1机械系统建模与状态空间#
思路
- 由质量弹簧阻尼系统用牛顿第二定律列微分方程，求传递函数再选状态变量写状态空间表达式
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由机械系统列写运动微分方程
本卷实例
- 关键一步：按牛顿第二定律列质量块的受力平衡方程
- 中间结果：输入为外力、输出为位移的二阶方程
- 卡点：需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过由机械系统列写运动微分方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 本卷考过阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由微分方程求传递函数
本卷实例
- 关键一步：对微分方程在零初始条件下做拉氏变换
- 中间结果：分母由质量阻尼刚度参数组成
- 卡点：无
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由微分方程求传递函数
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 本卷考过忽略零初始条件这一前提
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 选状态变量列写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：取位移与速度两个状态变量写一阶方程组
- 中间结果：加速度项写成状态与输入的组合
- 卡点：输出方程取位移
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过选状态变量列写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式