上海理工大学 867 自动控制理论（含现控） 2023 年真题思维导图

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难度：中等　填空6+简答5（正文印3）+综合7，覆盖频域、劳斯、参数根轨迹、约旦型与状态空间综合设计

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一1、一2反馈控制基本概念填空#

思路

• 填空：前向通路与反馈通路的定义；自动控制系统按控制方式的分类

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 填出前向通路与反馈通路的定义
• 填出自动控制系统按控制方式的分类

本卷实例

• 关键一步：从输入端沿箭头方向到输出端的通路叫前向通路
• 关键一步：输出量经测量元件回到输入端的通路叫反馈通路
• 关键一步：按控制方式分为开环、闭环、复合控制
• 中间结果：通路名称要与信号流向一致，别把两条说反
• 卡点：把前向通路与反馈通路说反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过填出前向通路与反馈通路的定义
• 本卷考过填出自动控制系统按控制方式的分类
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

一3系统型别与静态误差系数填空#

思路

• 由开环传递函数判断系统型别并求静态速度误差系数 Kv

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 判断系统型别并求静态速度误差系数 Kv

本卷实例

• 关键一步：分母中纯积分环节的个数说明系统型别
• 关键一步：Kv=lim(s→0) sG(s)
• 中间结果：答案段按 Ⅰ 型系统处理，说明开环含一个纯积分环节
• 卡点：把开环增益直接当成 Kv
• 卡点：源文 G(s) 分子 OCR 疑为 s，型别与 Kv 要回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过判断系统型别并求静态速度误差系数 Kv
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

一4由微分方程写传函与幅频特性#

思路

• 由二阶微分方程在零初始条件下写传递函数，再由传函写频率特性与幅频特性

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 由二阶微分方程在零初始条件下写传递函数

本卷实例

• 关键一步：两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 关键一步：按输出比输入整理成降幂有理分式
• 中间结果：分母为 T1T2s²+(2T1+T2)s+2，分子为 1
• 卡点：漏掉零初始条件这一前提
• 卡点：分子分母系数按升幂抄写

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过由二阶微分方程在零初始条件下写传递函数
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由传递函数写频率特性与幅频特性

本卷实例

• 关键一步：令 s=jω 得 G(jω)
• 关键一步：分母复数取模得幅频 A(ω)
• 关键一步：分子相角减分母相角得相频
• 中间结果：A(ω)=1/√[(2-T1T2ω²)²+((2T1+T2)ω)²]
• 卡点：求幅值时没把分母复数取模
• 卡点：整理分母实部虚部时符号弄错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由传递函数写频率特性与幅频特性
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

一5、一6状态变量与极点配置条件填空#

思路

• 填空：状态与状态变量定义；状态反馈/输出反馈可任意配置极点的条件；线性变换下的不变性

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 填出状态与状态变量的定义

本卷实例

• 关键一步：状态是系统在时间域中行为或运动信息的集合
• 关键一步：状态变量是确定系统状态的一组数目最小的变量
• 中间结果：状态变量的个数等于系统阶数
• 卡点：把状态变量与输出量混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过填出状态与状态变量的定义
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 填出状态反馈与输出反馈可任意配置极点的充要条件

本卷实例

• 关键一步：状态反馈任意配置极点等价于被控系统完全能控
• 关键一步：输出反馈任意配置极点则要求系统完全能控且完全能观
• 中间结果：两条条件一宽一严，输出反馈多了能观这一要求
• 卡点：把输出反馈的条件也写成只需能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过填出状态反馈与输出反馈可任意配置极点的充要条件
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 填出非奇异线性变换下能控性、能观性的不变性

本卷实例

• 关键一步：非奇异线性变换下系统的能控性、能观性保持不变
• 中间结果：秩判据在相似变换下不变，这是坐标变换的前提
• 卡点：误以为坐标变换会改变能控能观性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过填出非奇异线性变换下能控性、能观性的不变性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

二1大范围与小范围稳定性简答#

思路

• 简答：什么是大范围渐近稳定，什么是小范围稳定

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 阐释大范围渐近稳定与小范围稳定的含义

本卷实例

• 关键一步：大范围渐近稳定：任意初态都能收敛到唯一平衡点
• 关键一步：小范围稳定：只在平衡点某个小邻域内的初态才稳定
• 中间结果：两者的差别在初态允许的范围，而非平衡点本身
• 卡点：把大范围稳定误说成局部结论
• 卡点：把稳定与渐近稳定混为一谈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过阐释大范围渐近稳定与小范围稳定的含义
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

二2根轨迹与零度/180度区别#

思路

• 简答：根轨迹的定义；零度根轨迹与 180° 根轨迹的区别

根轨迹的基本概念与幅相条件 根轨迹法

本卷考法

• 答出根轨迹的定义

本卷实例

• 关键一步：根轨迹是某参数从 0 变到 +∞ 时闭环特征根在 s 平面的移动轨迹
• 关键一步：根轨迹依据开环传函 G(s)H(s) 绘制
• 中间结果：定义要抓住「闭环特征根」与「参数变化」两点
• 卡点：写成开环极点的轨迹

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
• 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
• 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
• 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数

步骤

• 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
• 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
• 用相角条件判断某点是否在根轨迹上

通用考法

• 本卷考过答出根轨迹的定义
• 判断给定点是否在根轨迹上
• 由幅值条件求该点对应的 K
• 说明相角条件与幅值条件各自的作用

常见易错

• 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
• 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途

公式

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 说明零度根轨迹与 180° 根轨迹的区别

本卷实例

• 关键一步：零度根轨迹的相角条件为 0°+360°l，180° 根轨迹为 180°+360°l
• 关键一步：实轴段判据：零度看右侧零极点数为偶数，180° 看奇数
• 关键一步：渐近线夹角公式也由 2k 与 2k+1 区分
• 中间结果：正反馈或参数根轨迹常引出零度根轨迹
• 卡点：零度根轨迹仍用 180° 相角条件
• 卡点：渐近线夹角公式用错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过说明零度根轨迹与 180° 根轨迹的区别
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

二3奈氏稳定判据简答#

思路

• 简答：简述奈氏稳定判据

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 简述奈氏稳定判据

本卷实例

• 关键一步：闭环稳定要求半闭合曲线不穿过 (-1,j0) 点
• 关键一步：且逆时针包围该点的圈数等于开环右半平面极点数 P
• 关键一步：即 Z=P-R=0
• 中间结果：须先数 P，再补画积分环节对应的无穷大圆弧
• 卡点：开环含积分环节时忘记补画圆弧
• 卡点：把包围圈数的符号约定用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过简述奈氏稳定判据
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

二4（正文缺印，据答案段补）李雅普诺夫稳定与渐近稳定简答#

思路

• 简答：李雅普诺夫稳定与渐近稳定的定义（正文缺印，据答案段补）

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 阐释李雅普诺夫稳定与渐近稳定的定义

本卷实例

• 关键一步：李雅普诺夫稳定：任给 ε>0 存在 δ>0，初态在 δ 邻域内则轨线始终在 ε 邻域内
• 关键一步：渐近稳定：在李雅普诺夫稳定基础上，轨线随时间趋于平衡点
• 中间结果：渐近稳定比稳定多要求极限收敛这一条
• 中间结果：对任意初态成立时称大范围渐近稳定
• 卡点：把李雅普诺夫稳定与渐近稳定当成同一回事

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过阐释李雅普诺夫稳定与渐近稳定的定义
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

二5（正文缺印，据答案段补）状态反馈与输出反馈优点简答#

思路

• 简答：状态反馈与输出反馈各自的优点（正文缺印，据答案段补）

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 比较状态反馈与输出反馈的优点及各自局限

本卷实例

• 关键一步：状态反馈能精确配置极点、设计灵活、鲁棒性较好
• 关键一步：输出反馈实际可行、所需测量少，适用于状态不完全可测的系统
• 关键一步：状态反馈的前提是状态可测或可重构
• 中间结果：选哪种反馈取决于状态能否测得
• 卡点：只夸状态反馈而不提其状态可测的前提

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过比较状态反馈与输出反馈的优点及各自局限
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

三1梅森公式求传函#

思路

• 由信号流图用梅森公式求 C(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求信号流图的 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：找全部回路求 Δ=1-ΣL+…
• 关键一步：找全部前向通路 Pk 与余子式 Δk
• 关键一步：代入 P=ΣPkΔk/Δ
• 中间结果：余子式要剔除与该通路接触的回路
• 中间结果：不接触回路才进高阶项
• 卡点：回路或前向通路找漏
• 卡点：本题信号流图以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求信号流图的 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

三2由性能指标反求参数与调节时间#

思路

• 由峰值时间 1s 与单位斜坡稳态误差 0.04 反求参数 k 与 kf，再求 5% 误差带的调节时间

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由峰值时间 1s 与单位斜坡稳态误差 0.04 反求参数 k 与 kf

本卷实例

• 关键一步：由闭环传函写标准二阶形式，列 ωn² 与 2ξωn 的表达式
• 关键一步：由斜坡误差式给出含 k、kf 的方程
• 关键一步：再用峰值时间条件联立求解
• 中间结果：本题为非单位负反馈，稳态误差要按误差定义算
• 中间结果：先判闭环稳定再谈稳态误差
• 卡点：未判稳就用终值定理
• 卡点：本题结构图以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由峰值时间 1s 与单位斜坡稳态误差 0.04 反求参数 k 与 kf
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由求得的 ξ 与 ωn 计算 5% 误差带的调节时间

本卷实例

• 关键一步：5% 误差带取 ts≈3.5/(ξωn)
• 中间结果：调节时间与 ξωn 的乘积成反比
• 卡点：把 5% 与 2% 误差带的系数用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由求得的 ξ 与 ωn 计算 5% 误差带的调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

三3劳斯判据与 s=-1 左侧#

思路

• 由闭环系统图用劳斯判据求稳定的 k 范围，并求特征根全在 s=-1 左侧的 k 范围

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求闭环系统稳定的 k 范围

本卷实例

• 关键一步：写闭环特征方程 s³+10s²+10ks+10k=0
• 关键一步：列劳斯表令首列全大于零
• 中间结果：s¹ 行首列含 k 的一次式，s⁰ 行为 10k
• 卡点：只算到 s² 行就下结论
• 卡点：首列出现 0 不用 ε 法

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求闭环系统稳定的 k 范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求闭环特征根全在 s=-1 左侧时的 k 范围

本卷实例

• 关键一步：令 ŝ=s+1 平移，把 s=-1 左侧化为 ŝ 左半平面
• 关键一步：对 ŝ 的特征多项式再列劳斯表
• 关键一步：两条约束取交集
• 中间结果：平移后特征式为 ŝ³+7ŝ²+(10k-17)ŝ+9=0
• 卡点：平移方向写反
• 卡点：取交集时漏掉一次项给出的约束

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求闭环特征根全在 s=-1 左侧时的 k 范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

三4参数根轨迹与无超调条件#

思路

• 由 GH=3/[s(s+a)] 画 a 从 0 到 +∞ 的参数根轨迹，并求阶跃响应无超调时 a 的范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 由 GH=3/[s(s+a)] 画 a 从 0 到 +∞ 的参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程 s²+as+3=0 构造等效开环 as/(s²+3)
• 关键一步：按 180° 根轨迹法则绘制
• 关键一步：求渐近线、实轴段与分离点
• 中间结果：等效开环有两个共轭开环极点与一个在原点处的零点
• 中间结果：分离点由 d²=3 定出，取负根
• 卡点：参数没提到分子就套法则
• 卡点：把复极点当成实轴上的点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过由 GH=3/[s(s+a)] 画 a 从 0 到 +∞ 的参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹求单位阶跃响应无超调时 a 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：无超调要求闭环特征根为实数，即临界阻尼或过阻尼
• 关键一步：由根轨迹找共轭复根变为实根的分界点
• 关键一步：由分界点对应的 a 确定取值范围
• 中间结果：分界点即根轨迹分离点，对应临界阻尼
• 卡点：只求到分离点不给出 a 的范围
• 卡点：把等阻尼线画成垂直线

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹求单位阶跃响应无超调时 a 的取值范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

三5状态转移矩阵与系统矩阵#

思路

• 由两组初值-响应求状态转移矩阵 Φ(t) 与系统矩阵 A

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由两组初值-响应求状态转移矩阵 Φ(t) 与系统矩阵 A

本卷实例

• 关键一步：由 x(t)=Φ(t)x(0) 得 Φ(t)=X(t)X⁻¹(0)
• 关键一步：把两组响应并成矩阵 X(t)，初值并成 X(0)
• 关键一步：求 Φ(t) 后再由 A=Φ̇(0) 求 A
• 中间结果：本题两个初值列向量线性无关，X(0) 可逆
• 中间结果：Φ(0)=I 可用来校验
• 卡点：把 x(t) 与 x(0) 的对应关系写反
• 卡点：忘记校核 Φ(0)=I

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由两组初值-响应求状态转移矩阵 Φ(t) 与系统矩阵 A
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

三6约旦标准型#

思路

• 把给定状态空间表达式化为约旦标准型（借 sp_02 的标准型内容）

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 把给定状态空间表达式化为约旦标准型（借 sp_02 的标准型内容）

本卷实例

• 关键一步：先求 A 的特征值，确定约旦块
• 关键一步：对单根与重根分别求特征向量与广义特征向量
• 关键一步：按 P=[P1,P2,P3] 作相似变换，得 A 的约旦型
• 中间结果：特征值为单根 1 与二重根 3
• 中间结果：二重根对应一个二阶约旦块
• 卡点：重根只求一个特征向量，漏掉广义特征向量
• 卡点：源文该题矩阵 OCR 错乱，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过把给定状态空间表达式化为约旦标准型（借 sp_02 的标准型内容）
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

三7能控能观与状态反馈、全维观测器#

思路

• 判断能控性能观性，求状态反馈使极点为 -2、-1±j，再设计极点为 -1、-1、-1 的全维观测器

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断给定系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：构造能控性矩阵求秩
• 关键一步：构造能观性矩阵求秩
• 关键一步：秩等于阶数 3 则完全能控或完全能观
• 中间结果：两个判别矩阵都要与 n=3 比较
• 卡点：只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 卡点：把能控性与能观性矩阵的构造搞混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断给定系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 求状态反馈向量 k，使闭环特征值为 -2、-1±j

本卷实例

• 关键一步：先验证能控
• 关键一步：由期望极点写期望特征多项式
• 关键一步：比较 det(sI-A+Bk) 的系数解 k
• 中间结果：期望特征多项式由 (s+2)[(s+1)²+1] 展开
• 卡点：未验证能控性就配置极点
• 卡点：比较系数时符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过求状态反馈向量 k，使闭环特征值为 -2、-1±j
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计特征值为 -1、-1、-1 的全维状态观测器

本卷实例

• 关键一步：先验证能观
• 关键一步：设观测器增益阵，由 det(sI-A+HC) 与期望多项式比较系数
• 关键一步：写出观测器方程并校验收敛速度
• 中间结果：期望观测器多项式为 (s+1)³ 的展开式
• 卡点：把观测器增益阵与状态反馈增益阵形式写反
• 卡点：观测器极点取得比系统极点慢

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计特征值为 -1、-1、-1 的全维状态观测器
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式