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兰州理工大学 835 自动控制原理 2021 年真题思维导图

强势双非共 9 题合计 150 分

难度:中等 9题150分:系统组成与方框图、二阶动态性能与稳态误差、参数根轨迹、Bode反求与超前校正、滞后校正设计、离散最小拍、描述函数自振、状态反馈极点配置与观测器、李雅普诺夫与离散化

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1恒温箱温度控制系统(组成与方框图)10 分#

思路
  • 由图给出恒温箱温度控制系统,画方框图、说明工作原理并指认被控对象与被控变量
本卷考法
  • 画恒温箱温度闭环方框图并说明调温工作原理
本卷实例
  • 关键一步:以热电偶测炉温、偏差经放大驱动电机调压
  • 中间结果:给定电压与反馈电压比较得偏差信号
  • 卡点:题面配原卷系统图,元件接法与信号流向需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过画恒温箱温度闭环方框图并说明调温工作原理
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指认被控对象、被控变量与执行元件
本卷实例
  • 关键一步:按炉温为被控变量、电阻丝加热为操纵手段
  • 中间结果:被控对象为加热炉,输出为炉温
  • 卡点:题面配原卷系统图,被控对象标注需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指认被控对象、被控变量与执行元件
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

2结构图求动态性能与稳态误差(微分反馈)10 分#

思路
  • 由结构图求闭环传函,算欠阻尼指标与斜坡稳态误差,再定微分反馈系数
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由含微分反馈的结构图求闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先化简内环得到等效开环再写闭环特征式
  • 中间结果:闭环化为二阶标准形式并读出ξ与ωn
  • 卡点:微分反馈系数出现在特征式一次项,勿与开环增益混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由含微分反馈的结构图求闭环传递函数
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由ξ与ωn计算超调量与调节时间
本卷实例
  • 关键一步:把闭环特征式归一化成二阶标准形式再套指标公式
  • 中间结果:据ξ与ωn查超调量与调节时间的对应公式
  • 卡点:调节时间误差带取5%还是2%要按题给,勿混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由ξ与ωn计算超调量与调节时间
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 单位斜坡输入下的稳态误差计算
本卷实例
  • 关键一步:先判稳再用终值定理求静态速度误差系数
  • 中间结果:由速度误差系数写出误差与开环增益的关系
  • 卡点:非单位反馈时误差定义要先明确
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过单位斜坡输入下的稳态误差计算
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
本卷考法
  • 用PD控制同时满足阻尼比与稳态误差要求
本卷实例
  • 关键一步:在原微分反馈上改用PD控制器同时兼顾误差与ξ
  • 中间结果:由闭环特征式比对标准形式求PD参数
  • 卡点:保持ξ不变又要减小误差,单靠比例增益不可行
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 比例项提高快速性但存在稳态误差
  • 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
  • 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
  • PD 相当于超前校正,PI 相当于滞后校正
步骤
  • 按误差类型选择需要引入的环节
  • 先调比例再调积分最后调微分
  • 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
  • 本卷考过用PD控制同时满足阻尼比与稳态误差要求
  • 设计 PID 控制器满足给定指标
  • 分析各参数变化对系统性能的影响
  • 说明微分项对噪声的影响
常见易错
  • 把 PI 的相位影响说成超前
  • 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式

3参数a的根轨迹绘制10 分#

思路
  • 由含参数a的开环传函化等效开环,按法则画参数a的根轨迹
本卷考法
  • 以参数a为变量绘制参数根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:把特征式整理成a为参变量的等效开环形式
  • 中间结果:等效开环写成 a 除以 s 乘(2s+1)的平方
  • 卡点:参数根轨迹要先分离出参数a的乘子再画
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
  • 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
  • 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
  • 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
  • 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
  • 按常规根轨迹法则绘制
  • 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
  • 本卷考过以参数a为变量绘制参数根轨迹
  • 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
  • 绘制正反馈系统的零度根轨迹
  • 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
  • 整理时没有把参数完整地提到分子位置
  • 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
本卷考法
  • 按基本法则绘制根轨迹草图
本卷实例
  • 关键一步:由开环零极点定实轴段、渐近线与分离点
  • 中间结果:三条根轨迹有两条趋向无穷远并交于实轴
  • 卡点:实轴段判据按零极点个数计,重极点勿漏
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按基本法则绘制根轨迹草图
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式

4由Bode图反求传函与串联超前校正20 分#

思路
  • 由图3反求校正后开环传函,算相角裕量,再分离校正装置并说明作用
本卷考法
  • 由对数幅频渐近线反求开环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先由低频段斜率与高度定型别与开环增益
  • 中间结果:按各转折频率处斜率变化识别对应环节
  • 卡点:题面配原卷图3,转折频率与高度需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由对数幅频渐近线反求开环传递函数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算校正后系统的相角裕量
本卷实例
  • 关键一步:用抓大放小分段近似求截止频率
  • 中间结果:在ωc处累加各环节相角得相角裕量
  • 卡点:分段近似取得的ωc要回代对应频段校验
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算校正后系统的相角裕量
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 由校正前后传函求校正装置并判断类型
本卷实例
  • 关键一步:用校正后传函除以未校正传函得校正装置
  • 中间结果:由校正装置零极点判断超前或滞后校正
  • 卡点:分子转折频率高于分母才属超前校正
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过由校正前后传函求校正装置并判断类型
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

5滞后串联校正装置设计15 分#

思路
  • 给K不小于5、γ不小于40度、ωc不小于0.5,设计滞后串联校正装置
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 按相角裕度要求设计串联滞后校正装置
本卷实例
  • 关键一步:由未校正相角裕度与补偿角定新截止频率
  • 中间结果:用滞后网络在低频段抬升增益以满足K要求
  • 卡点:滞后网络分子转折频率应低于分母,勿写反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过按相角裕度要求设计串联滞后校正装置
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 由相角裕度指标反求校正参数并校验
本卷实例
  • 关键一步:先算未校正系统的相角裕度作设计起点
  • 中间结果:在选定ωc处校验相角裕度是否达标
  • 卡点:截止频率改变后要回代重算相角裕度
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过由相角裕度指标反求校正参数并校验
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

6离散系统最小拍控制器设计15 分#

思路
  • ZOH与采样周期0.5s下求G(z),按最小拍设计D(z),算响应并说明适应性
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求含零阶保持器的开环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:零阶保持器按(1-z负一次)与连续部分相乘再取z变换
  • 中间结果:部分分式展开后查z变换表求和
  • 卡点:零阶保持器必须计入G(z),勿漏乘(1-z负一次)
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求含零阶保持器的开环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
本卷考法
  • 按最小拍要求设计数字控制器D(z)
本卷实例
  • 关键一步:由输入类型定闭环误差脉冲传函Φe(z)
  • 中间结果:按D(z)等于Φ(z)除以G(z)Φe(z)求控制器
  • 卡点:D(z)须物理可实现,方程阶数要满足因果性
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
  • 设计需要满足可实现性与稳定性约束
  • 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
  • 最少拍设计通常导致很大的控制量,需加限制
步骤
  • 确定输入类型及对应的误差传函形式
  • 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
  • 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
  • 检验可实现性、稳定性与控制量大小
通用考法
  • 本卷考过按最小拍要求设计数字控制器D(z)
  • 设计最少拍数字控制器
  • 比较不同输入类型下的最少拍数
  • 分析最少拍系统存在的问题
常见易错
  • 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
  • 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件
公式

7描述函数法分析自激振荡20 分#

思路
  • 由图6与表1用描述函数法判断自振并定振幅与频率
本卷考法
  • 用描述函数法判断系统是否产生自持振荡
本卷实例
  • 关键一步:把G(jω)与负倒描述函数曲线画同一坐标系找交点
  • 中间结果:交点处同时满足幅值与相角两个条件
  • 卡点:题面配原卷图5、图6与表1,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过用描述函数法判断系统是否产生自持振荡
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 由给定数据求描述函数与负倒描述函数
本卷实例
  • 关键一步:按表1中X与N的对应关系取交点数据
  • 中间结果:由交点读出自振振幅与频率
  • 卡点:描述函数法只取一次谐波近似,数据按表内取值
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过由给定数据求描述函数与负倒描述函数
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式

8状态反馈极点配置与观测器25 分#

思路
  • 由图7建状态空间表达式,设计K配置极点,画结构图并讨论观测器
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由受控对象图列写状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:按结构图选取状态变量并列写一阶微分方程组
  • 中间结果:整理成矩阵形式得A、B、C三个矩阵
  • 卡点:题面配原卷图7,受控对象参数与接法需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由受控对象图列写状态空间表达式
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈增益阵使闭环极点满足指标
本卷实例
  • 关键一步:先验证能控性再按期望极点写特征多项式
  • 中间结果:比较系数解出反馈阵各分量
  • 卡点:期望特征多项式系数要与闭环特征式一一对应
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈增益阵使闭环极点满足指标
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 由能控性与能观性判据判断极点可否任意配置
本卷实例
  • 关键一步:构造能控性与能观性矩阵并求秩
  • 中间结果:矩阵满秩时系统可任意配置极点
  • 卡点:能控与能观两个判据所用矩阵勿混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过由能控性与能观性判据判断极点可否任意配置
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态观测器设计 状态空间分析
本卷考法
  • 说明用状态观测器任意配置极点的条件与原则
本卷实例
  • 关键一步:由能观性判断可否用观测器重构状态
  • 中间结果:观测器极点应取在左半平面且远离虚轴
  • 卡点:观测器响应过快会放大噪声,需折中
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态观测器用输出与输入重构状态,前提是系统能观
  • 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
  • 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
  • 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
  • 验证系统能观性
  • 写出观测器方程并求误差动态矩阵
  • 按期望特征多项式比较系数求出 L
  • 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
  • 本卷考过说明用状态观测器任意配置极点的条件与原则
  • 设计全维状态观测器
  • 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
  • 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
  • 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
  • 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式

9李雅普诺夫稳定性与状态响应及离散化25 分#

思路
  • 定平衡状态与渐近稳定,求状态转移矩阵与x(t),再求离散化状态方程
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 判断线性定常系统在平衡状态处的渐近稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先求平衡状态再解特征方程得特征值
  • 中间结果:由特征值实部符号判断是否渐近稳定
  • 卡点:线性定常系统大范围渐近稳定要求特征值全负
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过判断线性定常系统在平衡状态处的渐近稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 求状态转移矩阵与给定初值下的状态响应
本卷实例
  • 关键一步:用拉氏反变换求状态转移矩阵
  • 中间结果:由Φ(t)乘初值加卷积积分得x(t)
  • 卡点:卷积积分上限与变量代换勿写错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过求状态转移矩阵与给定初值下的状态响应
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式
连续系统的离散化 离散控制系统
本卷考法
  • 由连续状态方程求给定采样周期的离散化方程
本卷实例
  • 关键一步:先算e的AT次方再积分求输入矩阵
  • 中间结果:按离散形式写x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
  • 卡点:输入矩阵积分要含B,勿漏乘B
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
  • 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
  • 带零阶保持器时即按上述积分式离散化,输出矩阵不变
步骤
  • 求连续系统的状态转移矩阵
  • 把采样周期代入得到离散状态矩阵
  • 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
  • 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应
通用考法
  • 本卷考过由连续状态方程求给定采样周期的离散化方程
  • 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
  • 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
  • 计算采样点上的状态与输出序列
常见易错
  • 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
  • 积分上限写成采样周期以外的量,或忘记乘输入矩阵
公式