 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
  • 代数相加得到总特性
通用考法
  • 本卷考过识别开环传函各典型环节的转折频率
  • 画出某一典型环节的 Bode 图
  • 由 Bode 图识别环节类型
  • 说明转角频率处的幅值与相角
常见易错
  • 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
  • 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn
公式
本卷考法
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
本卷实例
  • 关键一步:由积分环节个数定低频段起始斜率
  • 中间结果:低频段高度由开环增益折算得到
  • 卡点:逐段改斜率要累加而非替换
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制开环对数渐近幅频特性
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式

6六、串联校正装置设计#

思路
  • 先由稳态误差系数要求定开环增益,再画校正前频率特性求截止频率与相角裕度,判断需超前校正后按截止频率要求求网络参数并校验。
本卷考法
  • 由静态误差系数要求反求开环增益
本卷实例
  • 关键一步:由速度误差系数指标定开环增益
  • 中间结果:积分环节个数决定可达的误差系数
  • 卡点:位置误差系数无穷要求开环至少含一个积分环节
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过由静态误差系数要求反求开环增益
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式
本卷考法
  • 根据指标判断需加超前校正
本卷实例
  • 关键一步:比较校正前相角裕度与要求值
  • 中间结果:裕度与截止频率都不足时选超前校正
  • 卡点:校正后截止频率会移动,设计要迭代
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
  • 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
  • 时域指标与频域指标存在对应关系
  • 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标
步骤
  • 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
  • 画出未校正系统的 Bode 图
  • 比较未校正特性与目标要求的差距
  • 选择校正方式并计算校正装置参数
通用考法
  • 本卷考过根据指标判断需加超前校正
  • 说明串联校正与反馈校正的适用场合
  • 把时域指标折算为频域指标
  • 分析未校正系统的主要缺陷
常见易错
  • 把截止频率与相位穿越频率混用
  • 只盯相角裕度而忽略带宽要求
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 设计串联超前校正网络参数
本卷实例
  • 关键一步:令校正后截止频率等于最大超前频率
  • 中间结果:由原系统在该频率的幅值确定网络参数
  • 卡点:求出的参数要回代核对相角裕度
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过设计串联超前校正网络参数
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算校正前后的截止频率与相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:由幅频曲线与零分贝线交点求截止频率
  • 中间结果:相角裕度等于180度加上该频率处相角
  • 卡点:截止频率与相角穿越频率别混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算校正前后的截止频率与相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

7七、证明复数根轨迹为圆#

思路
  • 设复变量代入闭环特征方程,消去增益后整理成关于实部与虚部的圆方程,由此证明复数根轨迹部分为圆。
本卷考法
  • 用相角与幅值条件分析根轨迹轨迹形状
本卷实例
  • 关键一步:把特征方程整理成增益等于负一分式的形式
  • 中间结果:复变量满足的幅相条件决定轨迹形状
  • 卡点:幅值条件只定增益,轨迹形状由相角条件决定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
  • 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
  • 相角条件决定根轨迹的形状,幅值条件决定对应的参数值
  • 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数
步骤
  • 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
  • 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
  • 用相角条件判断某点是否在根轨迹上
通用考法
  • 本卷考过用相角与幅值条件分析根轨迹轨迹形状
  • 判断给定点是否在根轨迹上
  • 由幅值条件求该点对应的 K
  • 说明相角条件与幅值条件各自的作用
常见易错
  • 把相角条件的 180° 写成 0°(正反馈时才用 0°)
  • 用幅值条件判点,搞混两个条件的用途
公式
本卷考法
  • 由闭环特征方程推导根轨迹的几何轨迹
本卷实例
  • 关键一步:设复变量为实部加虚部代入特征方程
  • 中间结果:消去增益后化为圆的方程
  • 卡点:整理时增益要完整约去再配方
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征方程推导根轨迹的几何轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式

8八、飞机控制系统的参数根轨迹(含图)#

思路
  • 由系统结构图写开环传函,把可变增益看作参变量绘根轨迹;分析零点与极点分布对根轨迹形状的影响,定出主导极点对应参数。
本卷考法
  • 以增益因子为参变量绘制参数根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:按结构图写出含参变量的开环传函
  • 中间结果:零极点分布随参变量取值而变
  • 卡点:系统结构以图给出,开环传函需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
  • 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
  • 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
  • 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
  • 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
  • 按常规根轨迹法则绘制
  • 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
  • 本卷考过以增益因子为参变量绘制参数根轨迹
  • 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
  • 绘制正反馈系统的零度根轨迹
  • 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
  • 整理时没有把参数完整地提到分子位置
  • 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
本卷考法
  • 由根轨迹确定满足主导极点阻尼比的参数
本卷实例
  • 关键一步:画等阻尼线后与根轨迹求交点
  • 中间结果:交点处参数给出期望主导极点位置
  • 卡点:参数可调范围较大时轨迹分支较多
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由根轨迹确定满足主导极点阻尼比的参数
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式
本卷考法
  • 分析附加零极点对根轨迹形状的影响
本卷实例
  • 关键一步:比较不同增益下的零点位置对轨迹的吸引
  • 中间结果:附加零点使根轨迹向零点方向弯曲
  • 卡点:只看渐近线变化会漏掉分离点变化
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 增加开环零点使根轨迹左移,改善稳定性
  • 增加开环极点使根轨迹右移,恶化稳定性
  • 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
  • 增加极点还可能是系统结构不稳定
步骤
  • 对比增加前后零极点分布
  • 重新判断实轴段与渐近线
  • 分析根轨迹整体移动方向
  • 据此说明对稳定性和动态性能的影响
通用考法
  • 本卷考过分析附加零极点对根轨迹形状的影响
  • 说明附加零点对根轨迹形状的影响
  • 判断增加极点后系统是否仍稳定
  • 分析为何某系统需要引入零点
常见易错
  • 只讨论渐近线是否左移右移,忽略分离点变化
  • 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反

9九、由脉冲传函求对角标准型与结构图#

思路
  • 对离散脉冲传函做部分分式分解成对角形式,按每个一阶环节写状态方程与输出方程,再按系数画系统结构图。
本卷考法
  • 由脉冲传函写对角标准型状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:对分母做部分分式分解成对角项
  • 中间结果:对角阵元素为一阶环节的极点
  • 卡点:离散传函的对角实现与连续形式写法不同
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由脉冲传函写对角标准型状态空间表达式
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 按对角实现画系统结构图
本卷实例
  • 关键一步:每个一阶环节用一个延迟或积分单元实现
  • 中间结果:各支路按部分分式系数并联到输出
  • 卡点:离散实现用单位延迟,别画成连续积分器
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过按对角实现画系统结构图
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 由离散脉冲传函确定系统阶数与结构
本卷实例
  • 关键一步:识别脉冲传函极点为状态矩阵对角元
  • 中间结果:脉冲传函分母给出系统阶数
  • 卡点:采样开关位置不同会改变脉冲传函写法
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过由离散脉冲传函确定系统阶数与结构
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式

10十、可控与可观标准型的能控能观性对比#

思路
  • 分别用能控判别阵与能观判别阵判断两组状态空间表达式的能控能观性,并由传递函数出现零极点对消解释同一系统能控能观性的差异。
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 构造判别阵判断状态空间表达式的能控性与能观性
本卷实例
  • 关键一步:分别构造能控与能观判别阵求秩
  • 中间结果:判别阵是否满秩决定对应性质
  • 卡点:能控与能观的判别阵构造容易互混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过构造判别阵判断状态空间表达式的能控性与能观性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 由传递函数零极点对消解释能控能观性差异
本卷实例
  • 关键一步:由状态空间表达式求出传递函数
  • 中间结果:出现零极点对消时系统不完全能控或能观
  • 卡点:状态变量选取不同则可控可观性表现不同
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由传递函数零极点对消解释能控能观性差异
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式