1梅森公式、状态空间与能控能观#
思路
- 一题三问：先用梅森公式求 Y(s)/U(s)，再把它写成能控标准型，最后算秩判能控能观
梅森增益公式与信号流图
传递函数
本卷考法
- 用梅森公式或方框化简求闭环传递函数
本卷实例
- 关键一步：从信号流图数出前向通路、各回路及互不接触组
- 中间结果：特征式等于一减各回路和加两两不接触回路积
- 卡点：余子式要剔除与前向通路接触的回路
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过用梅森公式或方框化简求闭环传递函数
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 本卷考过余子式中未剔除与前向通路接触的回路
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 由闭环传递函数写出状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：把传递函数分母系数按能控标准型填入状态矩阵
- 中间结果：输入矩阵取最后一行为一其余为零
- 卡点：友矩阵中系数的符号容易写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由闭环传递函数写出状态空间表达式
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 本卷考过真分式化分时直接项处理错误
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 判别系统的能控性和能观性
本卷实例
- 关键一步：分别构造能控与能观判别矩阵并计算秩
- 中间结果：判别矩阵满秩对应完全能控或完全能观
- 卡点：能控性与能观性判别矩阵构造方式不同
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过判别系统的能控性和能观性
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式