太原理工大学 830 自动控制原理（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等　全卷7题，自控部分5题（物理系统结构图与工作原理、二阶时域指标与稳态误差、根轨迹与附加零点、奈奎斯特判据、离散系统），现控部分2题（状态转移矩阵与李雅普诺夫稳定性、状态反馈极点配置）。覆盖传递函数、二阶标准形式、劳斯判据、根轨迹绘制、最小相位系统、z域脉冲传函与离散稳定、状态空间与极点配置。题面含4幅插图，卷面未标每题分值。

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1一、控制系统结构图与工作原理#

思路

• 由题图给出的物理系统确定被控量与操纵量，按给定、比较、控制、执行、对象、检测六个环节逐一指认实物，再按信号流向连成闭环方框图，说明系统靠被控量偏差经控制器改变调节阀开度来维持被控量恒定。

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 由物理系统图指认环节、画闭环方框图并说明工作过程

本卷实例

• 关键一步：按信号流向逐个找出给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节
• 中间结果：被控量与操纵量确定后，闭环方框图由这六个环节首尾相接
• 卡点：系统结构图为原卷插图，环节实物与信号流向需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过由物理系统图指认环节、画闭环方框图并说明工作过程
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

2二、二阶系统阶跃响应与稳态误差#

思路

• 由单位阶跃响应曲线读出超调量与峰值时间，先用超调量公式反求阻尼比，再由峰值时间反求自然频率，写出标准二阶闭环传递函数，最后按误差定义求单位阶跃输入下的稳态误差。

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由阶跃响应的超调量与峰值时间反求二阶传递函数

本卷实例

• 关键一步：从曲线读出稳态值、超调量与峰值时间，判断为欠阻尼二阶系统
• 中间结果：超调量只与阻尼比有关，峰值时间与自然频率成反比
• 卡点：阶跃响应曲线为原卷插图，超调量与峰值时间读数需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由阶跃响应的超调量与峰值时间反求二阶传递函数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 用动态性能指标公式由曲线读数求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：用超调量公式先解出阻尼比，再代入峰值时间公式求自然频率
• 中间结果：阻尼比与自然频率确定后，各项时域指标随之固定
• 卡点：超调量公式漏乘百分之百会令阻尼比偏小

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过用动态性能指标公式由曲线读数求阻尼比与自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 把闭环传函化为标准二阶形式并写出闭环极点

本卷实例

• 关键一步：将闭环传函分母首项归一化，再与标准二阶形式逐项比较系数
• 中间结果：分母一次项给出阻尼比与自然频率的乘积，常数项给出自然频率平方
• 卡点：化为标准形式时忘记把首项系数归一化

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过把闭环传函化为标准二阶形式并写出闭环极点
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求单位负反馈系统在单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：用终值定理把误差传函与阶跃输入相乘后取零频极限
• 中间结果：误差等于输入减输出，闭环直流增益决定阶跃输入下的误差
• 卡点：取极限前需先由特征方程确认闭环稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求单位负反馈系统在单位阶跃输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、根轨迹绘制、稳定性分析与附加零点#

思路

• 先由开环传函写出极点分布与实轴根轨迹段，用渐近线与分离点公式定根轨迹形状，再列劳斯表判断稳定性；引入开环零点后重新计算渐近线与分离点，并按零点位置参数的取值分段讨论根轨迹移动方向与稳定性。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画开环含重极点的根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：标出两个原点极点与一个负实极点，再判断实轴上的根轨迹段
• 中间结果：渐近线交点在极点实部均值处，夹角按分支数奇数等分
• 卡点：原点为二重极点，实轴段判据要按重数计数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画开环含重极点的根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 判断根轨迹与虚轴有无交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程列劳斯表，令首列为零求临界条件
• 中间结果：特征方程缺一次项，劳斯表首列出现含增益的负号项
• 卡点：不能只凭极点分布断言不稳定，需由劳斯表确认

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过判断根轨迹与虚轴有无交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据判断三阶系统随增益变化的稳定性

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程按降幂排列后逐行交叉相减列劳斯表
• 中间结果：缺项位置补零后，首列符号决定右半平面极点数
• 卡点：缺项不补零会误判首列的符号变化次数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据判断三阶系统随增益变化的稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

附加开环零极点的影响 根轨迹法

本卷考法

• 按零点参数分段讨论根轨迹形状与稳定性变化

本卷实例

• 关键一步：增加零点后先重算渐近线交点与夹角，再判断实轴上的根轨迹段
• 中间结果：零点参数分区间取值时，分离点的实虚性随之改变
• 卡点：零点参数不同区间要分别讨论，不能合并成一个结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 增加开环零点使根轨迹左移，改善稳定性
• 增加开环极点使根轨迹右移，恶化稳定性
• 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
• 增加极点还可能是系统结构不稳定

步骤

• 对比增加前后零极点分布
• 重新判断实轴段与渐近线
• 分析根轨迹整体移动方向
• 据此说明对稳定性和动态性能的影响

通用考法

• 本卷考过按零点参数分段讨论根轨迹形状与稳定性变化
• 说明附加零点对根轨迹形状的影响
• 判断增加极点后系统是否仍稳定
• 分析为何某系统需要引入零点

常见易错

• 只讨论渐近线是否左移右移，忽略分离点变化
• 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反

4四、奈奎斯特判据判断稳定性#

思路

• 先由最小相位条件确定开环右半平面极点数为零，再对幅相曲线补画无穷大半径圆弧，数出曲线对临界点的净包围圈数，代入奈奎斯特判据判断闭环是否稳定。

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由最小相位系统的幅相曲线判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数，再数曲线绕临界点的净包围圈数
• 中间结果：两量代入判据关系式即得右半平面闭环极点数
• 卡点：奈奎斯特曲线为原卷插图，补画圆弧与包围方向需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由最小相位系统的幅相曲线判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 利用最小相位条件确定开环右半平面极点数

本卷实例

• 关键一步：由最小相位判定开环零点与极点都在左半平面
• 中间结果：开环右半平面极点数为零，判据简化为只数包围圈数
• 卡点：把最小相位与开环右半平面极点数为零混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过利用最小相位条件确定开环右半平面极点数
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

5五、离散系统的脉冲传递函数与稳态误差#

思路

• 先由图确定采样开关位置与零阶保持器，把连续部分连同保持器一起作 z 变换，按串并联关系写出闭环与误差脉冲传递函数，再由特征根位于单位圆内求稳定条件，最后用终值定理按单位阶跃输入反求增益。

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 由图确定采样开关位置、采样周期与零阶保持器

本卷实例

• 关键一步：区分连续环节、采样开关与零阶保持器，写出保持器表达式
• 中间结果：零阶保持器与积分环节组合后，离散化结果化为常数
• 卡点：离散系统图为原卷插图，采样开关位置与结构需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过由图确定采样开关位置、采样周期与零阶保持器
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求闭环脉冲传递函数与误差脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：对含零阶保持器的连续部分整体作 z 变换，再按反馈等效写闭环
• 中间结果：开环脉冲传函为两级离散环节之积，闭环为开环除以一加开环
• 卡点：中间无采样开关隔开的连续环节不能直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求闭环脉冲传递函数与误差脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征根在单位圆内求稳定的参数关系

本卷实例

• 关键一步：由特征方程解出闭环特征根，再令其模小于一
• 中间结果：稳定条件化为采样周期与开环增益之间的一个不等式
• 卡点：离散稳定条件是模小于一，不是实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征根在单位圆内求稳定的参数关系
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 由单位阶跃下的稳态误差反求开环增益

本卷实例

• 关键一步：用终值定理把误差脉冲传函与阶跃输入相乘后取极限
• 中间结果：稳态误差只与增益和采样周期有关，可由误差值反解增益
• 卡点：使用终值定理前需先确认闭环稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃下的稳态误差反求开环增益
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

6六、状态转移矩阵、系统矩阵与李雅普诺夫函数#

思路

• 把两组初始状态与对应响应按列拼成矩阵方程，用初始状态矩阵求逆解出状态转移矩阵，再由转移矩阵在零点的导数求系统矩阵，最后解李雅普诺夫方程得正定矩阵并构造李雅普诺夫函数判断稳定性。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由两组初始状态与响应求状态转移矩阵和系统矩阵

本卷实例

• 关键一步：把两组响应与两组初值分别按列拼成矩阵，列出矩阵方程
• 中间结果：初始状态矩阵可逆，左乘其逆得转移矩阵，其在零点导数为系统矩阵
• 卡点：求逆前需确认初始状态矩阵的行列式不为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由两组初始状态与响应求状态转移矩阵和系统矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 解李雅普诺夫方程构造函数并判断渐近稳定

本卷实例

• 关键一步：取单位阵为负定右端项，解李雅普诺夫方程得对称矩阵
• 中间结果：该矩阵各阶顺序主子式为正，故函数正定、其导数为负定
• 卡点：只检查函数正定而不检查其导数会漏判稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过解李雅普诺夫方程构造函数并判断渐近稳定
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

7七、状态结构图与状态反馈极点配置#

思路

• 先由状态空间表达式按积分器输出设状态变量画出状态结构图，再构造能控性矩阵验证系统完全能控，最后按期望极点写出希望特征多项式，与含反馈增益的闭环特征多项式比较系数解出反馈增益阵。

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由给定的状态空间表达式画状态变量结构图

本卷实例

• 关键一步：每个状态变量对应一个积分器，按状态方程各支路系数接入求和点
• 中间结果：输出方程决定从状态结构图上引出的观测支路
• 卡点：状态方程各支路的正负号容易漏标或取反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由给定的状态空间表达式画状态变量结构图
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控性矩阵判断能否任意配置极点

本卷实例

• 关键一步：先算输入矩阵与状态矩阵的乘积，再拼成能控性矩阵求秩
• 中间结果：能控性矩阵两列线性无关，秩等于系统阶数
• 卡点：只算到低阶乘积就下结论会漏判秩

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控性矩阵判断能否任意配置极点
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈阵把闭环极点配置到给定位置

本卷实例

• 关键一步：先验证完全能控，再由期望极点写出希望特征多项式
• 中间结果：闭环特征多项式含增益，与希望多项式逐项比较系数解出增益
• 卡点：按负反馈设增益阵时符号容易整体取反，需代回验算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈阵把闭环极点配置到给定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式