上海理工大学 867 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等　填空题 8 个、解答题 5 个、计算题 8 个，共二十一个独立小题；覆盖稳准快基本要求、稳态误差、稳定充要条件、根轨迹法则、频率特性曲线、校正方式、极点配置条件、李雅普诺夫第二法、二阶动态指标、可控性判据、主导极点、奈氏判据、大范围渐近稳定、信号流图、劳斯表判根、幅相曲线、超前校正、非线性稳定性、根轨迹绘制、Bode 反求与状态反馈配置；题量大但以基本概念与常规计算为主。

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一1一1、系统基本要求（稳准快）#

思路

• 填空：自动控制系统对被控量变化全过程提出的基本要求

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 填出控制系统稳、准、快三项基本要求

本卷实例

• 关键一步：由被控量变化全过程这一提示定位到三项基本要求
• 中间结果：按稳定性、准确性、快速性依次作答
• 卡点：三者的顺序在答案段有固定写法，需照原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过填出控制系统稳、准、快三项基本要求
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过把快速性与准确性两项要求混为一谈
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

一2一2、I型系统稳态误差#

思路

• 填空：I型系统在单位阶跃、速度、加速度三种典型输入下的稳态误差

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由开环传函中积分环节个数判断系统型别

本卷实例

• 关键一步：数出 G(s) 中位于原点的极点个数定出型别
• 中间结果：由型别判断三类典型输入各有哪类误差
• 卡点：加速度输入对I型系统的误差为无穷大要写清

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由开环传函中积分环节个数判断系统型别
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 本卷考过把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 写出I型系统在三类典型输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：用静态误差系数表逐项对应三种输入
• 中间结果：阶跃与加速度项分别对应零与无穷大
• 卡点：速度输入项的误差系数按开环增益取倒数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过写出I型系统在三类典型输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过输入为组合信号时漏掉某一分量
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

一3一3、线性系统稳定充要条件#

思路

• 填空：线性系统稳定的充分必要条件（特征根全具负实部或闭环极点全在 s 左半平面）

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 填出线性系统稳定的充分必要条件

本卷实例

• 关键一步：从稳定性与特征根实部的关系切入作答
• 中间结果：把结论表述为特征根全具负实部或极点全在左半平面
• 卡点：本考点借 st_01，知识库无稳定性定义独立考点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过填出线性系统稳定的充分必要条件
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过把必要性当作充分性，只验证特征根实部符号
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

一4一4、根轨迹分支数与渐近线#

思路

• 填空：开环极点 n 个、零点 m 个且 n>m 时，根轨迹的分支数与渐近线条数

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 填出根轨迹分支数与渐近线条数

本卷实例

• 关键一步：由根轨迹起于开环极点这一法则定分支数
• 中间结果：渐近线条数由极点与零点个数之差确定
• 卡点：n>m 时分支数取 n 而不是 n 减 m

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过填出根轨迹分支数与渐近线条数
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过把渐近线条数写成极点数 n
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

一5一5、常用频率特性曲线#

思路

• 填空：线性系统常用的频率特性曲线种类

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 列举线性系统常用的频率特性曲线种类

本卷实例

• 关键一步：由频率特性的三种表示形式入手作答
• 中间结果：答出幅相曲线与对数幅频、相频曲线
• 卡点：对数频率坐标用分贝与角度，与幅相曲线不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过列举线性系统常用的频率特性曲线种类
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过把幅相曲线与对数频率曲线的关系说反
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

典型环节的对数频率特性 频域分析

本卷考法

• 说明对数幅频与对数相频曲线的坐标与用途

本卷实例

• 关键一步：以典型环节的伯德图为例说明两类曲线
• 中间结果：对数幅频用分贝、对数相频用角度表示
• 卡点：填空题只要求列举名称，不必展开画图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
• 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
• 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
• 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高

步骤

• 把传递函数分解为典型环节乘积
• 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
• 代数相加得到总特性

通用考法

• 本卷考过说明对数幅频与对数相频曲线的坐标与用途
• 画出某一典型环节的 Bode 图
• 由 Bode 图识别环节类型
• 说明转角频率处的幅值与相角

常见易错

• 本卷考过把惯性环节的转角频率与谐振频率混用
• 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
• 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn

公式

一6一6、校正方式#

思路

• 填空：按校正装置在系统中的连接方式划分的校正方式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 填出按连接方式划分的几种校正方式

本卷实例

• 关键一步：按校正装置在系统中的连接位置分类
• 中间结果：分为串联、反馈、前馈与复合校正
• 卡点：答案段提示题目最好补上划分条件，照原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过填出按连接方式划分的几种校正方式
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 本卷考过把前馈校正与反馈校正的接入位置搞反
• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

一7一7、状态反馈与输出反馈配置极点条件#

思路

• 填空：状态反馈与输出到状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 填出状态反馈与输出反馈任意配置极点的条件

本卷实例

• 关键一步：从两种反馈所依赖的系统结构信息切入
• 中间结果：状态反馈对应完全能控，输出反馈对应完全能观
• 卡点：输出反馈指的是输出到状态微分的反馈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过填出状态反馈与输出反馈任意配置极点的条件
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 本卷考过把状态反馈要求能控、输出反馈要求能观写反
• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

一8一8、李雅普诺夫第二法的应用#

思路

• 填空：李雅普诺夫第二法的重要应用领域与适用系统

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 填出李雅普诺夫第二法的应用领域与适用对象

本卷实例

• 关键一步：由第二法不需求解方程这一特点定位用途
• 中间结果：答出主要用于稳定性分析并适用于线性时变系统
• 卡点：答案段把线性时变列为适用对象，照原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过填出李雅普诺夫第二法的应用领域与适用对象
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 本卷考过误以为第二法只能用于线性定常系统
• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

二1二1、欠阻尼条件与动态指标#

思路

• 简答：二阶系统处于欠阻尼的条件及该条件下上升时间、峰值时间、调节时间与超调量的公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 写出二阶系统处于欠阻尼状态时阻尼比的范围

本卷实例

• 关键一步：由标准二阶系统阻尼比取值范围定欠阻尼
• 中间结果：阻尼比介于零与一之间即为欠阻尼
• 卡点：特征根为一对共轭复根时可从极点位置判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过写出二阶系统处于欠阻尼状态时阻尼比的范围
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过把欠阻尼与临界阻尼的阻尼比取值搞混
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 写出欠阻尼二阶系统四项动态性能指标公式

本卷实例

• 关键一步：按上升、峰值、调节时间与超调量分别列式
• 中间结果：上升时间含反余弦阻尼角项，其余由自然频率与阻尼比定
• 卡点：题目写超调时间，按原文应为调节时间

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过写出欠阻尼二阶系统四项动态性能指标公式
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过调节时间的两种误差带系数用混
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

二2二2、可控性判据#

思路

• 简答：列举三个线性定常系统完全可控的判据

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 列举线性定常系统完全可控的三种判据

本卷实例

• 关键一步：从代数判据、几何判据与标准型判据三个角度作答
• 中间结果：答出秩判据、PBH 秩判据与约当标准型判据
• 卡点：约当型判据要看相同特征值约当块末行对应的输入阵行

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过列举线性定常系统完全可控的三种判据
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过秩判据中漏写系统矩阵的最高次幂项
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

二3二3、主导极点与偶极点#

思路

• 简答：阐述闭环主导极点与偶极点的定义

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 阐释闭环主导极点与偶极点的定义

本卷实例

• 关键一步：从离虚轴最近且附近无闭环零点切入定主导极点
• 中间结果：偶极子指实轴上靠得很近的一对开环零极点
• 卡点：偶极子的定义部分借 td_04，需回原卷核对表述

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过阐释闭环主导极点与偶极点的定义
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 本卷考过只比极点远近而不看附近是否有闭环零点
• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

二4二4、奈奎斯特判据#

思路

• 简答：阐述奈奎斯特稳定判据的内容

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 简述奈奎斯特稳定判据的内容

本卷实例

• 关键一步：从半闭合曲线不穿过负一临界点这一前提说起
• 中间结果：由右半平面极点数与包围圈数关系说明稳定判据
• 卡点：曲线穿过临界点时只能判临界稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过简述奈奎斯特稳定判据的内容
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过把包围圈数与开环右半平面极点数关系写反
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

二5二5、大范围渐近稳定#

思路

• 简答：说明大范围渐近稳定的原理及线性系统与非线性系统的差别

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 阐释大范围渐近稳定的含义与适用条件

本卷实例

• 关键一步：把初始扰动扩展到整个状态空间来理解大范围
• 中间结果：平衡状态在整个状态空间内均渐近稳定即大范围
• 卡点：严格线性系统若渐近稳定则必为大范围渐近稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过阐释大范围渐近稳定的含义与适用条件
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 本卷考过认为非线性系统渐近稳定就一定是大范围渐近稳定
• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

三1三1、结构图求闭环传函#

思路

• 由系统结构图画信号流图，数各条回路与不接触回路，用梅森公式求 Y(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图用梅森增益公式求 Y(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先把结构图化成信号流图并标出各回路
• 中间结果：特征式由三条回路增益及其接触关系组成
• 卡点：结构图以图给出，回路编号需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图用梅森增益公式求 Y(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路漏算或把接触的回路也算进乘积项
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

三2三2、劳斯表辅助方程判根#

思路

• 对六阶特征方程列劳斯表，出现全零行时构造辅助方程求纯虚根，再由首列变号次数定正实部根数

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯表与辅助方程判断正实部根与纯虚根个数

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表并在出现全零行处写出辅助方程
• 中间结果：由辅助方程解出成对的纯虚根
• 卡点：正实部根个数按首列符号变化次数计

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯表与辅助方程判断正实部根与纯虚根个数
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过出现全零行后直接继续算而没构造辅助方程
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

三3三3、绘制幅相曲线#

思路

• 写开环频率特性并求起点、终点与负实轴交点，据此绘制幅相曲线（答案段另用奈氏判据判稳）

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求开环传递函数的频率特性并绘制幅相曲线

本卷实例

• 关键一步：把 s=jω 代入开环传函整理实部与虚部
• 中间结果：由幅值与相角的极限定曲线起点与终点
• 卡点：两积分环节使低频段起点位于负实轴方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求开环传递函数的频率特性并绘制幅相曲线
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈氏判据判断该开环幅相曲线对应的闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：求曲线与负实轴交点并数穿越次数
• 中间结果：由 P 与净包围圈数按判据算右半平面极点数
• 卡点：答案段额外判稳，题面只要求画曲线

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈氏判据判断该开环幅相曲线对应的闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过补画无穷大半径圆弧时方向画反
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

三4三4、串联超前校正设计#

思路

• 由速度误差系数定开环增益，算未校正相角裕度，按最大超前角法设计超前校正装置并校核校正后裕度

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由速度误差系数求满足要求的开环增益

本卷实例

• 关键一步：用速度误差系数与开环增益的关系定出增益
• 中间结果：把增益代入开环传函得到未校正系统
• 卡点：速度误差要求来自题面指标，不是估算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由速度误差系数求满足要求的开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 按最大超前角法设计串联超前校正装置

本卷实例

• 关键一步：由指标裕度与未校正裕度之差定补偿角
• 中间结果：用最大超前角公式求 a 并定两个转折频率
• 卡点：取新的截止频率作为最大超前角对应频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过按最大超前角法设计串联超前校正装置
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 本卷考过补偿角中忽略截止频率变化带来的相角损失
• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 校核校正后系统相角裕度是否满足指标

本卷实例

• 关键一步：在新截止频率处叠加校正装置的相角
• 中间结果：与指标比较判断校正装置是否满足要求
• 卡点：校正装置形式以答案段为准，题目只给指标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过校核校正后系统相角裕度是否满足指标
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过校正后仍沿用未校正系统的截止频率
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

三5三5、非线性系统李雅普诺夫判稳#

思路

• 求系统唯一平衡状态，构造正定函数并求导，由导数半负定且不恒为零判渐近稳定，再说明大范围性

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 构造李雅普诺夫函数判断非线性系统渐近稳定性

本卷实例

• 关键一步：取二次型正定函数并沿状态方程求导
• 中间结果：导数化为负的二次型且仅在原点为零
• 卡点：还要说明函数随状态范数增大趋于无穷以得大范围

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过构造李雅普诺夫函数判断非线性系统渐近稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 本卷考过只判断函数正定而未检查其导数的符号
• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

三6三6、根轨迹绘制#

思路

• 由开环传函定极点、实轴段与渐近线，求分离点与虚轴交点，据此绘出根轨迹

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按法则绘制三阶系统根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：由三个开环极点定分支数与渐近线夹角
• 中间结果：按实轴段右侧零极点总数为奇数画实轴段
• 卡点：渐近线交点在实轴上，夹角为六十度与一百八十度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按法则绘制三阶系统根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过实轴段判据中零极点个数算错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹分离点并舍去不在轨迹上的解

本卷实例

• 关键一步：对开环传函列分离点方程并求根
• 中间结果：取位于实轴根轨迹段上的根为分离点
• 卡点：三阶系统一般得到一个实分离点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹分离点并舍去不在轨迹上的解
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出根后不筛选就全部保留
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及对应的临界增益

本卷实例

• 关键一步：把 s=jω 代入闭环特征方程分离实虚部
• 中间结果：由实部与虚部为零解出交点频率与增益
• 卡点：交点增益即系统稳定的临界开环增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及对应的临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率就下结论
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

三7三7、Bode图反求传函与相位裕度#

思路

• 由渐近对数幅频特性判定型别与各转折频率，用截止频率处幅值条件定增益，再算相位裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由渐近对数幅频特性反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率定积分环节个数即系统型别
• 中间结果：转折频率的斜率变化方向定出各一阶环节
• 卡点：再用截止频率处幅值为一定出开环增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由渐近对数幅频特性反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把转折频率处的斜率变化方向判断反
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 计算反求所得系统的相角裕度

本卷实例

• 关键一步：把各环节在截止频率处的相角相加
• 中间结果：用一百八十度加开环相角得相角裕度
• 卡点：对数幅频图以图给出，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过计算反求所得系统的相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过相角累加时漏掉积分环节的负九十度
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

三8三8、状态反馈极点配置#

思路

• 判能控性，设状态反馈律并比较期望与实际特征多项式求反馈阵，再画加入反馈后的状态变量图

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断二阶系统能否用状态反馈任意配置极点

本卷实例

• 关键一步：构造能控性矩阵并求其秩
• 中间结果：秩等于系统阶数即可任意配置极点
• 卡点：二阶系统的能控阵是两列方阵，可看行列式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断二阶系统能否用状态反馈任意配置极点
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到系统矩阵的零次幂就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈律使闭环极点为两个指定负实数

本卷实例

• 关键一步：由 A−BK 写闭环特征多项式并整理
• 中间结果：与期望特征多项式逐项比较系数解反馈阵
• 卡点：状态变量图按反馈后的状态方程重新画

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈律使闭环极点为两个指定负实数
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式