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兰州理工大学 835 自动控制原理 2018 年真题思维导图

强势双非共 9 题合计 150 分

难度:中等 全卷九个大题共一百五十分,覆盖面宽:温度控制系统组成与方框图、双输入传函、由阶跃响应反求二阶参数、多参数根轨迹、串联超前校正、离散最小拍、描述函数自振、状态方程能控能观、状态反馈极点配置。

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一恒温箱温度控制系统(组成与方框图)10 分#

思路
  • 由温度控制系统图识别被控对象与反馈通路,用偏差调节过程说明恒温原理,再指认被控对象与被控量。
本卷考法
  • 据题一图指出恒温箱系统的被控对象与被控量
  • 画出闭环方框图并说明恒温调节过程
本卷实例
  • 关键一步:沿热电偶反馈电压与给定电压比较得偏差,勾出闭环方框图
  • 中间结果:偏差经放大器驱动伺服电机,经减速器调压器改变炉温
  • 卡点:恒温箱系统原理以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过据题一图指出恒温箱系统的被控对象与被控量
  • 本卷考过画出闭环方框图并说明恒温调节过程
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 本卷考过把加热电阻丝当成被控对象,或把调压器电压当成被控量
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指认该温度控制系统的被控量、操纵量与主要扰动
本卷实例
  • 关键一步:按过程控制组成把电炉、热电偶、放大器、电机、调压器逐一归位
  • 中间结果:被控对象为电炉、被控量为炉温,执行机构含电机与调压器
  • 卡点:系统组成以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指认该温度控制系统的被控量、操纵量与主要扰动
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 本卷考过把操纵量调压器电压与扰动量炉门散热混为一谈
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

二方框图求C(s)/R(s)与C(s)/N(s)(原卷有图)10 分#

思路
  • 用梅森增益公式分别对参考输入与扰动输入求传函,注意扰动通路前向增益的符号与回路接触关系。
本卷考法
  • 由题二图求扰动N(s)引起的C(s)/N(s)
本卷实例
  • 关键一步:令R(s)为零,只保留N(s)到C(s)的前向通路
  • 中间结果:扰动通路与唯一回路相接触,余子式取1
  • 卡点:信号流图以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 线性系统可用叠加原理,每次只保留一个输入
  • 求扰动的传递函数时令参考输入为零
  • 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加
步骤
  • 令 R(s)=0,求扰动到输出的传递函数
  • 令 N(s)=0,求输入到输出的传递函数
  • 按题目要求叠加或单独分析
通用考法
  • 本卷考过由题二图求扰动N(s)引起的C(s)/N(s)
  • 求扰动引起的输出或误差
  • 分析满足扰动不变性的补偿条件
常见易错
  • 本卷考过求扰动传函时未把参考输入置零
  • 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 用梅森增益公式求C(s)/R(s)与C(s)/N(s)
本卷实例
  • 关键一步:找出回路L1=-G2G3,分别写两条前向通路的余子式
  • 中间结果:特征余子式Δ=1+G2G3,两个传函分母相同
  • 卡点:通路与回路关系以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
  • 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
  • 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
  • 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
  • 由结构图改画信号流图,标出各节点
  • 找出全部单独回路,求特征式 Δ
  • 找出全部前向通路 P_k
  • 对每条通路求余子式 Δ_k
  • 代入公式求总传输
通用考法
  • 本卷考过用梅森增益公式求C(s)/R(s)与C(s)/N(s)
  • 由信号流图求 C(s)/R(s)
  • 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
  • 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
  • 本卷考过不接触回路漏计或余子式取错
  • 不接触回路找漏或重复计数
  • 余子式中未剔除与通路接触的回路
  • 把前向通路的增益写成了回路增益
公式

三由结构图与阶跃响应反求K1、K2、T(原卷有图)13 分#

思路
  • 先由图3(a)化简求闭环传函并化为二阶标准形式,再由图3(b)的超调量与峰值时间反求ξ、ωn,最后比较系数解出三参数。
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由图3(a)内环反馈化简求闭环传函C(s)/R(s)
本卷实例
  • 关键一步:先化内环K2/[s(Ts+1)],再与K1串成闭环
  • 中间结果:闭环传函为K1K2与(Ts²+s+K2)之比
  • 卡点:结构图以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由图3(a)内环反馈化简求闭环传函C(s)/R(s)
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 本卷考过把负反馈分母写成1-GH,或化内环时把外环信号当常数
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 把闭环传函化为二阶标准形式并与响应图对参数
本卷实例
  • 关键一步:把分母化为s²+(1/T)s+K2/T,与标准式系数对应
  • 中间结果:ωn²=K2/T,2ξωn=1/T
  • 卡点:阶跃响应曲线以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过把闭环传函化为二阶标准形式并与响应图对参数
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 本卷考过化标准形式时未把s平方项系数归一化
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由图3(b)阶跃响应的超调量与峰值时间反求ξ、ωn
本卷实例
  • 关键一步:从曲线读超调量约两成、峰值时间约0.6s
  • 中间结果:由σ%与tp两个公式分别解出ξ与ωn
  • 卡点:曲线峰值与稳态值需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由图3(b)阶跃响应的超调量与峰值时间反求ξ、ωn
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 本卷考过峰值时间公式里的π写成2π,或超调量漏乘100%
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由ξ、ωn反求K1、K2、T三个参数
本卷实例
  • 关键一步:把ξ、ωn代入两个关系式先解出T与K2
  • 中间结果:再由稳态输出c(∞)=5定出增益K1
  • 卡点:稳态输出须从响应图读取,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量要求给出 ξ 的下界,调节时间要求给出 ξωn 的下界
  • 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
  • 指标之间往往相互制约,需权衡取舍
步骤
  • 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
  • 在参数平面上画出各不等式的可行域
  • 取交集并选取合适的参数值
  • 回代验证全部指标是否满足
通用考法
  • 本卷考过由ξ、ωn反求K1、K2、T三个参数
  • 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
  • 求满足指标要求的参数取值范围
  • 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
  • 本卷考过只满足超调量就下结论,未用峰值时间交叉验证
  • 只满足单项指标就下结论,未做交叉验证
  • 把 ξ 的可行域方向取反
公式

四关于K和T的多参数根轨迹12 分#

思路
  • 把含两个参数的开环传函按参数分组,先讨论辅助方程极点随K的分布,再对固定K作以T为变量的广义根轨迹。
本卷考法
  • 以T为参数绘制G0(s)=K(Ts+1)/[s(s+1)(s+2)]的广义根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:把特征方程按K与T分组,构造只含T的等效开环
  • 中间结果:等效开环为KT乘s与(s³+3s²+2s+K)之比
  • 卡点:需先讨论辅助方程极点随K的分布再作轨迹
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
  • 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
  • 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
  • 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
  • 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
  • 按常规根轨迹法则绘制
  • 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
  • 本卷考过以T为参数绘制G0(s)=K(Ts+1)/[s(s+1)(s+2)]的广义根轨迹
  • 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
  • 绘制正反馈系统的零度根轨迹
  • 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
  • 本卷考过整理等效开环时未把参数完整提到分子
  • 整理时没有把参数完整地提到分子位置
  • 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
本卷考法
  • 由根之和定理讨论辅助方程三极点随K的位置
本卷实例
  • 关键一步:由根之和恒为-3判断三极点分布随K的变化
  • 中间结果:K小于0.38时三实极点,反之一对复极点
  • 卡点:根轨迹草图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过由根之和定理讨论辅助方程三极点随K的位置
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 本卷考过实轴根轨迹段判据里的零极点个数算错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求等效根轨迹的分离点
本卷实例
  • 关键一步:对辅助开环列1/d+1/(d+1)+1/(d+2)=0
  • 中间结果:分离点约为-0.42
  • 卡点:另一种情形存在两个分离点,需按K分段讨论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求等效根轨迹的分离点
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 本卷考过解出分离点后不筛选,保留了不在轨迹上的根
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式

五由截止频率要求设计串联超前校正20 分#

思路
  • 先画未校正系统对数幅频求截止频率与相角裕度,判断需超前校正;令最大超前角频率等于目标截止频率,由幅频条件求a、T并验算。
本卷考法
  • 绘制G0(s)=6.5/[s(s+1)(0.05s+1)]的对数幅频渐近线
本卷实例
  • 关键一步:按转折频率1与20分段叠加各段斜率
  • 中间结果:未校正截止频率约2.55rad/s
  • 卡点:无图时需自画Bode草图并核对转折频率
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制G0(s)=6.5/[s(s+1)(0.05s+1)]的对数幅频渐近线
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 本卷考过逐段改斜率时忘记累加,低频段高度漏掉型别项
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 由相角裕度判断是否需要超前校正
本卷实例
  • 关键一步:由幅值等于1求ωc并计算相角裕度
  • 中间结果:原系统裕度约14°,低于要求需校正
  • 卡点:校正后须回验新的ωc与γ是否达标
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过由相角裕度判断是否需要超前校正
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 本卷考过把截止频率与相角穿越频率用反
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 按目标截止频率4.0rad/s设计串联超前校正装置
本卷实例
  • 关键一步:令ωm等于4rad/s,由-10lga=20lgA(4)求a
  • 中间结果:校正装置形如(1+aTs)/(1+Ts),取T=1/(ωm√a)
  • 卡点:a与T的取值需兼顾可实现性并回代验算
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过按目标截止频率4.0rad/s设计串联超前校正装置
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 本卷考过求补偿角时忽略截止频率变化带来的相角损失
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

六离散系统最小拍控制器设计(原卷有图)20 分#

思路
  • 先求ZOH与连续部分的广义脉冲传函G(z),按单位斜坡输入取误差传函Φe(z)=(1-z⁻¹)²,再由D(z)=Φ(z)/[G(z)Φe(z)]设计。
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求ZOH串联G0(s)=4/[s(0.5s+1)]的开环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先把连续部分部分分式分解,再查z变换表
  • 中间结果:所得G(z)为含T的有理分式,代入T=0.5
  • 卡点:采样系统结构以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求ZOH串联G0(s)=4/[s(0.5s+1)]的开环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 本卷考过把无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
本卷考法
  • 按单位斜坡输入设计最小拍控制器D(z)
本卷实例
  • 关键一步:按输入类型取Φe(z)=(1-z⁻¹)²
  • 中间结果:D(z)=Φ(z)/[G(z)Φe(z)],含z⁻¹补偿因子
  • 卡点:需检查G(z)零极点是否需在Φ中保留
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
  • 设计需要满足可实现性与稳定性约束
  • 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
  • 最少拍设计通常导致很大的控制量,需加限制
步骤
  • 确定输入类型及对应的误差传函形式
  • 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
  • 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
  • 检验可实现性、稳定性与控制量大小
通用考法
  • 本卷考过按单位斜坡输入设计最小拍控制器D(z)
  • 设计最少拍数字控制器
  • 比较不同输入类型下的最少拍数
  • 分析最少拍系统存在的问题
常见易错
  • 本卷考过忽略D(z)必须是物理可实现的因果系统
  • 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
  • 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件
公式

七描述函数法分析自持振荡(原卷有图)20 分#

思路
  • 由非线性特性求负倒描述函数-1/N(X),再画线性部分G(jω)的Nyquist曲线,用两曲线交点求自振的K范围、频率与幅值。
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 由N(X)=(X+6)/(X+2)求负倒描述函数-1/N(X)
本卷实例
  • 关键一步:取X趋于0与无穷两个极限定-1/N曲线起终点
  • 中间结果:-1/N(X)起点约负三分之一,向负1趋近
  • 卡点:非线性特性式需核对X的取值范围
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过由N(X)=(X+6)/(X+2)求负倒描述函数-1/N(X)
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 本卷考过画N(A)而不是-1/N(A),或未标A的增大方向
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 由G(jω)=K/[jω(jω+1)²]与-1/N(X)交点判自振
本卷实例
  • 关键一步:令φ(ω)=-180°解得ω=1rad/s,得A(1)=0.5K
  • 中间结果:由临界点定出稳定区与自振区的K区间
  • 卡点:Nyquist曲线以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过由G(jω)=K/[jω(jω+1)²]与-1/N(X)交点判自振
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 本卷考过把交点频率当成截止频率,或漏判包围关系
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用Nyquist判据判断自振点附近的稳定性
本卷实例
  • 关键一步:按-1/N曲线是否被G(jω)包围判断振幅增减
  • 中间结果:两曲线交点对应稳定的自持振荡
  • 卡点:须先数开环右半平面极点个数P
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过用Nyquist判据判断自振点附近的稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 本卷考过含积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式

八由结构图列状态方程并判能控能观(原卷有图)25 分#

思路
  • 由图6两个积分器结构列状态方程与输出方程,分别构造能控、能观矩阵判定秩,再由传函或det(sI-A)求极点。
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由图6列写以x1、x2为状态变量的状态方程与输出方程
本卷实例
  • 关键一步:按积分器输入输出关系写x1'=x2、x2'=u
  • 中间结果:A为二阶幂零阵,B取(0,1),C为(K1,K2)
  • 卡点:状态变量结构以图给出,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由图6列写以x1、x2为状态变量的状态方程与输出方程
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配,输出方程漏项
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判系统能控性与能观性,并求使能观成立的条件
本卷实例
  • 关键一步:分别构造[B AB]与[C;CA]并求秩
  • 中间结果:能控恒成立,能观要求K1不等于零
  • 卡点:参数取值会使能观性矩阵降秩
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判系统能控性与能观性,并求使能观成立的条件
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过只算到A的n-2次乘B就下结论,判据矩阵构造混淆
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 由系统传函或det(sI-A)求系统极点
本卷实例
  • 关键一步:由(sI-A)的逆求传函并取其分母
  • 中间结果:传函为(K2s+K1)与s²之比,极点为两重原点
  • 卡点:零点极点对消会改变极点的结论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由系统传函或det(sI-A)求系统极点
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 本卷考过漏掉直接传递项D,或把特征值直接当传函极点
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式

九状态反馈极点配置并判能观20 分#

思路
  • 由G(s)写能控标准型,以目标极点构造期望特征多项式,与实际det(sI-A+bK)比较系数求K,再算能观性矩阵判断反馈后能否观。
本卷考法
  • 由G(s)=(s+1)/[s²(s+3)]写能控标准型
本卷实例
  • 关键一步:按分母系数写友矩阵并确定输入矩阵
  • 中间结果:A为三阶友阵,C含(1,1,0)形式的分子系数
  • 卡点:分子含s+1零点,实现须与标准型一致
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由G(s)=(s+1)/[s²(s+3)]写能控标准型
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 本卷考过友矩阵系数符号写反,输出矩阵漏掉分子系数
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈K把闭环极点配置到-2(二重)与-1
本卷实例
  • 关键一步:由期望极点写(s+2)(s+2)(s+1)并展开
  • 中间结果:与实际特征多项式比较系数解出K
  • 卡点:能控标准型可直接配置,须核对K的符号
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈K把闭环极点配置到-2(二重)与-1
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置,比较系数时符号写反
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判断引入状态反馈后闭环系统是否还能观
本卷实例
  • 关键一步:对A-bK重新构造能观性矩阵并求秩
  • 中间结果:能观性矩阵的秩小于3,系统不完全能观
  • 卡点:状态反馈改变A,能观性必须重算
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判断引入状态反馈后闭环系统是否还能观
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过以为状态反馈不改变能观性而漏算
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式