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兰州理工大学 835 自动控制原理 2019 年真题思维导图

强势双非共 9 题合计 150 分

难度:中等 全卷九个大题共一百五十分,覆盖温度控制系统组成、电路传函、由稳态误差与闭环极点反求开环传函、根轨迹、串联超前校正、离散稳态误差、描述函数自振、状态方程能控能观、状态反馈极点配置。

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一恒温箱温度控制系统(组成与方框图)10 分#

思路
  • 由温度控制系统图识别被控对象与反馈通路,用偏差调节过程说明恒温原理,再指认被控对象与被控量。
本卷考法
  • 据题一图指出恒温箱系统的被控对象与被控量
  • 画出闭环方框图并说明恒温调节过程
本卷实例
  • 关键一步:沿热电偶反馈电压与给定电压比较得偏差,勾出闭环方框图
  • 中间结果:偏差经放大器驱动伺服电机,经减速器调压器改变炉温
  • 卡点:恒温箱系统原理以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过据题一图指出恒温箱系统的被控对象与被控量
  • 本卷考过画出闭环方框图并说明恒温调节过程
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 本卷考过把加热电阻丝当成被控对象,或把调压器电压当成被控量
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指认该温度控制系统的被控量、操纵量与主要扰动
本卷实例
  • 关键一步:按过程控制组成把电炉、热电偶、放大器、电机、调压器逐一归位
  • 中间结果:被控对象为电炉、被控量为炉温,执行机构含电机与调压器
  • 卡点:系统组成以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指认该温度控制系统的被控量、操纵量与主要扰动
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 本卷考过把操纵量调压器电压与扰动量炉门散热混为一谈
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

二电路网络求传递函数(原卷有图)10 分#

思路
  • 对图2的RC网络用复阻抗分压(或列微分方程消中间变量)求输出电压对输入电压的传递函数。
本卷考法
  • 由图2电路网络求Uo(s)/Ui(s)
本卷实例
  • 关键一步:对C1并联R1再串R2、C2的支路用分压求传函
  • 中间结果:传函为二阶有理式,分子分母同型
  • 卡点:元件连接以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 电路用复阻抗法:电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
  • 机械平移系统三种元件:质量 m、阻尼 f、弹簧 k
  • 先列物理定律方程,再消去中间变量
  • 列方程的依据:KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
  • 画出复阻抗等效电路或受力分析图
  • 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
  • 消去中间变量,得到只含输入输出的方程
  • 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
  • 本卷考过由图2电路网络求Uo(s)/Ui(s)
  • 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
  • 本卷考过复阻抗法把电容阻抗误写成Cs
  • 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
  • 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
电路网络与有源网络建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 由RC电路列微分方程消中间变量求传函
本卷实例
  • 关键一步:设电容电压为中间变量列KCL与元件方程
  • 中间结果:消去中间变量得二阶微分方程再作拉氏变换
  • 卡点:电路结构以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 无源网络用复阻抗分压或节点法
  • 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
  • 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
  • 画出复阻抗等效电路
  • 用分压公式或节点电流方程列写关系
  • 整理为输出与输入的比值
通用考法
  • 本卷考过由RC电路列微分方程消中间变量求传函
  • RC 网络或有源滤波器求传递函数
  • 求运算电路的输出表达式
常见易错
  • 本卷考过含电容并联支路时复阻抗并联公式用错
  • 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
  • 把反相输入的负号漏掉
公式

三由稳态误差与闭环极点反求开环传函13 分#

思路
  • 设开环传函为K/[s(s²+bs+c)]的I型三阶形式,先由单位斜坡稳态误差为2建立K与c的关系,再由一对闭环复极点-1±j1确定二次因子,比较系数解出各参数。
本卷考法
  • 判定系统型别并写出静态速度误差系数Kv
本卷实例
  • 关键一步:按I型三阶假设Kv等于s趋于0时sG(s)的极限
  • 中间结果:单位斜坡稳态误差为c与K之比
  • 卡点:须由稳态误差要求先建立K与c的关系
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过判定系统型别并写出静态速度误差系数Kv
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 本卷考过把开环增益与静态速度误差系数混为一谈,数错积分环节个数
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式
本卷考法
  • 由单位斜坡输入的稳态误差为2反求增益关系
本卷实例
  • 关键一步:令斜坡误差c/K等于2得K为0.5c
  • 中间结果:K与c成比例,尚待闭环极点条件定值
  • 卡点:终值定理须在系统稳定前提下使用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过由单位斜坡输入的稳态误差为2反求增益关系
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 本卷考过未判稳就使用终值定理
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由一对闭环复极点-1±j1确定闭环特征式的二次因子
本卷实例
  • 关键一步:由(s²+2s+2)与(s+p)相乘写闭环特征式
  • 中间结果:比较系数并联立K=0.5c解出b、c、K
  • 卡点:假设开环无零点,须与题设三阶I型一致
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由一对闭环复极点-1±j1确定闭环特征式的二次因子
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 本卷考过把闭环极点位置与阻尼比、自然频率对应关系写错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式

四根轨迹绘制与欠阻尼开环增益范围12 分#

思路
  • 按法则画G(s)H(s)=K*(s+1)/[s(s-3)]的根轨迹,求分离点、渐近线与虚轴交点,再由稳定且欠阻尼条件取根轨迹增益区间并换算开环增益。
本卷考法
  • 按法则绘制G(s)H(s)=K*(s+1)/[s(s-3)]的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:标极点0、3与零点-1,判实轴根轨迹段
  • 中间结果:两条分支,一条趋于无穷,渐近线横坐标为正4
  • 卡点:根轨迹草图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按法则绘制G(s)H(s)=K*(s+1)/[s(s-3)]的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 本卷考过实轴根轨迹段判据零极点个数算错,渐近线夹角写错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求根轨迹的分离点并筛选合理解
本卷实例
  • 关键一步:按dK/ds为零列分式方程并求解
  • 中间结果:两个候选根一正一负,按轨迹段取舍
  • 卡点:分离点对应的增益须回代核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹的分离点并筛选合理解
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 本卷考过求出方程根后不筛选,保留不在轨迹上的解
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
本卷考法
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
本卷实例
  • 关键一步:把s=jω代入闭环特征方程分离实虚部
  • 中间结果:交点在ω为±根号3处,临界根轨迹增益为3
  • 卡点:临界值须与分离点增益比较定区间
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 本卷考过只代一个ω就下结论,漏掉另一组交点
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
本卷考法
  • 由稳定且欠阻尼条件求根轨迹增益与开环增益范围
本卷实例
  • 关键一步:稳定要求根轨迹增益大于3,欠阻尼要求有共轭复根
  • 中间结果:根轨迹增益介于3与9之间,再按定义换成开环增益
  • 卡点:根轨迹增益与开环增益差一个比例,须核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由稳定且欠阻尼条件求根轨迹增益与开环增益范围
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 本卷考过把等阻尼线画成垂直线,忽略零点作用
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式

五由截止频率要求设计串联超前校正20 分#

思路
  • 先画未校正系统对数幅频求截止频率与相角裕度,判断需超前校正;令最大超前角频率等于目标截止频率,由幅频条件求校正装置的转折频率并验算。
本卷考法
  • 绘制G0(s)=6.5/[s(s+1)(0.05s+1)]的对数幅频渐近线
本卷实例
  • 关键一步:按转折频率1与20分段叠加各段斜率
  • 中间结果:未校正截止频率约2.55rad/s
  • 卡点:无图时需自画Bode草图并核对转折频率
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制G0(s)=6.5/[s(s+1)(0.05s+1)]的对数幅频渐近线
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 本卷考过逐段改斜率时忘记累加,低频段高度漏掉型别项
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 由相角裕度判断是否需要超前校正
本卷实例
  • 关键一步:由幅值等于1求ωc并计算相角裕度
  • 中间结果:原系统裕度偏低,需引入超前校正
  • 卡点:校正后须回验新的ωc与γ是否达标
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过由相角裕度判断是否需要超前校正
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 本卷考过把截止频率与相角穿越频率用反
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 按目标截止频率4.0rad/s设计串联超前校正装置
本卷实例
  • 关键一步:由最大超前角频率处的幅频关系求参数a
  • 中间结果:再由ωm关系求两个转折频率,写出校正装置
  • 卡点:校正装置须验证对原系统低频增益无影响
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过按目标截止频率4.0rad/s设计串联超前校正装置
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 本卷考过求补偿角时忽略截止频率变化带来的相角损失
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

六采样系统稳态误差与K值选择(原卷有图)20 分#

思路
  • 求ZOH与含延迟连续部分的开环脉冲传函G(z),用w变换列劳斯表求稳定域,再由r(t)=2+t的稳态误差要求求K,最后判断K是否存在。
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求ZOH串联含延迟G0(s)=Ke^(-0.5s)/s的开环脉冲传函
本卷实例
  • 关键一步:把e的负0.5s按T=0.25写成z的负幂再查表
  • 中间结果:所得G(z)为含增益K与z幂的有理式
  • 卡点:采样系统结构以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求ZOH串联含延迟G0(s)=Ke^(-0.5s)/s的开环脉冲传函
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 本卷考过把无采样开关隔开的连续环节直接相乘,漏掉延迟对应的z幂
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 用w变换与劳斯判据求使离散系统稳定的K范围
本卷实例
  • 关键一步:令z等于(ω+1)/(ω-1)代入闭环特征方程
  • 中间结果:列劳斯表后由首列全正解得K的上界
  • 卡点:w变换后须逐项核对首列符号
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过用w变换与劳斯判据求使离散系统稳定的K范围
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于1
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式
离散系统的稳态误差 离散控制系统
本卷考法
  • 由r(t)=2+t的稳态误差小于0.1反求K
本卷实例
  • 关键一步:按z域终值定理求斜坡输入的稳态误差
  • 中间结果:稳态误差与K成反比,要求K大于10
  • 卡点:与稳定域取交集后无解,须如实说明
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
  • 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
  • 用终值定理求稳态误差,前提是系统稳定
  • 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
  • 求误差脉冲传递函数
  • 数出 z=1 处极点重数确定型别
  • 查表或用终值定理求稳态误差
  • 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
  • 本卷考过由r(t)=2+t的稳态误差小于0.1反求K
  • 求离散系统在典型输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
  • 本卷考过直接用s域静态误差系数公式处理离散系统
  • 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
  • 未判稳就用终值定理
公式

七描述函数法分析自激振荡(原卷有图)20 分#

思路
  • 由-1/N(X)与G(jω)曲线交点判自振存在性,再查数据表找同时满足幅值与相角条件的点,读出自振振幅与频率。
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 由负倒描述函数与G(jω)曲线位置判自振存在性
本卷实例
  • 关键一步:在同一复平面画-1/N(X)与G(jω)曲线找交点
  • 中间结果:交点处对应稳定的自持振荡
  • 卡点:两条曲线以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过由负倒描述函数与G(jω)曲线位置判自振存在性
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 本卷考过把交点频率当成截止频率,未标A的增大方向
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 查数据表确定自振振幅与频率
本卷实例
  • 关键一步:在表中找幅值为1且相角相等的点
  • 中间结果:交点相角约-160°,据此读出振幅与频率
  • 卡点:原始数据表须回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过查数据表确定自振振幅与频率
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 本卷考过只满足幅值条件就取点,忽略相角须同时相等
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式

八由结构图列状态方程并判能控能观(原卷有图)25 分#

思路
  • 由图6的两个积分器结构列状态方程与输出方程,分别构造能控、能观矩阵判定秩,再由det(sI-A)求系统极点。
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由图6列写以x1、x2为状态变量的状态方程与输出方程
本卷实例
  • 关键一步:按积分器输入输出关系写x1'=x2、x2'=u
  • 中间结果:A为二阶幂零阵,B取(0,1),C为(K1,K2)
  • 卡点:状态变量结构以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由图6列写以x1、x2为状态变量的状态方程与输出方程
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配,输出方程漏项
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判系统能控性与能观性,并求使能观成立的条件
本卷实例
  • 关键一步:分别构造[B AB]与[C;CA]并求秩
  • 中间结果:能控恒成立,能观要求K1不等于零
  • 卡点:参数取值会使能观性矩阵降秩
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判系统能控性与能观性,并求使能观成立的条件
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过只算到A的n-2次乘B就下结论,判据矩阵构造混淆
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 由det(sI-A)求系统的极点
本卷实例
  • 关键一步:令特征行列式为零解特征方程
  • 中间结果:特征方程有两重原点根,系统极点为两重0
  • 卡点:零点极点对消会改变极点的结论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由det(sI-A)求系统的极点
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 本卷考过漏掉直接传递项D,或把特征值直接当传函极点
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式

九状态反馈极点配置20 分#

思路
  • 由G(s)=1/[s(s+4)(s+8)]写能控标准型,用目标极点-2、-4、-7构造期望特征多项式,与实际特征多项式比较系数求状态反馈阵。
本卷考法
  • 由G(s)=1/[s(s+4)(s+8)]写能控标准型
本卷实例
  • 关键一步:先展开分母为s³+12s²+32s再写友矩阵
  • 中间结果:A为三阶友阵,B取(0,0,1),C取(1,0,0)
  • 卡点:能控标准型与传递函数须一一对应
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由G(s)=1/[s(s+4)(s+8)]写能控标准型
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 本卷考过友矩阵系数符号写反,分母展开时漏项
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈把闭环极点配置到-2、-4、-7
本卷实例
  • 关键一步:由期望极点展开期望特征多项式
  • 中间结果:与实际特征多项式比较系数解反馈阵K
  • 卡点:反馈后特征方程须回代验证
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈把闭环极点配置到-2、-4、-7
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 本卷考过未验证能控性就直接配置,比较系数时符号写反
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式