湖南大学 823 自动控制理论（含现控） 2017 年真题思维导图

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难度：中等　七道大题覆盖结构图传函、二阶闭环传函的动态性能与稳态误差、三阶系统稳定域与斜坡误差、含附加零点的根轨迹与参数反求、由 Bode 图反求传函与相角裕度、含右半平面极点的奈氏判据、离散系统闭环传函与最少拍设计

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一结构图求传递函数#

思路

• 由结构图画信号流图，数回路与前向通路后用梅森公式求传函

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由多回路结构图用梅森公式求 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先数全部单独回路并找出互不接触的组合
• 中间结果：特征式由回路增益减去不接触回路乘积得到
• 卡点：回路与前向通路的接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由多回路结构图用梅森公式求 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复计数
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

二闭环传函的动态性能与稳态误差#

思路

• 由闭环传函化为二阶标准形式读阻尼比与自然频率，算动态指标再用终值定理求稳态误差

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环传函求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征多项式与二阶标准形式逐项比对
• 中间结果：由系数关系直接读出阻尼比与自然频率
• 卡点：本题二阶项系数已归一，常数项开方为自然频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环传函求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 计算二阶系统的动态性能指标

本卷实例

• 关键一步：先算阻尼振荡频率再依次求各时间指标
• 中间结果：超调量只与阻尼比有关
• 卡点：调节时间按百分之五误差带取系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过计算二阶系统的动态性能指标
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过峰值时间与上升时间混用
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由误差传函与输入拉氏变换用终值定理
• 中间结果：阶跃输入下误差趋于零说明系统型别足够
• 卡点：单位负反馈下误差传函等于一减闭环传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过I 型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

三三阶系统稳定域与斜坡误差#

思路

• 由开环传函写闭环特征方程，用劳斯判据定稳定增益范围，再由速度误差系数求给定斜坡误差

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求使系统稳定的开环增益范围

本卷实例

• 关键一步：写出三阶特征方程后列劳斯表并令首列同号
• 中间结果：由首列不等式组解出增益的上界
• 卡点：稳定范围取开区间还是闭区间要按首列取值判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求使系统稳定的开环增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求速度误差系数

本卷实例

• 关键一步：数开环积分环节个数定型别再写速度误差系数
• 中间结果：一型系统的速度误差系数等于开环增益
• 卡点：把给定增益代入前先确认系统仍稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求速度误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求给定斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把斜坡幅度乘进速度误差公式得到稳态误差
• 中间结果：误差与速度误差系数成反比
• 卡点：增益取题给值而非稳定上界

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求给定斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过输入为组合信号时漏掉某一分量
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

四含附加零点的根轨迹与参数反求#

思路

• 把给定闭环极点代入特征方程求零点参数 a，再按根轨迹法则绘制含附加零点的根轨迹

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由给定闭环极点反求附加开环零点参数

本卷实例

• 关键一步：把给定共轭极点代入特征方程并比较系数
• 中间结果：由实部虚部关系解出增益与零点参数
• 卡点：代入前先确认闭环极点确实在该参数下成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由给定闭环极点反求附加开环零点参数
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制含附加零点的根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：标出两个开环极点与一个开环零点划分实轴段
• 中间结果：一条分支趋于有限零点，另一条趋于无穷远
• 卡点：实轴段判据要把零点也算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制含附加零点的根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的 2k 加一写成 2k
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求含零点根轨迹的分离点

本卷实例

• 关键一步：由 dK/ds 为零解出候选分离点
• 中间结果：候选点中只有落在实轴根轨迹段内的有效
• 卡点：求导时要先化成 K 的显式表达式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求含零点根轨迹的分离点
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

五由 Bode 图反求传函与相角裕度#

思路

• 由 Bode 图低频段与转折频率反求开环传函，列劳斯表判稳并求相角裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由 Bode 图反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：先由低频段斜率定型别，再按转折频率变化定环节
• 中间结果：低频段高度与横轴交点给出开环增益
• 卡点：转折频率与高度读数需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由 Bode 图反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由剪切频率处的相角求相角裕度

本卷实例

• 关键一步：令校正后幅频等于一，解出剪切频率
• 中间结果：相角裕度等于一百八十度加剪切频率处相角
• 卡点：相频表达式里各环节相角符号易漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由剪切频率处的相角求相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把剪切频率与相位穿越频率两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据判断闭环系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：展开闭环特征方程后列劳斯表看首列符号
• 中间结果：首列全部同号说明闭环稳定
• 卡点：由 Bode 图反求的传函要先化为多项式再列劳斯表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据判断闭环系统稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

六含右半平面极点的奈氏判据#

思路

• 由含右半平面极点的开环传函画奈氏图，数右半平面极点并用包围关系判断稳定性

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断含右半平面极点的系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数 P 再数曲线包围临界点情况
• 中间结果：由包围圈数与 P 的关系算出闭环右半平面极点数
• 卡点：分母为 Ts 减一说明极点位置随参数的符号改变

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断含右半平面极点的系统稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 判断含右半平面极点的非最小相位系统

本卷实例

• 关键一步：由开环极点在右半平面判定系统非最小相位
• 中间结果：幅频与相频不再一一对应
• 卡点：不能只用幅频曲线判断稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过判断含右半平面极点的非最小相位系统
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 本卷考过把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

七离散系统闭环传函与最少拍设计#

思路

• 由框图求开环脉冲传函，写闭环与误差传函，用终值定理求稳态输出，再按一拍要求反解控制器

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的闭环与误差脉冲传函

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器与连续对象合并后整体做 z 变换
• 中间结果：闭环传函由开环脉冲传函按单位反馈公式写出
• 卡点：采样开关与保持器位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的闭环与误差脉冲传函
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求单位阶跃输入下系统输出的 z 变换与终值

本卷实例

• 关键一步：闭环脉冲传函乘输入 z 变换后用终值定理
• 中间结果：稳态输出由 z 趋于一时的极限给出
• 卡点：用终值定理前要先确认系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求单位阶跃输入下系统输出的 z 变换与终值
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 本卷考过直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

数字控制器与最少拍设计 离散控制系统

本卷考法

• 按一个采样周期后输出为一的要求反解数字控制器

本卷实例

• 关键一步：先构造期望闭环脉冲传函再按控制器等于闭环除以开环与误差传函
• 中间结果：闭环传函取一拍延迟形式对应最少拍设计
• 卡点：控制器表达式要检查因果性与可实现性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
• 设计需要满足可实现性与稳定性约束
• 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
• 最少拍设计通常导致很大的控制量，需加限制

步骤

• 确定输入类型及对应的误差传函形式
• 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
• 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
• 检验可实现性、稳定性与控制量大小

通用考法

• 本卷考过按一个采样周期后输出为一的要求反解数字控制器
• 设计最少拍数字控制器
• 比较不同输入类型下的最少拍数
• 分析最少拍系统存在的问题

常见易错

• 本卷考过忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件

公式