新疆大学 842 自动控制原理 2025 年真题思维导图

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难度：中等　全卷9题，卷面未标每题分值。覆盖信号流图求传函、二阶动态性能、方框图与稳态误差、三阶根轨迹、最小相位系统频域反求与稳定裕度、离散系统脉冲传函、状态转移矩阵与非齐次方程解、李雅普诺夫稳定性、能控性与极点配置。第1、3、5、6、7题含原卷插图，题干存在OCR缺字，需结合原卷核对。

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1一、信号流图求闭环传函#

思路

• 把方框图改画为信号流图，数出全部回路与前向通路，用梅森增益公式求 C(s)/R(s)，再判别回路两两接触关系

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求含三条回路的信号流图传函

本卷实例

• 关键一步：先找齐单独回路并判断有无互不接触回路，再对每条前向通路写余子式
• 中间结果：特征式按单回路逐项相减，两条前向通路各配一个余子式
• 卡点：信号流图未读图，回路增益与接触关系需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求含三条回路的信号流图传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、二阶系统动态性能#

思路

• 由闭环传函化成二阶标准形式读出阻尼比与自然频率，按误差带公式求调节时间，再讨论开环增益变化对振荡程度的影响

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环传函分母系数对比读出阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函归一化为标准二阶形式，与标准式分母系数逐项对比
• 中间结果：一次项系数对应二倍阻尼比乘自然频率，常数项对应自然频率的平方
• 卡点：题面两处待求量变量名被OCR吞掉，具体取值需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环传函分母系数对比读出阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 按百分之五误差带求调节时间并判断超调变化

本卷实例

• 关键一步：先由阻尼比判断是否欠阻尼，再按对应误差带的近似公式算调节时间
• 中间结果：阻尼比随开环增益单调变化，可直接判断振荡强弱走向
• 卡点：调节时间公式系数随所选误差带不同，取值前需确认误差带

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过按百分之五误差带求调节时间并判断超调变化
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

3三、方框图求传函与稳态误差#

思路

• 由方框图化简写出开环传函与闭环特征方程，用劳斯判据判稳，再按系统型别求静态误差系数与组合输入下的稳态误差

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由方框图化简求开环与闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按环节串并联与单位负反馈关系，把方框图逐步化成单个等效环节
• 中间结果：开环传函化为分子含一阶微分、分母含积分环节的形式
• 卡点：方框图未读图，各支路增益与比较点需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由方框图化简求开环与闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 列劳斯表判断闭环系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：由单位负反馈写出闭环特征方程，按降幂排列后交叉相减列劳斯表
• 中间结果：特征方程各项系数均为正，可先作必要条件的快速判断
• 卡点：系数是否缺项需逐一核对，缺项时应补零后再列表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过列劳斯表判断闭环系统稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由开环传函判断型别并求静态误差系数

本卷实例

• 关键一步：先数开环分母中积分环节个数定系统型别，再套对应误差系数公式
• 中间结果：开环传函在复变量趋于零时的极限给出位置误差系数
• 卡点：积分环节个数决定型别，与开环增益是两回事

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由开环传函判断型别并求静态误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求阶跃、斜坡与加速度组合输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：把输入按阶跃、斜坡、加速度分量分解，用叠加原理分别求误差
• 中间结果：各分量误差由对应静态误差系数决定，再叠加合并
• 卡点：系统型别不足时对应高阶分量的误差发散，需按型别判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求阶跃、斜坡与加速度组合输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

4四、三阶系统根轨迹与增益范围#

思路

• 把开环传函因式分解成零极点形式，按绘制法则画根轨迹，由分离点与虚轴交点定出衰减振荡的增益范围，再讨论附加左半平面开环极点的影响

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画三阶系统的常规根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由开环极点定出实轴根轨迹段与渐近线方向，再按对称性连接各段
• 中间结果：三条渐近线交于极点实部均值，夹角按奇数等分圆周
• 卡点：渐近线条数等于极点数减零点数，容易漏算分支数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画三阶系统的常规根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹分离点坐标与对应临界增益

本卷实例

• 关键一步：由增益对复变量的导数为零建立分离点方程，再用实轴段判据筛选
• 中间结果：分离点方程为一元二次，两根中只有一个落在根轨迹段上
• 卡点：不在根轨迹上的那个根须舍去，不能直接取平均

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹分离点坐标与对应临界增益
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点求临界增益

本卷实例

• 关键一步：把纯虚数复变量代入特征方程，令实部与虚部分别为零后联立
• 中间结果：交点频率与临界增益由两个实方程共同确定
• 卡点：负频率解要舍去，只保留物理角频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点求临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

附加开环零极点的影响 根轨迹法

本卷考法

• 分析增加左半平面开环极点对稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：比较附加极点前后渐近线走向与分离点位置的移动
• 中间结果：渐近线条数随极点数增加，根轨迹整体向虚轴一侧移动
• 卡点：附加极点位置不同结论可能相反，需结合具体极点分析

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 增加开环零点使根轨迹左移，改善稳定性
• 增加开环极点使根轨迹右移，恶化稳定性
• 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
• 增加极点还可能是系统结构不稳定

步骤

• 对比增加前后零极点分布
• 重新判断实轴段与渐近线
• 分析根轨迹整体移动方向
• 据此说明对稳定性和动态性能的影响

通用考法

• 本卷考过分析增加左半平面开环极点对稳定性的影响
• 说明附加零点对根轨迹形状的影响
• 判断增加极点后系统是否仍稳定
• 分析为何某系统需要引入零点

常见易错

• 只讨论渐近线是否左移右移，忽略分离点变化
• 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反

5五、最小相位系统频域分析#

思路

• 由渐近对数幅频曲线低频段斜率与转折频率反求开环传函，用闭环频率特性在给定频率处的幅值条件定参数，再求剪切频率与稳定裕度

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 说明最小相位条件对幅频与相频对应关系的作用

本卷实例

• 关键一步：最小相位系统的幅频与相频一一对应，可由幅频曲线唯一反求传函
• 中间结果：全部零极点位于左半平面，相位滞后在同类系统中最小
• 卡点：非最小相位系统不能仅凭幅频曲线确定传递函数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过说明最小相位条件对幅频与相频对应关系的作用
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由渐近对数幅频曲线反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率定积分环节个数，斜率变化点定转折频率与微分环节
• 中间结果：低频段延长线高度与积分环节个数共同给出开环增益
• 卡点：Bode图未读图，转折频率与低频段斜率需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由渐近对数幅频曲线反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由正弦输入稳态输出反求闭环频率特性参数

本卷实例

• 关键一步：把正弦输入频率代入闭环频率特性，由幅值条件建立方程反解时间常数
• 中间结果：闭环幅频特性由开环传函代入纯虚数后整理得到
• 卡点：反解时间常数时的负根需舍去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由正弦输入稳态输出反求闭环频率特性参数
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求剪切频率并计算相角裕度与幅值裕度

本卷实例

• 关键一步：由幅频零分贝处定剪切频率，再代入相频求相角裕度
• 中间结果：剪切频率可借助低频段近似式快速估读
• 卡点：幅值裕度在相位穿越频率处求，两个频率勿混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求剪切频率并计算相角裕度与幅值裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

6六、离散系统开环脉冲传函#

思路

• 先按采样开关与零阶保持器的位置确定连续部分，再对含保持器的连续部分整体做 z 变换得到开环脉冲传函

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：确定采样开关位置后，对含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 中间结果：脉冲传函写成 (1-z 的负一次) 乘以连续部分除复变量后的 z 变换
• 卡点：离散系统图未读图，采样开关与保持器位置需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 按采样周期把连续部分离散化

本卷实例

• 关键一步：先用连续传函做部分分式展开，再逐项按采样周期对应到 z 域
• 中间结果：指数型极点对应 z 平面上由采样周期决定的极点位置
• 卡点：中间无采样开关隔开的连续环节不能直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过按采样周期把连续部分离散化
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式

7七、状态转移矩阵与非齐次方程解#

思路

• 先求状态矩阵的预解矩阵并做拉氏反变换得到状态转移矩阵，再按零输入加零状态卷积积分求非齐次状态方程的解

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求状态转移矩阵并用卷积积分求非齐次解

本卷实例

• 关键一步：先算状态矩阵预解矩阵并逐项拉氏反变换得状态转移矩阵
• 中间结果：转移矩阵各元素由状态矩阵特征值的指数项组合而成
• 卡点：卷积积分中转移矩阵自变量应为时间减积分变量
• 卡点：题面另附插图未读图，图示结构需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求状态转移矩阵并用卷积积分求非齐次解
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

8八、平衡状态与李雅普诺夫稳定性#

思路

• 令状态导数为零解出平衡状态，再对线性定常系统解李雅普诺夫方程并检验解的正定性，据此判断平衡状态的稳定性

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法判断平衡状态的稳定性

本卷实例

• 关键一步：先令状态导数为零求平衡状态，再设对称正定矩阵解李雅普诺夫方程
• 中间结果：李雅普诺夫方程展开为关于对称矩阵元素的线性方程组
• 卡点：取定右端单位阵后要逐阶检验主子式判断正定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法判断平衡状态的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

9九、能控性与状态反馈极点配置#

思路

• 先构造能控性矩阵判断极点可配置性，再由期望极点写特征多项式与原系统特征多项式比较系数解反馈增益，最后按状态方程画结构图

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 用能控性矩阵的秩判断极点能否任意配置

本卷实例

• 关键一步：构造由输入矩阵及其与状态矩阵乘积组成的能控性矩阵，比较其秩与系统阶数
• 中间结果：二阶系统的能控性由两列构成行列式是否为零判定
• 卡点：能控性矩阵列顺序与乘法方向容易颠倒

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过用能控性矩阵的秩判断极点能否任意配置
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈把闭环极点配置到给定位置

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写特征多项式，与状态反馈闭环特征多项式逐项比较系数
• 中间结果：闭环特征多项式的系数差给出各反馈增益
• 卡点：状态反馈取 u 等于 v 减 Kx，符号写反会使增益整体错号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈把闭环极点配置到给定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 按状态方程与反馈关系画系统结构图

本卷实例

• 关键一步：每个积分器输出设一个状态变量，按方程系数连出比例支路与反馈
• 中间结果：状态方程与输出方程分别对应两组积分支路与相加点
• 卡点：结构图需按已求得的矩阵形式自行核对，注意直接传递项是否为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过按状态方程与反馈关系画系统结构图
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式