湖南大学 823 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等偏难　七道大题覆盖复阻抗网络、多输入信号流图、结构图与参数稳定域、含右半平面极点的根轨迹、由幅频反求传函与相角裕度、奈氏判据、离散系统稳定性与稳态误差

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1复阻抗法求网络传递函数#

思路

• 用复阻抗法把电容写成 1/(Cs)、电感写成 Ls，按串联分压列式

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 用复阻抗法求 RLC 网络输出对输入的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把 C 写成 1/(Cs)、L 写成 Ls 后按串联分压列式
• 中间结果：分子取输出支路阻抗、分母取回路总阻抗
• 卡点：元件串并联关系需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过用复阻抗法求 RLC 网络输出对输入的传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 本卷考过复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

2结构图求扰动与给定传递函数#

思路

• 画信号流图后用梅森公式分别求 C(s)/R(s) 与 C(s)/N(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图画信号流图并用梅森公式求多路传函

本卷实例

• 关键一步：先数出三条单回路与一对互不接触的回路
• 中间结果：特征式等于一减各回路增益加不接触回路乘积
• 卡点：回路与前向通路的接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图画信号流图并用梅森公式求多路传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过余子式中未剔除与通路接触的回路
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 分别求给定输入与扰动作用下的输出传递函数

本卷实例

• 关键一步：每次只保留一路输入，其余输入置零
• 中间结果：两路输出的分母共用同一特征式
• 卡点：扰动注入点的位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过分别求给定输入与扰动作用下的输出传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 本卷考过求扰动传函时没有把参考输入置零
• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

3结构图求传函与参数稳定域#

思路

• 由结构图化简求含参闭环传函，用劳斯表定稳定范围，再由指标反求参数

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 化简含局部反馈的二阶结构图求闭环传函

本卷实例

• 关键一步：先列回路与前向通路，再写出闭环传函
• 中间结果：闭环特征方程的系数里含两个待求参数
• 卡点：结构图的回路组成需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过化简含局部反馈的二阶结构图求闭环传函
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 本卷考过化简内环时把外环的信号当成常数处理
• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 由劳斯判据求两参数同时满足的稳定范围

本卷实例

• 关键一步：由二阶特征方程列劳斯表并令首列同号
• 中间结果：两参数的条件需取交集并注意各自正负
• 卡点：参数有正负之分，不等式方向容易写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过由劳斯判据求两参数同时满足的稳定范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼角与调节时间要求反求两个参数

本卷实例

• 关键一步：把调节时间条件化为阻尼比乘自然频率的定值
• 中间结果：由标准二阶系数关系联立解出两个参数
• 卡点：阻尼角与阻尼比之间要用余弦关系换算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由阻尼角与调节时间要求反求两个参数
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 本卷考过只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

4含右半平面极点的根轨迹#

思路

• 按法则画 K(s+1)/[s(s-1)] 的根轨迹，求分离点与虚轴交点并定 K

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制含一个右半平面极点的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由开环极点与零点定实轴段、渐近线与分支数
• 中间结果：本题两条分支并不落在同一实轴段上
• 卡点：根轨迹的形状需回原卷核对草图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制含一个右半平面极点的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的 2k 加一写成 2k
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求实轴上的分离点并判断解的取舍

本卷实例

• 关键一步：由 dK/ds 为零解出候选点再按根轨迹判据取舍
• 中间结果：两个候选解中只有一个真正落在根轨迹上
• 卡点：分离点必须在实轴根轨迹段内才有效

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求实轴上的分离点并判断解的取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：把纯虚数代回特征方程并分离实部虚部
• 中间结果：由此定出交点频率与临界增益
• 卡点：稳定范围要结合根轨迹走向一起判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率值就下结论
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由给定闭环阻尼比确定极点位置并反求增益

本卷实例

• 关键一步：由阻尼比写出等阻尼线再与根轨迹求交点
• 中间结果：交点坐标代入幅值条件即得该增益
• 卡点：等阻尼线的阻尼角要按定义取

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由给定闭环阻尼比确定极点位置并反求增益
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5由幅频特性反求传函与相角裕度#

思路

• 由低频斜率与转折频率反求前向传函，再串反馈环节求相角裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频渐近曲线反求前向通道传函

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率定型别、由转折频率定环节类型
• 中间结果：低频段高度与横轴交点给出开环增益
• 卡点：转折频率与高度读数需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频渐近曲线反求前向通道传函
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 计算串入反馈环节后系统的截止频率与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：先写出闭环开环传函再令幅值等于一求截止频率
• 中间结果：相角裕度由截止频率处相角加一百八十度算出
• 卡点：反馈环节的分子与分母约分时容易漏项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过计算串入反馈环节后系统的截止频率与相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把剪切频率与相位穿越频率两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

6开环幅频曲线与奈氏判据#

思路

• 由开环传函画对数幅频曲线与奈氏图，再按 Z、P、N 关系判稳

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由开环传函绘制对数幅频渐近特性曲线

本卷实例

• 关键一步：按各转折频率逐段累加斜率再画渐近线
• 中间结果：低频段高度由开环增益与系统型别共同确定
• 卡点：各转折频率的先后位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由开环传函绘制对数幅频渐近特性曲线
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：先求幅相曲线与负实轴的交点及其频率
• 中间结果：由交点位置数出包围圈数，再配合开环右半平面极点数
• 卡点：积分环节对应的无穷大圆弧要单独补画

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

7数字控制器与离散系统稳定性#

思路

• 求 ZOH 下脉冲传函并定 K 范围，再求单位斜坡输入下的稳态误差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求零阶保持器下连续对象与数字控制器的开环脉冲传函

本卷实例

• 关键一步：先求基础脉冲传函，再乘数字控制器 D(z)
• 中间结果：离散化后极点由 e 的负 T 次幂给出
• 卡点：采样周期取一秒，离散化系数的数值容易算错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求零阶保持器下连续对象与数字控制器的开环脉冲传函
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过忘记把零阶保持器计入 G(z)
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散系统稳定性并确定增益的取值范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征式列朱利表并令各条件同时成立
• 中间结果：稳定范围由特征式在正负一处的取值共同约束
• 卡点：朱利判据既看端点取值也要看系数约束

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散系统稳定性并确定增益的取值范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统在单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先写闭环误差脉冲传函，再代入输入的 z 变换
• 中间结果：用终值定理取 z 趋于一时的极限得到结果
• 卡点：用终值定理之前必须先确认系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统在单位斜坡输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 本卷考过直接用 s 域的静态误差系数公式处理离散系统
• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式