1一、二自由度机械系统的微分方程与传递函数#
思路
- 对两个质量块分别列牛顿第二定律方程，取拉氏变换后消去中间变量，解出两个位移对力的传递函数。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 对含弹簧与阻尼器的两质量系统列微分方程
本卷实例
- 关键一步：按各质量块所受弹簧力与阻尼力的实际方向列力平衡式
- 中间结果：两方程都含位移的两个未知量，必须联立才能消元
- 卡点：机械系统图为原卷插图，弹簧阻尼的串并联方式需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过对含弹簧与阻尼器的两质量系统列微分方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由机械系统的微分方程求位移对力的传递函数
本卷实例
- 关键一步：把两个时域方程变换到 s 域后写成矩阵再消元
- 中间结果：两个传递函数分母相同，分子由各支路的弹簧阻尼组合决定
- 卡点：把阻尼力方向与弹簧力方向取反会令耦合项符号出错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由机械系统的微分方程求位移对力的传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式