太原理工大学 830 自动控制原理（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等　全卷8题：方框图信号流图求传函；二阶系统参数反求与斜坡稳态误差；根轨迹绘制与稳定范围；由稳态误差求开环传函及频域裕度；非线性系统描述函数与稳定性改善；离散系统稳定性与稳态误差；由状态转移矩阵反求 A 与李雅普诺夫分析；能控标准型与状态反馈极点配置。经典与现代控制并重，第1~6题含图；仅第7题印了分值（20分，两小问各10分）。

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1一、方框图信号流图求传函#

思路

• 由系统方框图画出信号流图，再用梅森增益公式求 Y(s)/R(s)。题面以图给出。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图画信号流图并用梅森公式求 Y(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：画信号流图，列回路与前向通道，判断是否互不接触
• 中间结果：特征式为 1 减各回路增益之和，再加互不接触回路乘积
• 卡点：回路正负号取错；互不接触回路找漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图画信号流图并用梅森公式求 Y(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、二阶系统参数反求与斜坡误差#

思路

• 系统方框图。(1)已知超调量与调节时间，求结构参数 K、a 及闭环传函；(2)求斜坡输入下的稳态误差。题面以图给出。

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与调节时间反求二阶系统 ξ 与 ωn

本卷实例

• 关键一步：由超调量式反解 ξ，再由 ts=3.5/(ξωn)（5% 误差带）定 ωn
• 中间结果：ξ 与 ξωn 分别由两式确定
• 卡点：调节时间系数按误差带取错；超调量公式方向取反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量与调节时间反求二阶系统 ξ 与 ωn
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由标准二阶参数反求结构图参数 K 与 a

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程系数与 2ξωn、ωn² 一一对照列方程
• 中间结果：K 由 ωn² 确定，a 由 2ξωn 确定
• 卡点：未化标准形式就直接对照系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由标准二阶参数反求结构图参数 K 与 a
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判稳，再由终值定理或静态速度误差系数求 ess
• 中间结果：ess 与开环增益、输入斜率有关
• 卡点：未判稳就用终值定理；组合输入漏掉分量

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求斜坡输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、根轨迹绘制与稳定范围#

思路

• 开环传函含实零点与一对共轭复极点。(1)画 k 从 0 到无穷的闭环根轨迹；(2)求稳定 K 范围；(3)一个极点等于 −1 时求另外两个极点。题面以图给出。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制闭环根轨迹并求实轴段与渐近线

本卷实例

• 关键一步：数实数轴上各段的零极点个数，按 (2k+1)π/(n−m) 求渐近线
• 中间结果：渐近线交点为开环极点重心减零点重心
• 卡点：实轴段奇偶判据写反；渐近线条数与极零数差不符

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制闭环根轨迹并求实轴段与渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 由相角条件求分离点并筛根

本卷实例

• 关键一步：由各零极点到 d 的距离倒数之和为零列方程
• 中间结果：不在根轨迹段上的根应舍去
• 卡点：保留不在根轨迹上的根；分离点未回代校验

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过由相角条件求分离点并筛根
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

出射角与入射角 根轨迹法

本卷考法

• 求复数极点的起始角

本卷实例

• 关键一步：按相角条件累加其余零极点到该极点的相角
• 中间结果：共轭两极点出射角关于实轴对称
• 卡点：累加时把该极点自身的相角也算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
• 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
• 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
• 共轭复数极点的出射角互为相反数

步骤

• 取待求极点（或零点）为参考点
• 写出相角条件并代入该点
• 把其余零极点的相角移到等式右边累加
• 求反正切得到出射角或入射角

通用考法

• 本卷考过求复数极点的起始角
• 求复数极点的出射角
• 根据出射角画出根轨迹起始方向
• 由入射角确定根轨迹终止方向

常见易错

• 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
• 忘记判断象限导致角度差 180°

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及临界增益

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表令临界行系数为零，或用 s=jω 代入特征方程
• 中间结果：临界增益处闭环出现一对纯虚根
• 卡点：漏掉另一组交点；劳斯表首行缺项未补零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹确定稳定 K 范围并由已知极点求其余极点

本卷实例

• 关键一步：稳定段对应全部极点在左半平面；用根与系数关系配合已知极点求另两根
• 中间结果：稳定范围为 0 到第一次穿越虚轴的临界增益
• 卡点：忽略重极点处的分支切换；根与系数关系符号写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹确定稳定 K 范围并由已知极点求其余极点
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

4四、由稳态误差求传函与频域裕度#

思路

• 已知输入 r=2+1.5t 时稳态误差 e=0.1。(1)求系统开环传递函数；(2)求截止频率与相角裕量并判断稳定性。

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由给定输入下的稳态误差反求开环传函与型别

本卷实例

• 关键一步：判断系统型别，写静态误差系数表达式并代入误差条件反解
• 中间结果：稳态误差给出了开环增益与输入斜率、阶跃幅值的关系
• 卡点：型别判错；把开环增益与静态误差系数混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由给定输入下的稳态误差反求开环传函与型别
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由传函画开环对数渐近幅频特性

本卷实例

• 关键一步：按低频段斜率与高度、各转折频率逐段作渐近线
• 中间结果：低频段高度由增益与积分环节个数共同决定
• 卡点：逐段改斜率未累加；低频段起始高度漏乘型别

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由传函画开环对数渐近幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率与相角裕量并判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：由 |G(jωc)|=1 求 ωc，再算相角裕度与幅值裕度
• 中间结果：任一裕度为负即闭环不稳定
• 卡点：ωc 与 ωg 用反；未判稳就假设系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率与相角裕量并判断稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

5五、非线性系统描述函数与稳定性#

思路

• 非线性系统含死区饱和特性。(1)给定 M、h、k 判断稳定性，若自持振荡求振荡频率与幅值；(2)分析如何调整 M、h、k 使系统稳定。题面以图给出。

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求饱和型非线性的描述函数与负倒描述函数

本卷实例

• 关键一步：写出 N(A)，取负倒数并对 A 求导判断单调区间与极值
• 中间结果：负倒描述函数在 A 等于 √2 倍死区处取极值
• 卡点：画 N(A) 而非 −1/N(A)；未标 A 的增大方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求饱和型非线性的描述函数与负倒描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法判断自振并求频率与幅值

本卷实例

• 关键一步：把 −1/N(A) 曲线与线性部分幅相曲线叠画找交点并判穿越方向
• 中间结果：交点同时给出自振频率与可能的自振幅值
• 卡点：把交点频率当截止频率；穿越方向判稳写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法判断自振并求频率与幅值
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

非线性系统的稳定性与改善 非线性系统

本卷考法

• 分析调整 M、h、k 使系统稳定的条件

本卷实例

• 关键一步：比较负倒描述函数极值与线性部分负实轴交点幅值，列稳定不等式
• 中间结果：稳定要求线性部分交点幅值小于负倒描述函数的极值
• 卡点：只调增益不检查是否引入新的自振点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 非线性系统只有局部稳定性概念，与初始条件有关
• 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
• 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
• 用描述函数或相平面结果指导参数选择

步骤

• 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
• 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
• 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
• 重新分析确认自振消除或幅值达标

通用考法

• 本卷考过分析调整 M、h、k 使系统稳定的条件
• 提出消除自振的工程措施
• 分析增益变化对极限环幅值的影响
• 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊

常见易错

• 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
• 把不稳定极限环误判为可观测的自振

6六、离散系统稳定性与稳态误差#

思路

• 离散控制系统，采样周期 T=0.1。(1)求系统稳定时 k 的范围；(2)K=2 时求单位斜坡信号下的稳态误差。题面以图给出。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求采样系统的开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把连续部分部分分式后逐项查 z 变换并按采样开关位置组脉冲传函
• 中间结果：脉冲传函分子分母含 z 与 e^(−T) 的因子
• 卡点：忘记零阶保持器；被采样隔开的连续环节直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求采样系统的开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求离散系统稳定时 k 的范围

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程按朱利判据列不等式组
• 中间结果：稳定条件等价于特征根都在单位圆内
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零；朱利表构造错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求离散系统稳定时 k 的范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统在单位斜坡输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由 z→1 的终值定理或离散型别法求 ess
• 中间结果：ess 与采样周期及开环增益有关
• 卡点：未判稳就用终值定理；直接套 s 域误差公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统在单位斜坡输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、由状态转移矩阵反求 A 与李雅普诺夫20 分#

思路

• 已知线性定常系统 ẋ=Ax 的状态转移矩阵 Φ(t)。(1)求系统矩阵 A 和特征值；(2)求李雅普诺夫函数并分析稳定性。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由状态转移矩阵反求系统矩阵 A 与特征值

本卷实例

• 关键一步：利用 A 等于 Φ(t) 在 t=0 处的导数求 A
• 中间结果：A 确定后由 |sI−A|=0 求特征值
• 卡点：求导或代值出错；忽略题给数据本身不自洽

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由状态转移矩阵反求系统矩阵 A 与特征值
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 解李雅普诺夫方程求 P 并判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：令 AᵀP+PA=−I 解出对称矩阵 P
• 中间结果：P 正定则原点渐近稳定，取 V=xᵀPx
• 卡点：P、Q 角色混用；只判 V 正定不查 V̇ 的定号性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过解李雅普诺夫方程求 P 并判断稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

8八、能控标准型与状态反馈极点配置#

思路

• 已知 Y(s)/U(s)=10/[s(s+1)(s+2)]。(1)求能控标准型；(2)设计状态反馈阵使闭环极点位于 −2、−1±j。

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：把传函分母展开，按能控标准型写 A、B、C
• 中间结果：A 为友矩阵，末行为负的分母系数
• 卡点：友矩阵系数符号写反；直接传递项 D 处理错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写能控标准型状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统能控性

本卷实例

• 关键一步：构造能控判别阵 [B AB A²B] 并求秩
• 中间结果：秩等于系统阶数则完全能控，可任意配置极点
• 卡点：判别阵构造漏项；秩与阶数比较错误

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统能控性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈阵使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：由 |λI−A+BK| 与期望特征多项式比较系数
• 中间结果：反馈增益由两组系数之差唯一确定
• 卡点：符号写反；未先验能控就直接配置极点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈阵使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式