1水箱液位建模与平衡点线性化#
思路
- 由流入流出量列物料平衡动态方程，再在平衡点用最小偏差法对非线性流出量线性化
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由流入与流出的物料平衡列写水箱动态方程
本卷实例
- 关键一步：对水箱列流入减流出等于截面积乘水位变化率
- 中间结果：动态方程含流出量对水位的平方根非线性项
- 卡点：需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由流入与流出的物料平衡列写水箱动态方程
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 本卷考过流出量与水位成平方根关系却按线性处理
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 在平衡点对流出量泰勒展开取一次项得线性模型
本卷实例
- 关键一步：对流出量在平衡点展开并只保留一次项
- 中间结果：线性化后得增量水位的一阶线性方程
- 卡点：需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过在平衡点对流出量泰勒展开取一次项得线性模型
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 本卷考过未先求平衡点就直接做泰勒展开
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式