兰州理工大学 835 自动控制原理 2023 年真题思维导图

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难度：中等　8题：速度控制系统微分方程、根轨迹与极点及动态性能、Bode反求判稳与超前校正、滞后校正设计、最少拍数字校正器、描述函数自振、状态方程响应、状态方程与能控能观及极点配置

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1速度控制系统的微分方程列写#

思路

• 由图列各元部件微分方程，消去中间变量得系统微分方程

直流电机等机电系统 建模与机电系统

本卷考法

• 由速度控制系统图列写各环节微分方程

本卷实例

• 关键一步：按运放、功放、电动机、测速机逐环列方程
• 中间结果：消去中间变量得输入输出的高阶微分方程
• 卡点：题面配原卷系统图，元件接法与参数需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由电枢回路电压方程与转矩平衡方程联立
• 反电动势与转速成正比，电磁转矩与电枢电流成正比
• 机电时间常数由电气与机械两方面参数共同决定

步骤

• 写出电枢回路电压平衡方程
• 写出转矩平衡方程（含负载与粘性摩擦）
• 消去电枢电流，得到转速或转角对电压的传递函数

通用考法

• 本卷考过由速度控制系统图列写各环节微分方程
• 求直流电机转速或位置对电枢电压的传递函数
• 分析机电时间常数与电气时间常数的数量级关系

常见易错

• 漏掉反电动势与电磁转矩的耦合项
• 把电气时间常数与机电时间常数混淆

公式

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 列写含运算放大器与RC校正网络的微分方程

本卷实例

• 关键一步：用虚短虚断列运放输入与输出关系
• 中间结果：运放含RC网络时整理出微分时间常数项
• 卡点：虚短虚断只在线性工作区成立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过列写含运算放大器与RC校正网络的微分方程
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

2根轨迹绘制与极点及动态性能#

思路

• 对G(s)=K除以s(s+2)(s+4)画根轨迹，由闭环极点-5求其余极点，再算超调与调节时间

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制三阶系统根轨迹

本卷实例

• 关键一步：定开环零极点、渐近线与实轴段
• 中间结果：由分离点条件求根轨迹与实轴交点
• 卡点：三条渐近线的夹角与交点要算对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制三阶系统根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由已知一个闭环极点反求其余极点

本卷实例

• 关键一步：用闭环特征式除以已知极点对应因式
• 中间结果：商式为其余闭环极点对应的因式
• 卡点：已知闭环极点代入特征式可直接定增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由已知一个闭环极点反求其余极点
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环极点算超调量与调节时间

本卷实例

• 关键一步：由其余极点读出ξ与ωn再套指标公式
• 中间结果：化为标准二阶形式后套用动态指标公式
• 卡点：用主导极点近似前要判断适用性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由闭环极点算超调量与调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

3由Bode图求传函并判稳与超前校正#

思路

• 由图反求校正前传函并判稳，再作串联超前校正并绘校正后幅频，说明影响

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由对数幅频图反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率与基准点定型别与增益
• 中间结果：按转折频率处斜率变化定各对应环节
• 卡点：题面配原卷Bode图，转折频率与高度需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由对数幅频图反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由相频曲线与负穿越判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：由图读正负穿越次数并数右半平面开环极点
• 中间结果：按Z等于P减2N判断右半平面闭环极点数
• 卡点：正负穿越的定义与方向勿弄反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由相频曲线与负穿越判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制校正后开环对数幅频渐近线

本卷实例

• 关键一步：先定校正后各转折频率再逐段改斜率
• 中间结果：低频段高度按增益与型别确定
• 卡点：逐段斜率是累加而非替换

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制校正后开环对数幅频渐近线
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 由校正装置传函判断超前或滞后及对性能影响

本卷实例

• 关键一步：比较校正装置分子分母转折频率大小判断类型
• 中间结果：超前校正抬高中频段并右移截止频率
• 卡点：超前与滞后对调节时间的影响方向相反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过由校正装置传函判断超前或滞后及对性能影响
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

4滞后串联校正装置设计#

思路

• 按K不小于5、γ不小于40度、ωc不小于0.5，设计滞后串联校正装置

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 按相角裕度与截止频率指标设计串联滞后校正

本卷实例

• 关键一步：由未校正相角裕度与补偿角定新ωc
• 中间结果：用滞后网络在ωc处拉低增益以满足裕度
• 卡点：题面与第五题被OCR挤在同段，需回原卷核对题面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过按相角裕度与截止频率指标设计串联滞后校正
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 计算未校正系统相角裕度作为设计依据

本卷实例

• 关键一步：抓大放小求ωc再累加相角得γ
• 中间结果：未校正相角裕度为负需大幅补偿
• 卡点：校正后需回代重算相角裕度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过计算未校正系统相角裕度作为设计依据
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

5最少拍数字校正器设计#

思路

• ZOH与三阶对象、采样周期0.2s下，按无稳态误差与有限拍设计D(z)并画输出

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的开环脉冲传函

本卷实例

• 关键一步：用(1-z负一次)乘连续部分再部分分式取z变换
• 中间结果：脉冲传函为含三个极点的有理式
• 卡点：零阶保持器必须计入G(z)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的开环脉冲传函
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

数字控制器与最少拍设计 离散控制系统

本卷考法

• 按单位阶跃输入设计最少拍数字校正器

本卷实例

• 关键一步：由输入定误差脉冲传函为1-z负一次
• 中间结果：按D(z)等于Φ(z)除以G(z)Φe(z)化简
• 卡点：需校验无纹波与物理可实现条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
• 设计需要满足可实现性与稳定性约束
• 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
• 最少拍设计通常导致很大的控制量，需加限制

步骤

• 确定输入类型及对应的误差传函形式
• 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
• 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
• 检验可实现性、稳定性与控制量大小

通用考法

• 本卷考过按单位阶跃输入设计最少拍数字校正器
• 设计最少拍数字控制器
• 比较不同输入类型下的最少拍数
• 分析最少拍系统存在的问题

常见易错

• 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散系统在阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由开环脉冲传函的型别判断稳态误差
• 中间结果：一型系统对阶跃输入无稳态误差
• 卡点：离散系统误差要用z域终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散系统在阶跃输入下的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

6描述函数法分析自振#

思路

• 给描述函数、M、h与G(s)，用描述函数法分析系统振动特性

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求纯滞环继电特性的描述函数

本卷实例

• 关键一步：代入M与h化简并约去描述函数表达式
• 中间结果：由实部与虚部条件联立求交点
• 卡点：题面配原卷非线性系统图，须回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求纯滞环继电特性的描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法判断自振并求振幅与频率

本卷实例

• 关键一步：把G(jω)与负倒描述函数画同坐标系找交点
• 中间结果：交点处读出自振的振幅与频率
• 卡点：需标注振幅增大方向判断交点稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法判断自振并求振幅与频率
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

7状态方程的时间响应#

思路

• 给A、B、C与初值，输入单位阶跃，求状态响应x(t)

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求状态转移矩阵与给定输入下的状态响应

本卷实例

• 关键一步：求(sI-A)负一次并拉氏反变换得转移矩阵
• 中间结果：由转移矩阵乘初值加卷积积分得x(t)
• 卡点：卷积积分上下限与变量代换勿写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求状态转移矩阵与给定输入下的状态响应
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

8状态方程、能控能观与极点配置#

思路

• 由图求状态方程，判能控能观，设计状态反馈把闭环极点配置到指定位置

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由控制系统图列写状态方程与输出方程

本卷实例

• 关键一步：按积分器输出选状态变量列写方程组
• 中间结果：整理成矩阵形式得A、B、C三个矩阵
• 卡点：题面配原卷结构图，接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由控制系统图列写状态方程与输出方程
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：构造能控与能观矩阵并求秩
• 中间结果：秩等于阶数时系统完全能控能观
• 卡点：能控与能观矩阵构造勿混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈阵把闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：先写期望特征多项式再比较系数
• 中间结果：由特征式系数对应解得反馈阵各分量
• 卡点：反馈取u=-Kx+v时符号要与特征式一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈阵把闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式