上海交通大学 817 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

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难度：中等偏难　八道大题：罐内气压系统建模、奈氏图判稳、信号流图与梅森公式、误差传递函数与扰动误差、参数根轨迹与二阶性能、Bode 图裕度与平移、串联校正与 PD 可行性、状态空间与能控能观标准型；经典控制与现代控制各占一半，含图题多。

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一一、系统建模（罐内气压）#

思路

• 由给定气压控制装置画系统框图，指认控制器、执行器、检测器等环节与各类信号，说明闭环调压的工作过程

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 画气压控制系统框图并指认控制器、执行器等环节

本卷实例

• 关键一步：按给定装置找出被控对象、执行器与反馈检测环节
• 中间结果：把给定气压、罐内气压与误差信号按信息流向连成闭环
• 卡点：装置以图给出，环节与信号需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过画气压控制系统框图并指认控制器、执行器等环节
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 本卷考过把被控量与操纵量搞反，只画框图不指认环节
• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

二二、奈氏图与稳定 K 范围#

思路

• 画开环幅相曲线，求与负实轴的交点，由奈氏判据划分使闭环稳定的增益范围并数不稳定极点数

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线与包围圈数判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：令虚部为零求曲线与负实轴交点对应的频率
• 中间结果：交点处实部绝对值随 K 变化，据此分临界情况
• 卡点：曲线走向以图给出，具体穿越点需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线与包围圈数判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过包围圈数正负号定义搞反、未先数 P
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 由奈氏判据求使闭环稳定的开环增益 K 范围

本卷实例

• 关键一步：比较曲线与 −1 点的相对位置划分 K 的取值范围
• 中间结果：把 K 的区间与不稳定的右半平面极点数对应起来
• 卡点：K 取临界值时系统临界稳定，要单独说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过由奈氏判据求使闭环稳定的开环增益 K 范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只看交点大小就下结论，漏掉曲线起点趋势
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

三三、信号流图与梅森公式#

思路

• 由结构图画信号流图，数各条回路与互不接触回路，分别求输入到输出与扰动到输出的传递函数

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式求信号流图的 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先数各条单回路并找出互不接触的回路组合
• 中间结果：特征式等于一减各回路增益再加不接触回路乘积
• 卡点：回路构成以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式求信号流图的 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过不接触回路找漏或重复，余子式未剔除接触回路
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 分别求参考输入与扰动作用下的传递函数

本卷实例

• 关键一步：令扰动为零先求输入到输出的传递函数
• 中间结果：再令参考输入为零求扰动到输出的传递函数
• 卡点：扰动接入位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过分别求参考输入与扰动作用下的传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 本卷考过两路传递函数混在一起算，忘记令另一输入为零
• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

四四、误差传递函数与扰动误差#

思路

• 按误差定义写误差传递函数，由阶跃误差要求反求 K1，再由扰动阶跃下零误差条件求 K2

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 按误差等于参考减输出写出误差传递函数

本卷实例

• 关键一步：由结构图写出误差对参考输入的传递函数
• 中间结果：把误差传函整理成 s 的有理分式再取终值
• 卡点：误差定义取 E=R−C 还是 E=R−B 需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过按误差等于参考减输出写出误差传递函数
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 本卷考过非单位反馈时两种误差定义混用，结果差一个环节
• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由阶跃输入下的稳态误差要求反求开环增益 K1

本卷实例

• 关键一步：用终值定理把稳态误差化成增益的函数
• 中间结果：解出满足误差上限的 K1 取值条件
• 卡点：K1 的取值还要同时满足劳斯判据判出的稳定条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由阶跃输入下的稳态误差要求反求开环增益 K1
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过未判稳就使用终值定理
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 由扰动阶跃下零稳态误差条件反求补偿增益 K2

本卷实例

• 关键一步：写出误差对扰动 N(s) 的传递函数
• 中间结果：令扰动阶跃下的终值为零得 K2 的条件
• 卡点：扰动接入点在图中何处需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过由扰动阶跃下零稳态误差条件反求补偿增益 K2
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 本卷考过把扰动误差与输入误差相加时漏掉其中一个分量
• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 列劳斯表求使闭环稳定的误差增益范围

本卷实例

• 关键一步：由误差传函分母写出二阶闭环特征方程
• 中间结果：列劳斯表并令首列元素大于零得参数下界
• 卡点：稳定条件要与稳态误差要求联立取值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过列劳斯表求使闭环稳定的误差增益范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 本卷考过系数全为正只是必要条件，要列完整劳斯表
• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

五五、参数根轨迹与二阶性能#

思路

• a=0 时按二阶系统算动态指标；a≠0 时以 a 为参变量画根轨迹，由分离点定临界阻尼并分析 a 变化的影响

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环传函求二阶系统的阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：先由闭环特征方程对应系数解出阻尼比与自然频率
• 中间结果：代入调节时间与超调量公式得到两项指标
• 卡点：超调量公式中的百分之百不要漏乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由闭环传函求二阶系统的阻尼比与自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 本卷考过调节时间两种误差带系数用混
• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以 a 为参变量整理等效开环并绘制参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程分离出含 a 的项构造等效开环
• 中间结果：等效开环呈一个零点与一对共轭复数极点
• 卡点：参数根轨迹的相角条件仍是 180 度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以 a 为参变量整理等效开环并绘制参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 本卷考过整理时没有把参数完整提到分子位置
• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求参数根轨迹的分离点并判断解的取舍

本卷实例

• 关键一步：令等效开环的增益导数为零列分离点方程
• 中间结果：舍去不在负实轴段上的根，只留可用解
• 卡点：分离点对应两条根轨迹相汇后离开实轴

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求参数根轨迹的分离点并判断解的取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出根后不筛选，保留不在实轴段上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹的临界阻尼点反求参数 a 并分析其影响

本卷实例

• 关键一步：令根轨迹落在实轴重根处即得临界阻尼
• 中间结果：再把重根回代闭环特征方程解出参数 a
• 卡点：a 增大使阻尼比提高，超调下降而响应加快

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹的临界阻尼点反求参数 a 并分析其影响
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过把临界阻尼点误当成原点所在的起点
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

六六、Bode 图与稳定裕度#

思路

• 由对数幅频渐近线反求开环传函，算相角裕度与幅值裕度判稳；再讨论幅频曲线平移十倍频程后的裕度变化

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由低频段斜率与转折频率反求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段延长线过 0dB 定出开环增益
• 中间结果：再按各转折频率处斜率变化补上惯性环节
• 卡点：Bode 图以图给出，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由低频段斜率与转折频率反求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过延长线交点未折算型别就当成功率增益
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率处的相角裕度与穿越频率处的幅值裕度

本卷实例

• 关键一步：由幅值条件解截止频率后代入相频求相角裕度
• 中间结果：由相角等于 −180 度解穿越频率再算幅值裕度
• 卡点：增益裕度取倒数或换分贝时易把结论写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率处的相角裕度与穿越频率处的幅值裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 分析幅频特性平移十倍频程后裕度与性能的变化

本卷实例

• 关键一步：平移后截止频率随之放缩而相频曲线不变
• 中间结果：在相频不变的前提下比较平移前后两组裕度
• 卡点：原题问向左平移而答案段写右移，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过分析幅频特性平移十倍频程后裕度与性能的变化
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 本卷考过逐段改斜率时忘记累加而是替换
• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

七七、串联校正与 PD 可行性#

思路

• 由闭环传函写开环传函，按速度误差要求定增益，设计串联超前校正并校核相角裕度，最后讨论 PD 校正能否兼顾两项指标

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由速度误差系数要求反求满足精度所需开环增益

本卷实例

• 关键一步：由给定闭环传函反求等价的单位反馈开环传函
• 中间结果：用速度误差系数与误差上限联立定出增益下限
• 卡点：校正前要先按劳斯判据确认系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由速度误差系数要求反求满足精度所需开环增益
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 本卷考过把闭环传函直接当开环传函代入误差公式
• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 设计串联超前校正装置满足相角裕度要求

本卷实例

• 关键一步：由未校正系统相角裕度与指标之差定补偿角
• 中间结果：用最大超前角公式求 a 再定两个转折频率
• 卡点：超前校正低频增益为一，不改变系统型别

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过设计串联超前校正装置满足相角裕度要求
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 本卷考过计算补偿角时忽略截止频率变化带来的相角损失
• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 校核校正后系统截止频率处的相角裕度是否达标

本卷实例

• 关键一步：取最大超前角对应的频率为新截止频率
• 中间结果：在该频率处叠加校正装置的相角后校核裕度
• 卡点：校正前后 Bode 曲线以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过校核校正后系统截止频率处的相角裕度是否达标
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过校正后截止频率变了仍沿用原来的相角计算
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 分析 PD 校正能否同时满足稳态误差与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：由误差要求把比例增益与校正增益的乘积定下界
• 中间结果：再看该乘积增大对相角裕度是增大还是减小
• 卡点：微分项提供超前相角但对高频噪声敏感

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过分析 PD 校正能否同时满足稳态误差与相角裕度
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 本卷考过只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

八八、状态空间与能控能观标准型#

思路

• 由系统结构图列状态空间表达式，求传递函数并判能控能观，再写出能控标准型与能观标准型

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由系统结构图列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按每个积分器输出设一个状态变量并列写一阶方程
• 中间结果：由结构图直接读出状态矩阵与输入矩阵
• 卡点：结构图以图给出，连线与增益需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由系统结构图列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配，输出方程漏项
• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数 G(s)

本卷实例

• 关键一步：用 G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D 计算传递函数
• 中间结果：把矩阵求逆化为伴阵除以行列式再相乘
• 卡点：对角矩阵求逆后各通道相加要通分整理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 G(s)
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 本卷考过漏掉直接传递项 D 或矩阵求逆算错
• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能控性与能观性矩阵并判断秩

本卷实例

• 关键一步：分别算能控性矩阵与能观性矩阵并求秩
• 中间结果：两矩阵行列式非零即系统阶数满秩
• 卡点：二阶系统可直接看两个方阵的行列式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能控性与能观性矩阵并判断秩
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到 A 的 n−2 次幂就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写出能控标准型与能观标准型

本卷实例

• 关键一步：把传递函数分母系数按降幂填进友矩阵
• 中间结果：能控型取输入矩阵末元素为一，能观型取输出向量
• 卡点：能观标准型是能控标准型的转置对偶形式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写出能控标准型与能观标准型
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 本卷考过友矩阵中系数的符号写反
• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式