1无源电路网络的状态空间与标准型#
思路
- 按电容电压与电感电流列写电路方程，整理成状态空间表达式，再求传函与能控能观标准型
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 由无源 RLC 网络列写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：按 KVL、KCL 列写含电容电压与电感电流的电路方程
- 中间结果：三阶网络对应三个状态变量与三阶系数阵
- 卡点：元件连接与状态变量定义需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过由无源 RLC 网络列写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 由状态空间表达式求传递函数 Y(s)/U(s)
本卷实例
- 关键一步：按 C 乘 (sI 减 A) 的逆再乘 B 加 D 求传函
- 中间结果：所得传函分母即三阶特征多项式
- 卡点：可与复阻抗分压结果互相校验
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 Y(s)/U(s)
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 本卷考过漏掉直接传递项 D
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 写出系统的能控标准型与能观标准型实现
本卷实例
- 关键一步：把传函分母系数按顺序填入友矩阵
- 中间结果：能控标准型与能观标准型互为对偶形式
- 卡点：标准型各系数要与传函系数一一对应
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过写出系统的能控标准型与能观标准型实现
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 本卷考过友矩阵中系数符号写反
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式