电子科技大学 839 控制原理 2022 年真题思维导图

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难度：中等　前六题打基础（建模、二阶、根轨迹、频域），后四题是离散与状态空间；第 5 题用正弦稳态反求参数

板块 考点 全部 ＋ － 适应

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1结构图化简与闭环传递函数#

思路

• 多回路先内后外逐层化简，注意交叉的比较点要先移动

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由结构图求输出 C(s)

本卷实例

• 关键一步：把结构图拆成前向通路与独立回路，再用梅森公式求 C(s)
• 中间结果：R 到 C 有两条前向通路，N 到 C 有一条
• 卡点：图 1 原图未随文解析，需回原卷核对支路编号与交叉点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由结构图求输出 C(s)
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

比较点与引出点的移动 结构图与方框图

本卷考法

• 化简含交叉比较点的结构图

本卷实例

• 关键一步：先判断比较点与引出点能否直接合并，不能合并再按移动规则换算
• 中间结果：移动前后各支路的变量关系必须保持一致
• 卡点：交叉点跨越环节时乘除方向易反，需回原卷核对图 1

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 移动的判据：移动前后各支路变量关系必须保持不变
• 比较点前移要除以所跨环节，后移要乘以所跨环节
• 引出点前移要乘以所跨环节，后移要除以所跨环节

步骤

• 确定要移动的点和跨越的环节
• 按“前移用除、后移用乘”的规则补上等效环节
• 检查移动后与原结构是否等价

通用考法

• 本卷考过化简含交叉比较点的结构图
• 化简含交叉比较点或引出点的结构图
• 判断某次移动是否正确

常见易错

• 本卷考过移动方向与乘除关系搞反
• 移动方向与乘除关系搞反
• 引出点与比较点的移动规则混用

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 多回路逐层化简

本卷实例

• 关键一步：从最内层回路开始逐层化简，每个内环先化成一个等效环节
• 中间结果：四个独立回路，两两互不接触项为零
• 卡点：哪些回路两两接触受图的连接方式影响，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过多回路逐层化简
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

2由响应曲线求开环传函#

思路

• 输入是 2·1(t)，读稳态值时要除以 2 才能得到直流增益；再由超调与峰值定 ξ、ωn

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由输出曲线判断阻尼状态并读 ξ

本卷实例

• 关键一步：由输出曲线超调量直接反算阻尼比，稳态值要先除以输入幅值 2
• 中间结果：输入是 2·1(t)，纵轴稳态值需折算成单位阶跃直流增益
• 卡点：曲线峰值与稳态值来自截图，需回原卷核对纵轴刻度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由输出曲线判断阻尼状态并读 ξ
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 本卷考过化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由阶跃响应曲线求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：稳态值定增益、超调定阻尼比、峰值时间定自然频率，三者联立
• 中间结果：开环传函与闭环传函共用同一组 ξ、ωn
• 卡点：输入幅值为 2，读稳态值时容易漏除这个 2

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由阶跃响应曲线求开环传递函数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 本卷考过把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由峰值时间反求 ωn

本卷实例

• 关键一步：用峰值时间公式把 tp 与 ωn、ξ 关联，ξ 已由超调量定出
• 中间结果：由 tp 和 ξ 反算出 ωn，再回代求开环增益
• 卡点：峰值点从响应曲线读取，刻度需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由峰值时间反求 ωn
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

3高阶系统极点与稳定域#

思路

• G1=10/(s+10)、G2=1/s² 串联，先写闭环特征方程；第 2 问已知一个极点为 -6，可用多项式除法降阶求其余极点

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使系统稳定的 Ts 取值范围

本卷实例

• 关键一步：先由结构图写闭环特征多项式，再令劳斯表首列全部同号
• 中间结果：特征式为 s³+10s²+10Ts·s+10
• 卡点：首列不等式只有 10Ts−1>0 这一条有效，别多写

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使系统稳定的 Ts 取值范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 本卷考过只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

零极点分布与响应模态 传递函数

本卷考法

• 已知一个闭环极点求其余极点

本卷实例

• 关键一步：已知一个闭环极点为 −6，用待定系数或多项式除法把三次式降成二次
• 中间结果：降阶后的二次因式两根即其余闭环极点
• 卡点：源文待定系数过程 OCR 乱码，需回原卷核对系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
• 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
• 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
• 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量

步骤

• 求特征方程得到全部闭环极点
• 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
• 找出主导极点对，近似为低阶系统
• 结合零点判断各模态权重大小

通用考法

• 本卷考过已知一个闭环极点求其余极点
• 由极点分布写出响应的大致形式
• 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
• 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统

常见易错

• 本卷考过只由极点判稳却忽略重极点/零点对消
• 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据交叉验证稳定域

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表并让首列逐项为正，参数只出现在 s¹ 行
• 中间结果：s¹ 行元素 10Ts−1 给出唯一约束
• 卡点：首列含参数时不要漏掉常数项 10 的符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据交叉验证稳定域
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

4根轨迹与无超调范围#

思路

• 以 K* 为可变参数；无超调意味着闭环极点全为实数，对应根轨迹的实轴段

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制前向通道增益 K* 变化时的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先列开环极点 0、−1、−2 与实轴段，再求渐近线和分离点
• 中间结果：三条渐近线夹角 ±60° 与 180°，交点在 −1
• 卡点：分离点方程两根要按是否落在根轨迹上取舍，配图需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制前向通道增益 K* 变化时的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过实轴段判据中的零极点个数算错
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 确定无超调时 K* 的范围

本卷实例

• 关键一步：无超调等价于闭环极点全为实数，对应根轨迹的实轴段
• 中间结果：分离点处的 K* 值给出无超调区间的上界
• 卡点：实轴段是 0 到分离点这一段，不要把整条负实轴都算进去

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过确定无超调时 K* 的范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过等阻尼线画成了垂直线
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5正弦稳态响应反求参数#

思路

• r=2sin t 输入、c=2sin(t-45°) 输出 → 在 ω=1 处的幅值比为 1、相位差为 -45°，联立求 a、b

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由正弦稳态的幅值比与相位差反求系统参数

本卷实例

• 关键一步：把 s=jω 代入闭环传函，同频正弦的幅值比与相位差就是频率特性
• 中间结果：ω=1 处幅值比为 1、输出相位滞后 45°
• 卡点：相位差的符号要以输出滞后为正，别写反
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由正弦稳态的幅值比与相位差反求系统参数
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

一阶系统的单位阶跃响应 时域响应与动态性能

本卷考法

• 求出 a、b 后再求单位阶跃下的输出 c(t)

本卷实例

• 关键一步：先由频率特性反求出 a、b，再对单位阶跃输入做部分分式与拉氏反变换
• 中间结果：输出由常数稳态项与两个衰减指数项叠加
• 卡点：本题已不是一阶系统，不要套一阶时间常数结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 一阶系统只有一个时间常数 T，响应单调无振荡
• 经过一个 T 达到稳态值的 63.2%，3T 达到 95%，4T 达到 98%
• 调节时间按误差带取 3T（5%）或 4T（2%）

步骤

• 把传递函数化为标准形式 1/(Ts+1)
• 读出时间常数 T
• 按误差带要求给出调节时间

通用考法

• 本卷考过求出 a、b 后再求单位阶跃下的输出 c(t)
• 求一阶系统的调节时间与上升时间
• 由响应曲线求时间常数
• 比较不同时间常数下响应快慢

常见易错

• 本卷考过增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值
• 把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
• 增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值

公式

6频率特性与校正分析#

思路

• 由渐近线读型别与增益；第 2 问是概念题：增益变大 → ωc 右移 → 快速性提高但稳定性与抗干扰性下降

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由对数幅频渐近特性曲线求开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率定型别，低频段高度或转折点高度定开环增益
• 中间结果：各转折频率分别对应一个一阶环节的时间常数
• 卡点：图中转折频率与增益读数来自截图，需回原卷核对图 6

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由对数幅频渐近特性曲线求开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过延长线交点没折算型别就当增益
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率 ωc

本卷实例

• 关键一步：在幅频渐近线上找 |G| 为 0 dB 的频率，即截止频率
• 中间结果：由渐近线各段折线可估出 ωc 落在哪个转折频率区间
• 卡点：渐近线估法与真实曲线有偏差，ωc 可能落在相邻转折频率之间

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率 ωc
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

校正的基本概念与性能指标 系统校正

本卷考法

• 分析增益变化对稳定性、快速性、抗干扰性的影响

本卷实例

• 关键一步：分别分析增益增大对 ωc、相位裕度与高频抗干扰性的连锁影响
• 中间结果：增益增大使 ωc 右移，快速性提高
• 卡点：稳定性、快速性、抗干扰性三者方向不同，要分开下结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
• 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
• 时域指标与频域指标存在对应关系
• 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标

步骤

• 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
• 画出未校正系统的 Bode 图
• 比较未校正特性与目标要求的差距
• 选择校正方式并计算校正装置参数

通用考法

• 本卷考过分析增益变化对稳定性、快速性、抗干扰性的影响
• 说明串联校正与反馈校正的适用场合
• 把时域指标折算为频域指标
• 分析未校正系统的主要缺陷

常见易错

• 本卷考过只盯相角裕度而忽略带宽要求
• 把截止频率与相位穿越频率混用
• 只盯相角裕度而忽略带宽要求

公式

7离散系统稳定性与终值#

思路

• G1=(1-e^{-Ts})/s 是零阶保持器，G2=20K/(s+20)，合成后 z 变换再判稳

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由零阶保持器与连续对象求开环脉冲传函

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器与连续对象合并做 z 变换，注意提取 (1−z⁻¹)
• 中间结果：开环脉冲传函化为 K(1−e^{−20T})/(z−e^{−20T})
• 卡点：T=0.1 s 代入指数时容易把 e^{−2} 算错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由零阶保持器与连续对象求开环脉冲传函
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过忘记把零阶保持器计入 G(z)
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求系统稳定时 K 的取值范围

本卷实例

• 关键一步：闭环特征根化成一阶形式，令其模小于 1 得到 K 的稳定范围
• 中间结果：稳定条件化为关于 K 的一次不等式
• 卡点：源文该问的区间结论 OCR 乱码，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求系统稳定时 K 的取值范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过w 变换公式记错导致映射关系颠倒
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• K=1、r(t)=1(t) 时求系统输出的终值

本卷实例

• 关键一步：先确认 K=1 时系统稳定，再用终值定理求阶跃输入的输出终值
• 中间结果：C(z) 与 R(z) 相乘后约去 (z−1) 再取极限
• 卡点：源文终值结果与约 1/2 有出入，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过K=1、r(t)=1(t) 时求系统输出的终值
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 本卷考过未判稳就用终值定理
• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

8非线性系统自振#

思路

• N(A) 是复值函数，-1/N(A) 是一条曲线；题目先给定 ∠G(jω)=-135° 定 ω，再配幅值条件定 A

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由给定 N(A) 求负倒特性 -1/N(A)

本卷实例

• 关键一步：把复值 N(A) 的实部虚部分离，再取负倒数得到 −1/N(A)
• 中间结果：负倒特性在复平面上的走向由 N(A) 的实虚部决定
• 卡点：N(A) 只含幅值 A、不含 ω，别把它当成频率函数
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由给定 N(A) 求负倒特性 -1/N(A)
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 本卷考过把描述函数当成频率的函数
• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由相角条件与幅值条件求自振参数
• 定性分析 K 增大后 A、ω 的变化规律

本卷实例

• 关键一步：先由题目给定的相角条件 −135° 定 ω，再用幅值条件配 A
• 中间结果：自振点是负倒曲线与奈氏曲线的交点
• 卡点：K 增大后 A、ω 的变化要回到交点方程判断，不能只凭曲线段猜

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由相角条件与幅值条件求自振参数
• 本卷考过定性分析 K 增大后 A、ω 的变化规律
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 本卷考过未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

9状态空间能控能观与稳定性#

思路

• 先算能控/能观判别阵的秩；u=0 时系统变成自治系统，看 A 的特征值实部符号

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控阵 [B AB] 与能观阵 [C; CA]，算秩并与阶数比较
• 中间结果：两个判别阵都满秩，系统完全能控能观
• 卡点：能观阵按行堆叠 C、CA，别与能控阵的列堆叠混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• u=0 时判断系统的稳定性

本卷实例

• 关键一步：令 u=0 得自治系统，求 A 的特征值实部符号
• 中间结果：特征多项式为 s²+3s+2，两根均负
• 卡点：源文状态方程含 OCR 多余符号，需回原卷核对 A、B 的位置

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过u=0 时判断系统的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 本卷考过只判断 V 正定就下结论而未检查导数
• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

10离散状态方程#

思路

• 离散系统的稳定性看 G 的特征值是否都在单位圆内，题目含参数 a>0 需要分类讨论

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断含参数 a 的离散状态系统稳定性并求参数范围

本卷实例

• 关键一步：把状态矩阵 G 的特征值全部放进 z 平面单位圆
• 中间结果：特征方程退化为 λ³=a/2，由模条件给出 a 的上界
• 卡点：题给 a>0，只需考虑正实根，模条件给出区间上界

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断含参数 a 的离散状态系统稳定性并求参数范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第一法由特征值判断离散状态系统的渐近稳定性

本卷实例

• 关键一步：对 x(k+1)=Gx(k) 写特征方程并求状态矩阵的特征根
• 中间结果：题中只给状态阵 G 与参数 a，按特征根模小于 1 的稳定性条件求参数范围
• 卡点：原题无输入项 B，不能按能控性判定
• 卡点：原映射误挂 sp_04，已改为 sp_07（李雅普诺夫稳定性分析）

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第一法由特征值判断离散状态系统的渐近稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式