新疆大学 833 自动控制原理 2016 年真题思维导图

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难度：中等　全卷七道大题：简单计算题、结构图求传函、二阶性能与参数反求、离散稳定性、根轨迹与附加零点、由对数幅频反求传函、状态空间综合。覆盖劳斯判据、奈氏判据、频率特性、描述函数法、能控标准型、稳态误差、根轨迹与零极点影响、离散稳定性、状态反馈极点配置与观测器。多题含原卷插图。

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一1一1、劳斯判据求稳定K值8 分#

思路

• 对给定三阶特征方程列劳斯表，由首列严格同号求K范围

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求三阶系统稳定时K的取值范围

本卷实例

• 关键一步：特征多项式按降幂排列后交叉相减列劳斯表
• 中间结果：首列各元同号时系统稳定
• 卡点：首列出现零元要改用辅助方程处理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求三阶系统稳定时K的取值范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过列劳斯表时缺项未补零
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

一2一2、奈氏判据判断稳定性与K范围8 分#

思路

• 由最小相位系统奈氏图数包围圈数判稳，再按增益缩放反求稳定区间

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线用奈氏判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数P再看曲线包围情况
• 中间结果：包围圈数与P的关系决定闭环稳定性
• 卡点：幅相曲线形状未读图，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线用奈氏判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过开环含积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 由奈氏判据反求使闭环稳定的开环增益范围

本卷实例

• 关键一步：把曲线按增益比例缩放后逐段考察包围数
• 中间结果：稳定增益区间可能分成两段
• 卡点：端点是否包含要与曲线穿越方式对应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过由奈氏判据反求使闭环稳定的开环增益范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只按一个穿越点写不等式而漏另一段
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

一3一3、开环传函的幅频与相频特性8 分#

思路

• 把s换成jω后分别取模与取相角，写出幅频和相频表达式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由开环传函求幅频特性与相频特性表达式

本卷实例

• 关键一步：把复变量替换为jω后分母有理化再分离模与角
• 中间结果：幅频等于分子模比分母模
• 卡点：积分环节贡献固定的负九十度相移

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由开环传函求幅频特性与相频特性表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记分母复数取模后再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

一4一4、描述函数法判断自振与消振8 分#

思路

• 按负倒描述函数轨迹与奈氏曲线的交点性质判断自振，再讨论增益影响

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由两条轨迹判断是否存在稳定自振荡

本卷实例

• 关键一步：按负倒描述函数上的振幅增大方向判断穿越性质
• 中间结果：由不稳定区穿入稳定区的交点对应稳定自振
• 卡点：两处轨迹交点需分别判定，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由两条轨迹判断是否存在稳定自振荡
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 本卷考过未标注振幅增大方向就下结论
• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

非线性系统的稳定性与改善 非线性系统

本卷考法

• 说明改变增益能否消除自振

本卷实例

• 关键一步：讨论增益变化使线性曲线整体上下移动的效果
• 中间结果：增益减小到一定程度可使交点消失
• 卡点：消振后还要复核系统的动态性能

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 非线性系统只有局部稳定性概念，与初始条件有关
• 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
• 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
• 用描述函数或相平面结果指导参数选择

步骤

• 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
• 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
• 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
• 重新分析确认自振消除或幅值达标

通用考法

• 本卷考过说明改变增益能否消除自振
• 提出消除自振的工程措施
• 分析增益变化对极限环幅值的影响
• 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊

常见易错

• 本卷考过只调增益而不检查是否引入新的自振点
• 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
• 把不稳定极限环误判为可观测的自振

一5一5、由微分方程写状态空间表达式8 分#

思路

• 对微分方程取拉氏变换求传函，再按能控标准型写状态空间表达式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由微分方程写出能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：先求传函再由分母系数直接写友矩阵
• 中间结果：分子系数构成输出方程的行向量
• 卡点：题面微分方程逐年OCR残缺，已据同年842宝典段核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由微分方程写出能控标准型状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 本卷考过长除法留下的直接项处理出错
• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

二二、结构图求闭环与误差传函12 分#

思路

• 由结构图求闭环传函与误差传函，并由分母写出特征方程

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求结构图的闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：找出全部前向通路与回路后写特征式
• 中间结果：无两两不接触回路时特征式不含二阶项
• 卡点：结构图未读图，各回路增益需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求结构图的闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复计数
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 逐层化简结构图核对闭环传函

本卷实例

• 关键一步：由内到外把反馈内环合并为等效环节
• 中间结果：化简后应与梅森公式结论相同
• 卡点：引出点移动后支路增益要相应补偿

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过逐层化简结构图核对闭环传函
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 本卷考过化简内环时把外环信号视作常数
• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 写误差传递函数并求闭环特征方程

本卷实例

• 关键一步：按误差定义式写出误差与给定的比值
• 中间结果：特征方程由闭环传函分母等于零给出
• 卡点：求误差传函前要先确定比较点位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过写误差传递函数并求闭环特征方程
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 本卷考过非单位反馈时把两种误差定义混用
• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

三三、二阶系统动态性能与参数反求20 分#

思路

• 由结构图求闭环特征方程化标准二阶形式，先算指标再按指标反求参数

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由结构图求闭环特征方程化标准二阶形式

本卷实例

• 关键一步：写成标准式后由一次项与常数项定阻尼比和自然频率
• 中间结果：阻尼比与自然频率由两个系数联立求得
• 卡点：结构图未读图，开环环节需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由结构图求闭环特征方程化标准二阶形式
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过未把二次项系数归一就直接比较
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与自然频率求超调量与上升时间

本卷实例

• 关键一步：判为欠阻尼后按给定阶跃响应公式计算
• 中间结果：超调量仅与阻尼比有关
• 卡点：上升时间需先算阻尼角再代入

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与自然频率求超调量与上升时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过上升时间与峰值时间公式混用
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判系统型别再由速度误差系数求误差
• 中间结果：一型系统斜坡误差为速度误差系数的倒数
• 卡点：含积分环节时误差才可能为有限值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与稳态误差要求反求T与K

本卷实例

• 关键一步：由超调量定阻尼比，再由误差式与标准式联立
• 中间结果：两个方程可解出增益与时间常数
• 卡点：解出后要回代校验全部指标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由超调量与稳态误差要求反求T与K
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 本卷考过只满足单项指标就下结论
• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

四四、离散系统闭环脉冲传函与稳定性8 分#

思路

• 由开环脉冲传函写闭环脉冲传函，解特征根比较模与一判稳

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由开环脉冲传函求闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按单位负反馈关系由开环脉冲传函写闭环式
• 中间结果：闭环分母即闭环特征多项式
• 卡点：分子分母多项式要整理成降幂排列

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环脉冲传函求闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把闭环特征式与开环传函直接混写
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征根模判断离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：解特征方程求z平面共轭极点再算模
• 中间结果：极点模大于一时闭环不稳定
• 卡点：共轭极点模由实部虚部平方和开方

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征根模判断离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成极点实部小于零
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

五五、根轨迹与附加零点对稳定性的影响20 分#

思路

• 画原系统根轨迹判稳，再引入开环零点按位置分三段讨论稳定性

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制三阶系统根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：由三重开环极点定渐近线与实轴段
• 中间结果：三条渐近线交于极点实部均值
• 卡点：分离点解出后要按是否在根轨迹上取舍

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制三阶系统根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的系数写错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由虚轴交点判断原系统能否稳定

本卷实例

• 关键一步：写特征方程看是否缺项再判有无虚轴交点
• 中间结果：缺一次项时根轨迹始终含右半平面部分
• 卡点：缺项结论要与劳斯判据结论一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由虚轴交点判断原系统能否稳定
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过把特征方程缺项的系统当成可以稳定
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

附加开环零极点的影响 根轨迹法

本卷考法

• 讨论附加开环零点位置对稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：按零点相对极点的位置分三段讨论根轨迹走向
• 中间结果：零点落在两重极点之间时可使根轨迹左移
• 卡点：三种区间的边界要按题目提示分段说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 增加开环零点使根轨迹左移，改善稳定性
• 增加开环极点使根轨迹右移，恶化稳定性
• 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
• 增加极点还可能是系统结构不稳定

步骤

• 对比增加前后零极点分布
• 重新判断实轴段与渐近线
• 分析根轨迹整体移动方向
• 据此说明对稳定性和动态性能的影响

通用考法

• 本卷考过讨论附加开环零点位置对稳定性的影响
• 说明附加零点对根轨迹形状的影响
• 判断增加极点后系统是否仍稳定
• 分析为何某系统需要引入零点

常见易错

• 本卷考过把附加零点的影响与附加极点的影响搞反
• 只讨论渐近线是否左移右移，忽略分离点变化
• 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反

六六、由对数幅频特性求传函与相位裕量20 分#

思路

• 按低频段与转折频率反求开环传函，求相位裕量判稳并分析增益影响

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频特性曲线反求传递函数

本卷实例

• 关键一步：按低频段斜率定型别，再由延长线交点定增益
• 中间结果：各转折频率对应时间常数取倒数
• 卡点：对数幅频曲线未读图，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频特性曲线反求传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点直接当作增益而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由相位裕量判断闭环系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：在幅频特性上取幅值为一处对应的频率
• 中间结果：相位裕量由该频率处相角加一百八十度得到
• 卡点：最小相位系统才能仅凭裕量判稳

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由相位裕量判断闭环系统稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把截止频率与相角穿越频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 分析开环增益变化对稳定性、快速性与准确性的影响

本卷实例

• 关键一步：增益上移使截止频率右移而相频特性不变
• 中间结果：截止频率过度右移会压低相位裕量
• 卡点：三条性能要分别说明，不可只答稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过分析开环增益变化对稳定性、快速性与准确性的影响
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过只看增益对误差的作用而忽略对裕度的影响
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

七七、状态空间求传函、能控能观与极点配置30 分#

思路

• 由A、B、C求传函，判能控能观后做极点配置并讨论状态不可检测时的对策

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数

本卷实例

• 关键一步：按传函等于C乘预解矩阵再乘B再加D计算
• 中间结果：本系统直接项为零，传函为真分式
• 卡点：预解矩阵求逆后要与输入输出矩阵按序相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 本卷考过漏掉直接传递项D
• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控性与能观性判别矩阵再求秩
• 中间结果：矩阵满秩则相应性质成立
• 卡点：两个判据的矩阵构造方式不要混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到低阶矩阵就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈阵把闭环极点配置到给定共轭对

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写特征多项式再与系统式比较系数
• 中间结果：反馈阵各元由系数对应相等解出
• 卡点：共轭极点的期望多项式系数要展开正确

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈阵把闭环极点配置到给定共轭对
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 本卷考过未经能控性判别就做极点配置
• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 说明状态不可检测时实现状态反馈的途径

本卷实例

• 关键一步：用状态观测器重构状态后送入反馈通道
• 中间结果：观测器极点通常配置得比闭环极点更远
• 卡点：观测器能否设计取决于系统能观性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过说明状态不可检测时实现状态反馈的途径
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 本卷考过观测器极点取得过远会放大噪声
• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式