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兰州理工大学 835 自动控制原理 2022 年真题思维导图

强势双非共 9 题

难度:中等 9题:人工液位系统开环闭环、含参数β反馈的稳定与性能、根轨迹与阻尼比反求、参数T对相角裕度影响、滞后校正设计、按误差与裕度设计校正、离散最小拍、状态方程时间响应、能控能观与稳定性

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1人工液位控制系统(开环闭环与方框图)#

思路
  • 由图判断人工阀门控制的开环或闭环性质,画方框图,再用装置替代人构成自动液位控制并指认输入输出
本卷考法
  • 判断人工液位控制系统是开环还是闭环并画方框图
本卷实例
  • 关键一步:看有无反馈:仪表显示高度供操作员比较即构成闭环
  • 中间结果:人眼与手分别替代比较环节与执行环节
  • 卡点:题面配原卷系统示意图,元件接法需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过判断人工液位控制系统是开环还是闭环并画方框图
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 用控制器替代人工并指认输入量与输出量
本卷实例
  • 关键一步:用液位变送器与调节器替代人眼和手构成闭环
  • 中间结果:由液位偏差驱动调节阀改变进液量
  • 卡点:被控量与操纵量勿写反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过用控制器替代人工并指认输入量与输出量
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

2含参数β反馈系统的稳定与性能分析#

思路
  • 由结构图求闭环传函,分析β对稳定性、阶跃动态性能与斜坡稳态误差的影响
本卷考法
  • 用梅森公式求含β反馈的闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:找独立回路与前向通路,写特征式与余子式
  • 中间结果:闭环特征式为二阶并含β相关一次项
  • 卡点:两回路是否接触要先判断再写不接触乘积
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
  • 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
  • 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
  • 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
  • 由结构图改画信号流图,标出各节点
  • 找出全部单独回路,求特征式 Δ
  • 找出全部前向通路 P_k
  • 对每条通路求余子式 Δ_k
  • 代入公式求总传输
通用考法
  • 本卷考过用梅森公式求含β反馈的闭环传递函数
  • 由信号流图求 C(s)/R(s)
  • 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
  • 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
  • 不接触回路找漏或重复计数
  • 余子式中未剔除与通路接触的回路
  • 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用劳斯判据分析β对系统稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:列劳斯表看第一列符号判断稳定条件
  • 中间结果:β为零时特征根为共轭虚根,处于临界
  • 卡点:β为零时劳斯表首列出现0,需单独讨论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过用劳斯判据分析β对系统稳定性的影响
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 分析β对阶跃响应动态性能的影响
本卷实例
  • 关键一步:把闭环特征式比对标准二阶式读出ξ与ωn
  • 中间结果:β增大时ξ增大而ωn不变
  • 卡点:超调与调节时间随ξ的变化方向勿弄反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过分析β对阶跃响应动态性能的影响
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 分析β对斜坡响应稳态误差的影响
本卷实例
  • 关键一步:判稳后用终值定理求斜坡误差
  • 中间结果:斜坡误差与β成正比、与开环增益成反比
  • 卡点:不同类型输入要用对应的静态误差系数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过分析β对斜坡响应稳态误差的影响
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

3根轨迹绘制与阻尼比反求参数15 分#

思路
  • 对G(s)=K(s+10)除以s(s+5)画根轨迹,求ξ为0.707时的K与闭环根,并分析K对性能影响
本卷考法
  • 按基本法则绘制给定开环传函的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:列出开环零极点,定实轴段与渐近线
  • 中间结果:由分离、汇合条件求根轨迹与实轴交点
  • 卡点:本例根轨迹为圆,需由闭环复根条件验证
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按基本法则绘制给定开环传函的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 由阻尼比要求反求增益K与闭环极点
本卷实例
  • 关键一步:把闭环特征式与标准二阶式比对ξ与ωn关系
  • 中间结果:联立解得满足ξ的增益与闭环特征根
  • 卡点:最小阻尼比对应根轨迹的切线点,需求切点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由阻尼比要求反求增益K与闭环极点
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由闭环特征根判断系统阻尼状态
本卷实例
  • 关键一步:按特征根实部与虚部判断过阻尼或欠阻尼
  • 中间结果:分离点与汇合点对应临界增益取值
  • 卡点:区间端点处的阻尼状态要按根类型判断
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征根判断系统阻尼状态
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式

4参数T对相角裕度的影响#

思路
  • 对两种开环传函分别求截止频率与相角裕度,讨论T变化对相角裕度的影响
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求截止频率并讨论参数T对相角裕度的影响
本卷实例
  • 关键一步:由幅值为1解出截止频率再代入相角求γ
  • 中间结果:两种结构中γ与T的单调关系相反
  • 卡点:题面两个传函被OCR吞掉,需回原卷核对题面
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求截止频率并讨论参数T对相角裕度的影响
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
本卷考法
  • 写出含参数T的幅频与相频表达式
本卷实例
  • 关键一步:把s=jω代入传函分别取幅值与相角
  • 中间结果:惯性环节相角为负而微分环节相角为正
  • 卡点:积分环节恒带负90度相角,勿漏
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过写出含参数T的幅频与相频表达式
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

5滞后串联校正装置设计#

思路
  • 按K不小于5、γ不小于40度、ωc不小于0.5,设计滞后串联校正装置
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 设计串联滞后校正装置满足相角裕度与截止频率
本卷实例
  • 关键一步:由未校正相角裕度与补偿角定新的ωc
  • 中间结果:用滞后网络在低频段提供增益满足K要求
  • 卡点:滞后网络分子转折频率应低于分母,勿写反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过设计串联滞后校正装置满足相角裕度与截止频率
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算未校正与校正后系统的相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:用抓大放小分段求ωc再算相角裕度
  • 中间结果:校正后相角裕度要回代校验是否达标
  • 卡点:分段近似频段与实际ωc不符时要换段重算
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算未校正与校正后系统的相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

6按稳态误差与裕度设计串联校正#

思路
  • 对G0=4K除以s(s+2),按ess为0.05、γ不小于45度、h不小于10dB设计串联校正
本卷考法
  • 由斜坡稳态误差要求反求开环增益
本卷实例
  • 关键一步:先用速度误差系数把误差要求化成增益
  • 中间结果:得满足精度要求的开环增益取值
  • 卡点:先判稳再用终值定理
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过由斜坡稳态误差要求反求开环增益
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 用滞后校正同时满足相角裕度与幅值裕度
本卷实例
  • 关键一步:由γ要求定新截止频率再由幅值条件定衰减比
  • 中间结果:由转折频率关系定出滞后网络参数
  • 卡点:幅值裕度与相角裕度要同时校验
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过用滞后校正同时满足相角裕度与幅值裕度
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 校验校正后相角裕度与幅值裕度
本卷实例
  • 关键一步:分别求ωc处相角裕度与ωg处幅值裕度
  • 中间结果:相频不过负180度时幅值裕度趋于无穷
  • 卡点:ωc与ωg两个频率勿互换
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过校验校正后相角裕度与幅值裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

7离散系统最小拍控制器设计15 分#

思路
  • ZOH与一阶对象、单位阶跃输入下,设计最小拍控制器D(z)
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求零阶保持器串联一阶对象的脉冲传函
本卷实例
  • 关键一步:用(1-z负一次)乘连续部分再查z变换表
  • 中间结果:脉冲传函为一阶有理式,极点为e的负T次方
  • 卡点:零阶保持器须计入,勿直接对连续传函取z变换
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求零阶保持器串联一阶对象的脉冲传函
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
本卷考法
  • 按单位阶跃输入设计最少拍数字控制器
本卷实例
  • 关键一步:由输入定闭环误差脉冲传函再求闭环传函
  • 中间结果:按D(z)等于Φ(z)除以G(z)Φe(z)化简
  • 卡点:需验证D(z)物理可实现且输出拍数正确
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
  • 设计需要满足可实现性与稳定性约束
  • 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
  • 最少拍设计通常导致很大的控制量,需加限制
步骤
  • 确定输入类型及对应的误差传函形式
  • 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
  • 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
  • 检验可实现性、稳定性与控制量大小
通用考法
  • 本卷考过按单位阶跃输入设计最少拍数字控制器
  • 设计最少拍数字控制器
  • 比较不同输入类型下的最少拍数
  • 分析最少拍系统存在的问题
常见易错
  • 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
  • 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件
公式

8状态方程的时间响应#

思路
  • 给A、B与初值,求单位阶跃输入下状态响应x(t)
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 求状态转移矩阵与单位阶跃输入下的状态响应
本卷实例
  • 关键一步:先求(sI-A)负一次再拉氏反变换得转移矩阵
  • 中间结果:由转移矩阵乘初值加卷积积分得状态响应
  • 卡点:题面B阵与初值OCR错乱,需回原卷核对题面
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过求状态转移矩阵与单位阶跃输入下的状态响应
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式

9能控能观条件与稳定性分析#

思路
  • 对含a、b、c的状态空间描述,求能控能观条件,判渐近稳定与BIBO稳定条件
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 求使系统既能控又能观时参数应满足的条件
本卷实例
  • 关键一步:分别构造能控与能观矩阵并令行列式非零
  • 中间结果:能控能观条件由两矩阵行列式非零给出
  • 卡点:能控与能观两个矩阵构造勿混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过求使系统既能控又能观时参数应满足的条件
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 判断系统是否渐近稳定
本卷实例
  • 关键一步:求特征值并看实部符号
  • 中间结果:存在正实部特征值时不渐近稳定
  • 卡点:渐近稳定要求特征值实部全为负
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过判断系统是否渐近稳定
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
本卷考法
  • 由传递函数判BIBO稳定的条件
本卷实例
  • 关键一步:求C(sI-A)负一次B并看零极点对消
  • 中间结果:分子零点可对消不稳定极点而BIBO稳定
  • 卡点:内部稳定性与BIBO稳定性勿等同
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由传递函数判BIBO稳定的条件
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式