要点
- 泛函的极值由欧拉-拉格朗日方程给出，它是变分法的基本必要条件
- 被积函数不显含自变量时可用首次积分降阶
- 端点固定的横截条件由给定的边界条件直接给出
步骤
- 写出被积函数（含状态量、状态量的导数、自变量）
- 代入欧拉-拉格朗日方程并化简
- 对被积函数不显含自变量的情形改用首次积分降阶
- 代入两端边界条件定积分常数，得到极值函数
公式
通用考法
- 求给定泛函在给定边界条件下的极值函数
- 写出欧拉-拉格朗日方程并化简
- 说明横截条件的作用
常见易错
- 边界条件有多个时只用两个，漏掉导数的端点条件
- 含高阶导数的泛函仍套一阶的欧拉方程
历年考法（15）
| 年份 | 院校 | 题 | 分值 |
|---|---|---|---|
| 2025 | 北京理工大学 | 8 八、泛函极值与最优控制 | — |
| 2023 | 南开大学 | 5 五、简答题 | — |
| 2023 | 北京理工大学 | 8 八、最优控制 | — |
| 2022 | 北京理工大学 | 9 九、最优控制 | — |
| 2021 | 北京理工大学 | 9 九、最优控制 | 20 |
| 2020 | 北京理工大学 | 九 九、最优控制 | 20 |
| 2019 | 北京理工大学 | 九 九、最优控制 | — |
| 2018 | 北京理工大学 | 九 九、最优控制 | — |
| 2017 | 南开大学 | 一 一、现代控制简答题 | 24 |
| 2017 | 北京理工大学 | 九 九、最短距离与最优控制 | — |
| 2016 | 南开大学 | 五 五、现代控制问答题 | — |
| 2016 | 南开大学 | 八 八、无约束最优控制 | — |
| 2016 | 北京理工大学 | 九 九、最短距离与泛函极值 | — |
| 2015 | 北京理工大学 | 九 九、变分法与最优控制 | — |
| 2015 | 中国海洋大学 | 1 简答题（共8小题） | 48 |