1状态反馈、模型与稳定性简答25 分#
思路
- 5 小问简答：状态反馈对能控能观的影响、两类反馈的能力差异、常用模型形式、Bode 低频段与稳态性能、稳定性判定方法
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 简述状态反馈对能控性与能观性的影响
本卷实例
- 关键一步：从判别矩阵的秩在状态反馈前后是否保持不变切入
- 中间结果：状态反馈不改变能控性，能观性可能改变
- 卡点：只答能控性而漏掉能观性会答不全
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过简述状态反馈对能控性与能观性的影响
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置
状态空间分析
本卷考法
- 比较状态反馈与输出反馈改造系统能力的不同
本卷实例
- 关键一步：从两种反馈能否任意配置闭环极点来对比
- 中间结果：状态反馈可任意配置极点，输出反馈只能沿根轨迹配置
- 卡点：把输出反馈说成完全不能改变性能是错的
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过比较状态反馈与输出反馈改造系统能力的不同
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 列举线性定常系统常用的模型表达形式
本卷实例
- 关键一步：按微分方程、传递函数、状态空间表达式三类归并作答
- 中间结果：三种模型描述同一系统且可互相转换
- 卡点：漏答状态空间表达式或只答一种模型
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过列举线性定常系统常用的模型表达形式
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
开环对数频率特性的绘制
频域分析
本卷考法
- 解释 Bode 图低频段特性为何能决定稳态性能
本卷实例
- 关键一步：抓住低频渐近线的斜率和高度两个特征
- 中间结果：斜率对应系统型别，高度对应开环增益
- 卡点：只提增益而漏掉型别对误差阶次的影响
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
- 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
- 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
- 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
- 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
- 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
- 按转折频率从小到大逐段改斜率
- 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
- 本卷考过解释 Bode 图低频段特性为何能决定稳态性能
- 绘制开环对数渐近幅频特性
- 计算指定频率处的幅值与相角
- 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
- 逐段改斜率时忘记累加而非替换
- 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 列举线性定常系统稳定性判定的常用方法
本卷实例
- 关键一步：按代数判据、根轨迹、Nyquist 与直接求根分条列举
- 中间结果：连续系统看极点实部，离散系统看极点模长
- 卡点：只答连续系统判据而漏掉离散系统方法
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过列举线性定常系统稳定性判定的常用方法
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
奈奎斯特判据
稳定性分析
本卷考法
- 简述奈奎斯特判据在稳定性判定中的用法
本卷实例
- 关键一步：先数开环右半平面极点数，再数曲线包围临界点的圈数
- 中间结果：由开环极点数加包围圈数判断闭环右半平面极点数
- 卡点：含积分环节时忘补无穷大圆弧会数错圈数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过简述奈奎斯特判据在稳定性判定中的用法
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
离散系统稳定性分析
离散控制系统
本卷考法
- 简述离散系统稳定性的判定方法
本卷实例
- 关键一步：离散系统看闭环特征根是否全部落在单位圆内
- 中间结果：可用朱里判据或 w 变换后套用劳斯判据
- 卡点：把离散稳定条件误写成极点实部小于零
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
- 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
- w 变换把单位圆内映射到左半平面
- 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
- 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
- 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
- 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
- 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
- 本卷考过简述离散系统稳定性的判定方法
- 判断离散系统是否稳定
- 求使系统稳定的采样周期或增益范围
- 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
- 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
- w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式