湖南大学 823 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

大纲导图全屏

难度：中等　7 个大题，覆盖连续与离散的经典内容；依次考有源网络建模、根轨迹（含附加零点前后对比）、结构图多输入与扰动补偿、由阶跃响应反求弹簧拉力系统参数、一型系统稳态误差与奈氏判据及稳定裕度、最小相位系统由对数幅频反求传函与组合输入稳态误差、离散系统稳定性与最少拍设计；七题全部带图

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一有源网络求传递函数#

思路

• 由原卷插图读出运放与阻容反馈网络，用虚短虚断把反相输入端视为虚地，把反馈支路写成电阻电容的复阻抗组合，再按输出与输入之比等于负的反馈阻抗比输入阻抗写出传递函数。

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由含运放的阻容网络求传递函数

本卷实例

• 关键一步：把电容写成复阻抗，反馈支路按串并联关系合并成一个等效阻抗
• 中间结果：输入阻抗为单个电阻，反馈阻抗是电阻与串联阻容支路的并联
• 卡点：反馈网络中电阻电容的串并联关系需回原卷核对图
• 卡点：电容复阻抗应写成 1/(sC) 而不是 sC

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过由含运放的阻容网络求传递函数
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

二根轨迹：单位反馈与附加零点对比#

思路

• 第一问先按开环极点 0、-1、-4 画根轨迹，用实轴段判据、渐近线公式、分离点方程与虚轴交点求稳定域；第二问把补偿环节 s+2 并入开环，得到极点 0、-1、-4 与零点 -2，重画并比较。第一问还要求调节时间，但未给出对应增益，源文答案段已声明去掉该项。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制无零点与附加零点两种情形的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先标出三个开环极点，逐段数右侧零极点总数判断实轴根轨迹段
• 中间结果：三条渐近线在实轴上交于负三分之五处，夹角按正负六十度与一百八十度分布
• 卡点：实轴段判据要把开环极点按重数计入，本题极点 0、-1、-4 均为单极点，容易漏数 -4

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制无零点与附加零点两种情形的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求无零点根轨迹的分离点与会合点

本卷实例

• 关键一步：由 dK/ds 为零得分离点方程，再用实轴根轨迹段筛选有效根
• 中间结果：分离点方程为一元二次，两个根中只有落在实轴根轨迹段内的那个有效
• 卡点：另一个根落在不属于根轨迹的区间，必须舍去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求无零点根轨迹的分离点与会合点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由虚轴交点求临界增益与稳定范围

本卷实例

• 关键一步：把纯虚数代入闭环特征方程，令实部与虚部分别为零
• 中间结果：由虚部方程解出穿越频率，再由实部方程得到临界增益，稳定域由首列同号给出
• 卡点：穿越频率是正数，负根要舍去；临界增益是稳定的上界而不是失稳点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由虚轴交点求临界增益与稳定范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由闭环极点位置估算调节时间

本卷实例

• 关键一步：调节时间由主导极点的实部衰减因子决定，按百分之五误差带取三点五除以衰减因子
• 中间结果：要给出调节时间须先确定该问对应的增益值
• 卡点：源文未给出该增益，答案段标注去掉调节时间并说明缺少给定增益，无法定值，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由闭环极点位置估算调节时间
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

附加开环零极点的影响 根轨迹法

本卷考法

• 分析附加开环零点对稳定性、快速性与准确性的影响

本卷实例

• 关键一步：把附加零点并入开环后重新统计零极点个数，比较根轨迹整体移动方向
• 中间结果：附加零点后渐近线交点为负一点五，一条分支趋于该零点、两条趋于无穷远，实轴段也随之改变
• 卡点：附加零点主要改变根轨迹形状与低频增益分布，对准确性的作用要单独说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 增加开环零点使根轨迹左移，改善稳定性
• 增加开环极点使根轨迹右移，恶化稳定性
• 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
• 增加极点还可能是系统结构不稳定

步骤

• 对比增加前后零极点分布
• 重新判断实轴段与渐近线
• 分析根轨迹整体移动方向
• 据此说明对稳定性和动态性能的影响

通用考法

• 本卷考过分析附加开环零点对稳定性、快速性与准确性的影响
• 说明附加零点对根轨迹形状的影响
• 判断增加极点后系统是否仍稳定
• 分析为何某系统需要引入零点

常见易错

• 只讨论渐近线是否左移右移，忽略分离点变化
• 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反

三结构图：多输入叠加与扰动补偿#

思路

• 先用回路增益与不接触回路写特征式，分别令参考输入与扰动之一为零求两条通道的传函，再按线性叠加写出输出；第二问令扰动到输出的传函为零，解出使扰动不变的前馈补偿环节。

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 求参考输入与扰动分别作用下的输出表达式

本卷实例

• 关键一步：按叠加原理每次只保留一个输入，分别求参考通道与扰动通道的传函
• 中间结果：两条通道共用同一个特征式，分子按各自前向通路与余子式写
• 卡点：扰动通道有两条前向通路，其中一条经过补偿环节，容易漏掉带负号的那条

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过求参考输入与扰动分别作用下的输出表达式
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求多回路系统的特征式与前向通路

本卷实例

• 关键一步：先数出全部单独回路，判断是否互不接触，再找各前向通路及其余子式
• 中间结果：本题两个回路互相接触，没有高阶不接触项，特征式为 1 减去两回路增益之和
• 卡点：特征式中回路增益的负号容易丢；余子式要与前向通路接触的回路剔除

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求多回路系统的特征式与前向通路
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由结构图判断串联、并联与反馈等效

本卷实例

• 关键一步：把通路上的环节按串联相乘、反馈回路按负反馈公式等效
• 中间结果：可从结构图逐层化简的结果与梅森公式结果互相校验
• 卡点：反馈极性判错会让等效分母的符号相反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由结构图判断串联、并联与反馈等效
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 求使扰动对输出无影响的前馈补偿条件

本卷实例

• 关键一步：令扰动到输出的传函为零，按不变性原理反解补偿环节
• 中间结果：补偿环节可由扰动注入点之前的已知环节组合表示，也可另外加入一条补偿支路
• 卡点：求出的补偿环节要检查是否物理可实现，图上的接入位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过求使扰动对输出无影响的前馈补偿条件
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

四由阶跃响应反求弹簧拉力系统参数#

思路

• 先按牛顿第二定律对质量、阻尼与弹簧列力平衡方程得到传递函数，由阶跃响应的稳态值定刚度，再由超调量与峰值时间定阻尼比与自然频率，最后按系数对应关系反解质量与阻尼系数。

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 弹簧质量阻尼系统的建模与传递函数

本卷实例

• 关键一步：按牛顿第二定律列出合力等于质量乘加速度，阻尼力与弹簧力都取与位移反向
• 中间结果：整理后分母为质量乘二次项、阻尼乘一次项与刚度常数项
• 卡点：阻尼力与弹簧力的正负号取反会让传递函数中系数符号出错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过弹簧质量阻尼系统的建模与传递函数
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由阶跃响应曲线反求二阶系统参数

本卷实例

• 关键一步：从响应图读出稳态值、超调量与峰值时间，先用稳态值定增益再定阻尼比与自然频率
• 中间结果：稳态输出等于输入幅值乘直流增益，直流增益为刚度倒数
• 卡点：响应图上的稳态值与超调量需回原卷核对图
• 卡点：源文把超调量印成 33.3% 却在取对数时按 0.033 代入，两处不自洽

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由阶跃响应曲线反求二阶系统参数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与峰值时间计算阻尼比和自然频率

本卷实例

• 关键一步：超调量只与阻尼比有关，解出阻尼比后代入峰值时间公式求自然频率
• 中间结果：本题两个指标分别给出阻尼比与自然频率的近似值，可用于反解质量与阻尼系数
• 卡点：超调量公式中指数与阻尼比的关系容易写反；峰值时间与上升时间不要混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量与峰值时间计算阻尼比和自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

五斜坡输入下的稳态误差、奈氏判据与稳定裕度#

思路

• 由结构图写开环传函，数积分环节定型别，用赫尔维茨判据求稳定增益范围，再由速度误差系数与误差要求求增益下限，取二者交集中的最小增益；之后画奈氏曲线判稳，并求幅值裕度与相角裕度。

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：数开环传函中积分环节个数定型别，按型别写速度误差系数的极限式
• 中间结果：本题开环有一个积分环节，属一型系统，速度误差系数等于开环增益
• 卡点：开环增益与静态误差系数不能混为一谈，型别数错会影响误差公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由斜坡输入下的稳态误差要求反求增益下限

本卷实例

• 关键一步：先确认系统稳定，再把速度误差与速度误差系数的关系式代入误差要求
• 中间结果：一型系统在斜坡输入下误差与速度误差系数成反比，误差要求化为增益下限
• 卡点：题面误差要求为严格小于，对应的增益下界取不到
• 卡点：源文用无限逼近并直接取下界值，需回原卷核对口径

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由斜坡输入下的稳态误差要求反求增益下限
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

赫尔维茨判据 稳定性分析

本卷考法

• 用赫尔维茨判据求使系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征方程，按三阶系统列赫尔维茨条件
• 中间结果：稳定条件为一个含增益的一次不等式，得到稳定增益的上界
• 卡点：三阶系统的第二个主子式是中间两项乘积减去首末两项乘积，符号写反会得到相反结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由特征方程系数构造赫尔维茨行列式
• 各阶主子式全部大于零 ⇔ 系统稳定
• 与劳斯判据等价，适合阶数较低时使用

步骤

• 由特征方程系数写出赫尔维茨行列式
• 依次计算各阶主子式
• 令全部主子式大于零得到稳定条件

通用考法

• 本卷考过用赫尔维茨判据求使系统稳定的增益范围
• 用赫尔维茨判据判断稳定性
• 比较两种代数判据的适用场合

常见易错

• 行列式构造时系数下标写错
• 只验证到二阶主子式就下结论

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 画奈氏曲线并用判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数，再判断幅相曲线对临界点的包围情况
• 中间结果：本题开环无右半平面极点，曲线起点在负虚轴方向趋于无穷，穿越负实轴的位置落在临界点右侧
• 卡点：含积分环节要补画无穷大半径圆弧；穿越点相对临界点的位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过画奈氏曲线并用判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求幅值裕度与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：先在相位穿越频率处取幅值倒数得分贝形式的幅值裕度
• 关键一步：再在幅值穿越频率处按相角与一百八十度的和求相角裕度
• 中间结果：幅值裕度为正说明未校正系统本身稳定；相角裕度表达式只含两项反正切
• 卡点：两个穿越频率容易用反；相角裕度含反正切数值，源文注明无数据支撑时可保留表达式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求幅值裕度与相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

六由对数幅频特性反求传函与稳态误差#

思路

• 由低频段斜率确定积分环节个数，由各转折频率处的斜率变化确定对应环节，再由剪切频率位于 1 与 5 的几何中心及幅值条件定增益；写出相频求相角裕度，最后按二型系统求加速度误差系数与稳态误差。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由对数幅频特性曲线反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：先读低频段斜率定型别，再逐个读转折频率处的斜率变化定环节类型
• 中间结果：低频段斜率为每十倍频程下降四十分贝，对应两个积分环节
• 中间结果：转折处斜率上升与下降各一次，对应一阶微分与惯性环节各一个
• 卡点：转折频率处的斜率变化要累加；剪切频率位于两频率几何中心这一条件需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由对数幅频特性曲线反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相频特性求相角裕度

本卷实例

• 关键一步：把剪切频率代入各环节相角之和，再按相角裕度定义与一百八十度相减
• 中间结果：本题分子一阶微分环节贡献超前相角，惯性环节贡献滞后，两者之差即为相角裕度
• 卡点：剪切频率取两转折频率的几何中心，不要取算术平均；相频表达式里积分环节的负一百八十度不能漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相频特性求相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求加速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：数积分环节个数确定型别，再按型别写加速度误差系数的极限式
• 中间结果：本题为二型系统，加速度误差系数由开环增益与低频幅频延长线确定
• 卡点：源文答案把加速度误差系数写成速度误差系数，按二型系统应取加速度误差系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求加速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求组合输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把组合输入拆成斜坡与加速度两项，分别按型别判断各自是否产生稳态误差
• 中间结果：二型系统对斜坡输入无稳态误差，组合误差只由加速度分量决定
• 卡点：加速度分量的系数要与输入表达式对应；两类误差系数不能混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求组合输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

七离散系统稳定性、稳态输出与最少拍设计#

思路

• 把零阶保持器与连续环节合并整体做 z 变换求开环脉冲传函，写闭环特征方程求稳定增益范围；再由终值定理求单位阶跃下的稳态输出；最后按最少拍原则构造闭环与误差脉冲传函，反解数字控制器。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：零阶保持器与连续环节合并后再整体做 z 变换，连续部分先部分分式展开再查表
• 中间结果：开环脉冲传函为一阶有理式，分母含由采样周期决定的指数因子，闭环由单位反馈公式写出
• 卡点：零阶保持器不能与连续环节分别变换后相乘；采样开关位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 用 z 变换表处理带零阶保持器的连续部分

本卷实例

• 关键一步：先按 z 变换的延迟性质提出保持器因子，再把有理分式拆成部分分式逐项查表
• 中间结果：本题连续部分拆成一个积分环节与一个惯性环节之差，两项分别对应 z 域的两个标准分式
• 卡点：指数项中的采样周期不要漏；部分分式分解时容易漏掉常数项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过用 z 变换表处理带零阶保持器的连续部分
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求使离散系统稳定的增益范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征方程并解出特征根，令其模小于一
• 中间结果：本题特征方程是一次的，特征根为一个含增益的实根，稳定范围由一个双边不等式给出
• 卡点：稳定条件用模小于一而不是实部小于零；源文开环脉冲传函一处分母印错，按后文实际使用的形式理解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求使离散系统稳定的增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求单位阶跃输入下离散系统的稳态输出

本卷实例

• 关键一步：先在给定增益下判稳，再用终值定理由闭环脉冲传函求稳态输出
• 中间结果：阶跃输入与闭环脉冲传函相乘后取 z 趋于一的极限
• 卡点：未判稳就用终值定理没有意义；闭环脉冲传函分母的常数项容易抄错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃输入下离散系统的稳态输出
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

数字控制器与最少拍设计 离散控制系统

本卷考法

• 设计一拍最少拍数字控制器

本卷实例

• 关键一步：先按最少拍原则构造闭环脉冲传函与误差脉冲传函，再由闭环传函除以开环传函与误差传函求控制器
• 中间结果：本题开环脉冲传函在单位圆内无不稳定零极点，可按典型输入选闭环脉冲传函为一拍延迟形式
• 卡点：控制器必须是物理可实现的因果系统；采样开关位置与最小拍拍数需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
• 设计需要满足可实现性与稳定性约束
• 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
• 最少拍设计通常导致很大的控制量，需加限制

步骤

• 确定输入类型及对应的误差传函形式
• 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
• 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
• 检验可实现性、稳定性与控制量大小

通用考法

• 本卷考过设计一拍最少拍数字控制器
• 设计最少拍数字控制器
• 比较不同输入类型下的最少拍数
• 分析最少拍系统存在的问题

常见易错

• 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件

公式