上海电力大学 830 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等　全卷 10 题、满分 150 分，共 10 个板块；以经典控制为主，兼含状态空间与非线性，覆盖扰动不变性设计、控制器选型、根轨迹与奈氏稳定域、采样系统、状态空间建模与极点配置、描述函数自振。

板块 考点 全部 ＋ － 适应

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1控制系统基本方式与反馈系统设计15 分#

思路

• 先判断「人按指定路线驾驶」属开环还是闭环，再设计自动驾驶反馈系统需要哪些部件

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 分析给定过程并用方框图表示，判断是开环还是闭环

本卷实例

• 关键一步：关键看有没有「检测实际输出并反馈比较」的环节——没有就是开环
• 关键一步：人凭眼睛观察路况不断修正方向，本质上存在反馈，但若题目描述为「按预设路线」则按给定描述判
• 中间结果：方框图只有给定→控制器→执行→对象单向通道，无反馈支路
• 卡点：只按「有没有人参与」判断，而不是按「有没有反馈回路」判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过分析给定过程并用方框图表示，判断是开环还是闭环
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表

本卷考法

• 设计自动驾驶反馈控制系统的主要部件并画方框图

本卷实例

• 关键一步：四要素：检测变送（位置/航向传感器）+ 控制器 + 执行器（转向机构）+ 被控对象（车辆）
• 关键一步：还要有给定装置（期望路线）与比较环节
• 中间结果：传感器测实际航向或位置，与期望路线比较后产生偏差信号
• 卡点：漏掉检测变送环节，方框图不闭环

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 四大环节：被控对象、检测变送、控制器、执行器
• 被控量是工艺上要维持的变量，操纵量是控制器输出所控制的变量
• 扰动是影响被控量但不可控的变量
• 设计步骤：定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定

步骤

• 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
• 判断扰动是否需要专门抑制（决定要不要加副回路）
• 选择控制方案并画原理图与方框图
• 说明系统的工作过程

通用考法

• 本卷考过设计自动驾驶反馈控制系统的主要部件并画方框图
• 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
• 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
• 说明系统的工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图不画原理图（或反之），漏答一半

2多输入系统的传函与扰动不变性15 分#

思路

• R(s)、D₁(s)、D₂(s) 三个输入，线性系统可用叠加；第 3 问让 C 不受 D₁ 影响即令 D₁→C 通道的分子为零

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 分别求 C/R、C/D₁、C/D₂ 三个传递函数并写出 C(s) 表达式

本卷实例

• 关键一步：每次只保留一个输入、其余置零，逐个求传递函数
• 关键一步：总输出按叠加原理把三项相加
• 中间结果：三个传函分别令其余输入为零单独求，再按叠加写成 C 的表达式
• 卡点：求扰动传函时没有把参考输入置零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过分别求 C/R、C/D₁、C/D₂ 三个传递函数并写出 C(s) 表达式
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 设计 Gf(s) 使输出不受扰动 D₁(s) 影响

本卷实例

• 关键一步：写出含 Gf 的 D₁→C 传函，令其分子为零 → 得到完全不变性条件
• 关键一步：前馈补偿器不影响原回路特征方程，稳定性不变
• 中间结果：Gf(s) 常写成两条通道传递函数之比的相反数
• 卡点：求出的 Gf 含高阶微分不可实现，需要补惯性环节说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过设计 Gf(s) 使输出不受扰动 D₁(s) 影响
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

3由阶跃响应反求控制器与选型20 分#

思路

• 第 1 问由单位阶跃响应 1−e^(−2t) 反求 Gc；第 2 问比例控制器下的阻尼与稳态；第 3 问按「扰动误差为零」选控制器类型

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由控制器单位阶跃响应 x(t)=1−e^{−2t} 求其传递函数 Gc(s)

本卷实例

• 关键一步：x(t)=1−e^{−2t} 是典型一阶惯性响应，稳态值 1、时间常数 1/2
• 关键一步：对 x(t) 取拉氏变换后除以 1/s（阶跃输入）即得 Gc(s)=2/(s+2)
• 中间结果：阶跃响应拉氏变换 X(s)=2/[s(s+2)]，再除以阶跃的 1/s
• 卡点：直接拿 x(t) 当传递函数，忘记除以 1/s

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由控制器单位阶跃响应 x(t)=1−e^{−2t} 求其传递函数 Gc(s)
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• Gc=4 时求闭环传函并分析阻尼状态

本卷实例

• 关键一步：把 Gc=4 代入回路写闭环传函，再与二阶标准式逐项对照
• 关键一步：先看 s² 项系数是否为 1，不为 1 时先归一化
• 中间结果：对照 2ζωn 与 ωn² 两式可读出阻尼比和无阻尼频率
• 卡点：化标准式时忘记把 s² 项系数归一化，ζ 与 ωn 会读错
• 卡点：反馈点与扰动注入点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过Gc=4 时求闭环传函并分析阻尼状态
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求稳态值 c(∞) 与稳态误差 essr 并概略画响应曲线

本卷实例

• 关键一步：先用闭环特征根判稳，再对 sC(s) 取 s→0 求稳态值
• 关键一步：误差传函按 1−Φ(s) 写，同样用终值定理求稳态误差
• 中间结果：阶跃输入下若误差传函在原点有零点，稳态误差为零
• 中间结果：概略曲线按超调量、峰值时间和稳态值三点勾画
• 卡点：未先判稳就用终值定理，特征根不在左半平面时结论无效
• 卡点：扰动误差与参考误差的注入点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求稳态值 c(∞) 与稳态误差 essr 并概略画响应曲线
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 从 P、PI、PD、PID 中选型使扰动稳态误差 essn=0，并说明理由

本卷实例

• 关键一步：要稳态误差为零，控制器必须含积分作用——只有 PI 和 PID 满足
• 关键一步：扰动作用点在控制器之后时，积分环节能把该点的常值扰动误差压到零
• 关键一步：再结合有无微分说明 PID 为何比 PI 动态更好
• 关键一步：但要说明 PI 已足够满足 essn=0
• 中间结果：P 和 PD 对常值扰动都有残余误差，一票否决
• 卡点：只答「选 PID 最好」而不说明 PI 也能满足零误差，答案不完整

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过从 P、PI、PD、PID 中选型使扰动稳态误差 essn=0，并说明理由
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

4根轨迹与稳定域20 分#

思路

• 给的是常规根轨迹图，要先反推开环传函，再用劳斯判据、分离点、等阻尼线逐问求解

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹图写出开环传递函数 G₀(s) 及根轨迹方程

本卷实例

• 关键一步：从图读实轴根轨迹的起点和终点，定开环极点与零点个数
• 关键一步：由渐近线交点与夹角反推开环极点的重心位置
• 中间结果：三条渐近线交于开环极点实部均值
• 中间结果：无开环零点时根轨迹方程由 1+k·G₀(s)=0 给出
• 卡点：渐近线交点算错会连带把开环极点重心和 G₀ 写错
• 卡点：极点坐标与分离点位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过由根轨迹图写出开环传递函数 G₀(s) 及根轨迹方程
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线交点算错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据分析闭环稳定时 k 值范围

本卷实例

• 关键一步：由 G₀(s) 写闭环特征式，按降幂排列后列劳斯表
• 关键一步：令首列全部元素大于零，再取各不等式交集
• 中间结果：首列含 k 的两个元素同号约束给出上下界
• 卡点：只看常数项而漏掉首列中间元素的不等式，稳定域会放大
• 卡点：开环极点取值与特征式需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据分析闭环稳定时 k 值范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只列出部分首列元素的不等式
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 由图读分离点坐标并计算对应 k 值

本卷实例

• 关键一步：分离点处闭环特征方程有重根，用重根条件或 dM/ds 列式
• 关键一步：把图上读出的分离点坐标代入幅值条件求对应 k
• 中间结果：分离点方程可能给出两个根，落在实轴根轨迹段上的才有效
• 卡点：求出多个根后不筛选，把不在根轨迹上的解也算进去
• 卡点：分离点坐标需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过由图读分离点坐标并计算对应 k 值
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 分析欠阻尼状态下 k 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：欠阻尼对应一对共轭复根，位于分离点与虚轴交点之间
• 关键一步：先定分离点处 k 与虚轴交点处 k，两临界值之间即欠阻尼区
• 中间结果：分离点对应实根段与复根段的分界
• 卡点：等阻尼线是过原点的斜线，不是竖直线
• 卡点：分离点与虚轴交点位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过分析欠阻尼状态下 k 的取值范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• ξ=0.5 时估计闭环根坐标，判断是否存在主导极点并说明如何近似计算性能

本卷实例

• 关键一步：在根轨迹图上作 ξ=0.5 的等阻尼线，与轨迹交点即闭环根估计
• 关键一步：比较共轭极点与其余极点的实部大小，判断能否主导
• 中间结果：主导极点对离虚轴最近，远极点影响可近似忽略
• 卡点：本题开环无零点，近似性能时不要额外加零点超调项
• 卡点：等阻尼线与根轨迹交点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过ξ=0.5 时估计闭环根坐标，判断是否存在主导极点并说明如何近似计算性能
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 本卷考过忽略零点对超调量的放大作用
• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

5奈氏判据与 k-T 稳定区域10 分#

思路

• G=k/(s(2s+1)(Ts+1))，两个可变参数 k 与 T；第 1 问固定 T=1 求 k 范围，第 2 问求 k-T 平面上的稳定区域

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈氏判据求 T=1 时系统稳定的 k 值范围

本卷实例

• 关键一步：开环有一个积分环节（v=1）→ 幅相曲线要补画无穷大半径圆弧
• 关键一步：P=0，故稳定 ⇔ 曲线不包围 (−1,j0)，由此把 k 卡在临界值之间
• 中间结果：G(jω) 与负实轴交点横坐标含 k，令其等于 −1 即临界条件
• 卡点：忘记补无穷大圆弧；或把包围方向记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈氏判据求 T=1 时系统稳定的 k 值范围
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 确定 k、T 同时可变时的稳定区域并画出 k-T 线图

本卷实例

• 关键一步：令 s=jω 代入特征方程，实部与虚部分别为零得两个方程
• 关键一步：消去 ω 得到 k 与 T 的关系式，即为 k-T 平面上的稳定边界
• 中间结果：边界线把第一象限分成稳定与不稳定两块，取含小 k 的那侧
• 卡点：只给范围不给 k-T 图；题目明确要求「绘制 k-T 线表示出稳定区域」

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过确定 k、T 同时可变时的稳定区域并画出 k-T 线图
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

6由 Bode 图分析裕度与校正20 分#

思路

• 四问层层递进：写表达式与裕度定义 → 绘 Bode 标裕度 → 分析 kc>1 的影响 → 选校正环节

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 写出开环对数幅频渐近线表达式、相频特性表达式与幅值穿越频率 ωc

本卷实例

• 关键一步：把各环节写成时间常数形式，按转折频率分段列写渐近线斜率
• 关键一步：低频段由积分环节定型别和高度，转折频率处加减 20 dB/dec
• 中间结果：相频由积分环节的 −90° 与两个惯性环节 arctan 项叠加
• 中间结果：幅值穿越频率按分段渐近线在 0 dB 处求解
• 卡点：低频段起始高度漏掉积分环节对应的 −20v dB/dec
• 卡点：转折频率与 Bode 图坐标需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过写出开环对数幅频渐近线表达式、相频特性表达式与幅值穿越频率 ωc
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 给出相角裕量与增益（幅值）裕量的定义，并在 Bode 图上定性标出

本卷实例

• 关键一步：相角裕度在幅值穿越频率 ωc 处定义：γ=180°+∠G(jωc)
• 关键一步：增益裕量在相位穿越频率 ωg 处定义：Kg=−20lg|G(jωg)|（dB）
• 关键一步：图上标注时先找 |G|=1（0dB）与 ∠G=−180° 两个频率
• 中间结果：γ 在 |G|=1 的 ωc 处度量，Kg 在 ∠G=−180° 的 ωg 处度量
• 卡点：把 ωc 与 ωg 两个频率用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过给出相角裕量与增益（幅值）裕量的定义，并在 Bode 图上定性标出
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 分析 kc>1 时幅频、相频及两个裕量如何变化

本卷实例

• 关键一步：纯增益 kc>1 只把幅频曲线整体上移 20lg kc，相频曲线完全不动
• 关键一步：幅频上移 → ωc 右移 → 相角裕度减小；ωg 不变 → 幅值裕度减小
• 中间结果：kc 只把幅频整体抬高 20lg kc，不改变相频与转折频率
• 卡点：以为增益也会改变相频特性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过分析 kc>1 时幅频、相频及两个裕量如何变化
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 为「响应加快 + 超调减小」选择校正环节并写出通用表达式

本卷实例

• 关键一步：响应加快要求提高 ωc，超调减小要求提高相角裕度 → 两者正是超前校正的强项
• 关键一步：通用表达式 Gc(s)=(αTs+1)/(Ts+1)，α>1
• 中间结果：超前环节在 ωc 附近提供正相角，同时抬高幅值使 ωc 右移
• 卡点：选滞后校正——滞后会降低 ωc，与「响应加快」矛盾

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过为「响应加快 + 超调减小」选择校正环节并写出通用表达式
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

7采样控制系统的稳定与脉冲传函15 分#

思路

• 第 1 问求使系统稳定的采样周期 T 范围；第 2 问固定 T=0.5s 求开环脉冲传递函数；第 3 问在同一采样周期下求输入 r(t)=1+2t 时的稳态误差，需先判稳。

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求使系统稳定的采样周期 T 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：先写出含 T 的闭环脉冲传函，再做 w 变换用劳斯判据
• 关键一步：也可直接求特征根模并令 |z|<1，解出含 T 的不等式
• 中间结果：特征方程化为 z 的二次式，稳定条件 |z|<1 化为含 e^{−T} 的不等式
• 卡点：w 变换公式记错导致映射关系颠倒

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求使系统稳定的采样周期 T 的取值范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• T=0.5s 时求系统的开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器与连续对象乘在一起再整体做 z 变换，不能分开变换后相乘（中间无采样开关）
• 中间结果：先对零阶保持器与连续对象整体部分分式，再逐项查 z 变换表
• 卡点：把两个连续环节分别 z 变换后相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过T=0.5s 时求系统的开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求阶跃加斜坡输入下离散系统的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先看闭环特征根是否都在单位圆内，判稳后再用 z 域终值定理求误差
• 关键一步：把输入拆成阶跃与斜坡两项，分别与误差脉冲传函相乘后取极限
• 中间结果：误差脉冲传函按 1/(1+G(z)) 写，输入 z 变换对应 1+2t 的序列
• 卡点：该采样周期下闭环特征根已落在单位圆外，系统不稳定，稳态误差本身不存在，需先判稳
• 卡点：离散终值定理对应 z 趋于 1，不要与拉氏终值定理的 s 趋于 0 混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求阶跃加斜坡输入下离散系统的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

8状态空间建模、状态转移与极点配置15 分#

思路

• 由二阶微分方程选取状态变量列写状态空间表达式，用拉氏反变换求状态转移矩阵；由期望极点写出目标特征多项式，先判能控性，再与原特征多项式比较系数求状态反馈矩阵，并画状态变量结构图。

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由二阶微分方程列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：取输出及其一阶导数为两个状态变量，把二阶方程降为一阶方程组
• 关键一步：由最高阶导数项解出状态导数，再按矩阵形式拼装
• 中间结果：状态矩阵呈相变量形式，输入矩阵取自输入项系数
• 卡点：原件两版有差异：试题册与答案册印含 6x，宝典A印 ẍ+5ẋ+6=2u（漏印 x）
• 卡点：本卷按含 x 理解；MinerU 文本把两版方向记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由二阶微分方程列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 用拉氏反变换求二阶系统的状态转移矩阵

本卷实例

• 关键一步：先求 (sI−A) 的逆矩阵，再对每个元素逐项做拉氏反变换
• 中间结果：状态转移矩阵由两个特征模态线性组合，系数与特征值成对出现
• 卡点：方程是否含 x 项会改变状态矩阵，进而改变状态转移矩阵结果，需回原卷核对
• 卡点：矩阵求逆时不要漏掉行列式这一公因子

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过用拉氏反变换求二阶系统的状态转移矩阵
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 由期望极点求状态反馈矩阵并画结构图

本卷实例

• 关键一步：先验证能控性，再把含待求增益的实际特征多项式与期望极点多项式逐项比较系数
• 关键一步：结构图在积分器链上把各状态经反馈增益引到输入端
• 中间结果：反馈增益由同次幂系数相等的方程组确定
• 卡点：三阶对象 GP(s)=10/(s(0.1s+1)(s+1)) 是 MinerU 串列
• 卡点：原件本小问接第(1)问二阶对象，λ₁,₂=−1±j 两个极点已给全
• 卡点：不存在缺第三个期望极点
• 卡点：反馈增益整体反号会使闭环极点落到关于虚轴的镜像位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过由期望极点求状态反馈矩阵并画结构图
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

9状态空间的传递函数与能控能观10 分#

思路

• 由 A、b、c 按状态空间与传递函数关系求 G(s)=Y(s)/U(s)；再分别构造能控性矩阵与能观性矩阵，用秩或行列式判断系统完全能控与完全能观。

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：按状态空间与传函关系先算 (sI−A) 的逆矩阵，再左乘输出矩阵、右乘输入矩阵
• 中间结果：分子由输出矩阵与伴随矩阵作用于输入矩阵得到，分母为状态矩阵的特征多项式
• 卡点：试题册与宝典原件第9题 A 第二行第三列都印 1，原件一致
• 卡点：宝典 MinerU 文本误读成 −1；照误读会改变传函分子，本卷按原件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求系统传递函数
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造判别矩阵判断能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：按 [b, Ab, A²b] 与 [c; cA; cA²] 分别堆叠能控性矩阵与能观性矩阵
• 中间结果：三阶单入单出系统可只算判别矩阵的秩或行列式，判断是否满秩
• 卡点：本题 A 第二行第三列原件两版都是 1，能观性以原件为准
• 卡点：宝典 MinerU 文本的 −1 是误读，不构成源文矛盾
• 卡点：能观性矩阵按行堆叠，与能控性矩阵按列堆叠的构造顺序不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造判别矩阵判断能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

10描述函数法分析自激振荡10 分#

思路

• 先写出线性部分的幅频与相频特性，再求非线性描述函数的负倒特性；把两条曲线画在同一复平面，由交点判断稳定自振，并由相角、幅值条件反求自振频率与开环增益。

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求描述函数的负倒特性并画其轨迹

本卷实例

• 关键一步：把给定的 N(A) 取负倒数，化为幅值 A 与固定相角的复变轨迹
• 中间结果：负倒特性是一条自原点出发、相角固定的射线，幅值随 A 线性增大
• 卡点：N(A) 含固定相角，取负倒数后相角要整体加减 180 度再判象限
• 卡点：非线性框图为原卷插图，非线性环节位置与回路连接需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求描述函数的负倒特性并画其轨迹
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由两曲线交点判稳定自振并反求频率与增益

本卷实例

• 关键一步：先令负倒特性与线性部分相角相等定自振频率，再由幅值互为倒数关系定开环增益
• 中间结果：交点处两曲线相角相同、幅值满足互为倒数，可列出频率与增益两个方程
• 卡点：要先判负倒特性沿 A 增大方向穿入还是穿出线性部分曲线，才能判断自振是否稳定
• 卡点：题面已给定自振振幅，代入幅值条件可反求开环增益
• 卡点：题面框图为原卷插图，线性部分的等效传函需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由两曲线交点判稳定自振并反求频率与增益
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式