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重庆大学 844 自动控制原理 2024 年真题思维导图

985 院校共 8 题

难度:中等 八道大题覆盖运放电路建模、二阶响应反求、根轨迹与速度误差、描述函数自振、串联校正、离散系统、状态空间与极点配置;题面多依赖插图,答案段数据完整但两源均未印分值

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1运放电路建模与元件参数#

思路
  • 对两级运算放大器用虚短虚断列 s 域方程求传函,再由给定对数幅频曲线反解 R、C
电路网络与有源网络建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 由含运算放大器的电路 s 域模型求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:对每个运放用虚短与虚断列 s 域方程
  • 中间结果:两级运放级联后分子为两个一阶环节之积
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 无源网络用复阻抗分压或节点法
  • 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
  • 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
  • 画出复阻抗等效电路
  • 用分压公式或节点电流方程列写关系
  • 整理为输出与输入的比值
通用考法
  • 本卷考过由含运算放大器的电路 s 域模型求传递函数
  • RC 网络或有源滤波器求传递函数
  • 求运算电路的输出表达式
常见易错
  • 本卷考过含运放时忽略虚短与虚断导致方程数不足
  • 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
  • 把反相输入的负号漏掉
公式
本卷考法
  • 由对数幅频渐近线确定电路元件参数
本卷实例
  • 关键一步:由低频段高度与转折频率反解电阻电容组合
  • 中间结果:转折频率对应阻容乘积的倒数
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由对数幅频渐近线确定电路元件参数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 本卷考过把转折频率与时间常数直接等同
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式

2二阶系统响应与开关切换#

思路
  • 由阶跃响应曲线反求闭环传函,比较开关断开与闭合后的动态指标与稳态误差
本卷考法
  • 由单位阶跃响应曲线反求闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:由稳态值定增益、由峰值时间定自然频率
  • 中间结果:超调量由响应峰值与稳态值之比确定
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态值决定增益 K
  • 超调量只由阻尼比 ξ 决定
  • 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
  • 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
  • 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
  • 判断系统是一阶还是二阶(看有无振荡)
  • 由超调量反求 ξ,再由峰值时间反求 ωn
  • 写出标准形式并补上增益
通用考法
  • 本卷考过由单位阶跃响应曲线反求闭环传递函数
  • 由实验阶跃响应曲线求传递函数
  • 由给出的性能指标反求参数
常见易错
  • 本卷考过未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 写出二阶标准形式并求阻尼比与自然频率
本卷实例
  • 关键一步:把分母系数与二阶标准形式系数一一对应
  • 中间结果:阻尼比由超调量的对数关系确定
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过写出二阶标准形式并求阻尼比与自然频率
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 本卷考过化为标准形式时忘记把平方项系数归一化
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 比较开关断开与闭合后系统的超调量与调节时间
本卷实例
  • 关键一步:闭合前后各写闭环传函再套性能指标公式
  • 中间结果:闭合后阻尼比增大、超调量与调节时间下降
  • 卡点:调节时间按两个百分点的误差带取系数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过比较开关断开与闭合后系统的超调量与调节时间
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 本卷考过调节时间两种误差带的系数取混
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 求开关断开与闭合时单位阶跃的稳态误差和稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:先判稳再由终值定理求稳态输出
  • 中间结果:断开时稳态输出偏离给定值,误差非零
  • 卡点:误差按给定减输出定义,符号别取反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求开关断开与闭合时单位阶跃的稳态误差和稳态输出
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 本卷考过未判稳就直接使用终值定理
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

3根轨迹与速度误差系数#

思路
  • 画三极点系统根轨迹,求稳定增益范围,再判断能否满足静态速度误差系数要求
本卷考法
  • 绘制三个开环极点系统的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:由开环零点与极点定实轴段与渐近线
  • 中间结果:三条分支、渐近线交点在负实轴
  • 卡点:实轴段判据中的零极点个数要算对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过绘制三个开环极点系统的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 本卷考过渐近线夹角公式中的系数取错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求根轨迹的分离点坐标
本卷实例
  • 关键一步:令开环传递函数对增益的导数为零
  • 中间结果:两个候选分离点都落在负实轴上
  • 卡点:代入相角条件筛掉不成立的解
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹的分离点坐标
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 本卷考过求出的候选根未按根轨迹条件筛选
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
本卷考法
  • 求根轨迹与虚轴交点及稳定的开环增益范围
本卷实例
  • 关键一步:列劳斯表并由辅助方程求与虚轴的交点
  • 中间结果:稳定范围由临界参数与开环增益换算得到
  • 卡点:开环增益要由根轨迹增益折算
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及稳定的开环增益范围
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 本卷考过只代入一个频率值就下结论
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
本卷考法
  • 判断能否使静态速度误差系数达到给定值
本卷实例
  • 关键一步:写出速度误差系数与开环增益的关系再比上限
  • 中间结果:满足误差要求所需参数超过稳定上限
  • 卡点:结论要同时看误差要求与稳定域
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过判断能否使静态速度误差系数达到给定值
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 本卷考过把开环增益与静态速度误差系数混为一谈
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式

4描述函数法判定自振#

思路
  • 写非线性环节的描述函数与线性部分频率特性,由两条曲线交点判断自振并求振幅频率
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 写出非线性环节的描述函数与负倒描述函数
本卷实例
  • 关键一步:由继电特性写出描述函数 N(A)
  • 中间结果:负倒描述函数随幅值增大而减小
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过写出非线性环节的描述函数与负倒描述函数
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 本卷考过把描述函数当成频率的函数
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 画两条曲线判断自振并求振幅与频率
本卷实例
  • 关键一步:令线性部分相角为负一百八十度求交点频率
  • 中间结果:两曲线相交处对应系统的自振点
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过画两条曲线判断自振并求振幅与频率
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 本卷考过画的是描述函数而不是它的负倒数
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式

5串联校正与三频段分析#

思路
  • 由校正后对数幅频曲线反求校正装置,用三频段理论比较校正前后性能并求裕度
本卷考法
  • 由校正后对数幅频曲线反求校正装置传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先由曲线写出校正后开环,再与已知原开环相除
  • 中间结果:校正装置同时含积分环节与超前环节
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由校正后对数幅频曲线反求校正装置传递函数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 本卷考过校正前后传函相除时漏掉原有环节
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
本卷考法
  • 用三频段理论分析校正前后各频段性能
本卷实例
  • 关键一步:按低、中、高三个频段分别比较增益与斜率
  • 中间结果:校正改善低频精度与中频动态但降低抗噪
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
  • 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
  • 时域指标与频域指标存在对应关系
  • 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标
步骤
  • 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
  • 画出未校正系统的 Bode 图
  • 比较未校正特性与目标要求的差距
  • 选择校正方式并计算校正装置参数
通用考法
  • 本卷考过用三频段理论分析校正前后各频段性能
  • 说明串联校正与反馈校正的适用场合
  • 把时域指标折算为频域指标
  • 分析未校正系统的主要缺陷
常见易错
  • 本卷考过只谈中频段而忽略低频与高频段变化
  • 把截止频率与相位穿越频率混用
  • 只盯相角裕度而忽略带宽要求
公式
本卷考法
  • 说明期望特性法中频段宽度与稳定裕度的关系
本卷实例
  • 关键一步:由期望开环特性反写校正装置特性
  • 中间结果:中频段以负二十分贝每十倍频程穿过零分贝线
  • 卡点:反写特性要检查是否物理可实现
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 期望特性法直接按指标画出希望的开环对数幅频特性
  • 用期望特性减去未校正特性得到校正装置特性
  • 关键是确定低频段高度、中频段宽度与高频段斜率
  • 中频段斜率一般取 -20 dB/dec 并保持足够宽度
步骤
  • 按稳态要求确定低频段斜率与高度
  • 按相角裕度要求确定中频段宽度与截止频率
  • 按抗噪要求确定高频段斜率
  • 相减求得校正装置并检验可实现性
通用考法
  • 本卷考过说明期望特性法中频段宽度与稳定裕度的关系
  • 用期望特性法设计校正装置
  • 说明中频段宽度与相角裕度的关系
  • 由校正装置特性反写传递函数
常见易错
  • 本卷考过期望特性的中频段取窄导致裕度不足
  • 期望特性的中频段取窄导致裕度不足
  • 相减后得到的特性不可物理实现却未检查
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求校正前后系统的截止频率与相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:由各段渐近线求出幅值为 1 处的频率
  • 中间结果:校正后截止频率提高而相角裕度发生变化
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求校正前后系统的截止频率与相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 本卷考过把截止频率与相位穿越频率用反
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

6离散系统脉冲传函与判稳#

思路
  • 求含零阶保持器系统的闭环脉冲传函,用朱利判据判稳并求单位阶跃下的稳态误差
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求含零阶保持器采样系统的闭环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:把连续部分与零阶保持器合并后做 z 变换
  • 中间结果:开环脉冲传函化为 z 的有理分式
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求含零阶保持器采样系统的闭环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 本卷考过把无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 用朱利判据判断闭环离散系统的稳定性
本卷实例
  • 关键一步:写闭环特征方程后列朱利表判断
  • 中间结果:特征根全部落在单位圆内系统稳定
  • 卡点:朱利判据的不等式要同时成立
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过用朱利判据判断闭环离散系统的稳定性
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 本卷考过把稳定条件写成实部小于零
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式
离散系统的稳态误差 离散控制系统
本卷考法
  • 求单位阶跃输入下离散系统的稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:由闭环脉冲传函写误差传函再用终值定理
  • 中间结果:一型离散系统对阶跃输入的稳态误差为零
  • 卡点:先确认系统稳定再求极限
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
  • 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
  • 用终值定理求稳态误差,前提是系统稳定
  • 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
  • 求误差脉冲传递函数
  • 数出 z=1 处极点重数确定型别
  • 查表或用终值定理求稳态误差
  • 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
  • 本卷考过求单位阶跃输入下离散系统的稳态误差
  • 求离散系统在典型输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
  • 本卷考过未判稳就套用终值定理
  • 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
  • 未判稳就用终值定理
公式

7状态空间转移矩阵与稳定性#

思路
  • 由二阶状态空间表达式求状态转移矩阵与传函,求完全可测条件并用李雅普诺夫判稳
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 求二阶系统的状态转移矩阵
本卷实例
  • 关键一步:求预解矩阵后作拉氏反变换
  • 中间结果:状态转移矩阵由两个指数项组合而成
  • 卡点:可用零时刻为单位阵检验结果
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过求二阶系统的状态转移矩阵
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 本卷考过矩阵求逆时未先检查行列式是否为零
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式
本卷考法
  • 由状态空间表达式求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按输出矩阵、预解矩阵与输入矩阵顺序相乘
  • 中间结果:传函分子与能观性判据共用同一参数
  • 卡点:注意约去零极点对消后再读阶数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 本卷考过计算时漏掉直接传递项
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 求使系统完全可测的参数条件
本卷实例
  • 关键一步:写能观性矩阵并令其行列式不为零
  • 中间结果:参数取特定值时系统不完全可测
  • 卡点:判据由转置矩阵构造,别写成能控阵
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过求使系统完全可测的参数条件
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫第二法判断系统稳定性
本卷实例
  • 关键一步:解李雅普诺夫方程求对称正定矩阵 P
  • 中间结果:P 正定且其导数负定对应渐近稳定
  • 卡点:李雅普诺夫方程中 P、Q 角色别混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫第二法判断系统稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 本卷考过只判矩阵 P 正定而未检查其导数
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式

8框图建模与状态反馈极点配置#

思路
  • 由控制系统框图列状态空间表达式,判能控后用状态反馈把极点配置到给定位置
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由控制系统框图列写状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:对每个积分器的输出设状态变量并列方程
  • 中间结果:状态矩阵为三阶、输入矩阵仅最后一个分量非零
  • 卡点:需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由控制系统框图列写状态空间表达式
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 本卷考过状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 判断并求状态反馈使极点位于给定位置
本卷实例
  • 关键一步:先由能控性矩阵的秩判可配置再比较系数
  • 中间结果:期望极点由闭环特征多项式展开
  • 卡点:反馈增益正负号要与反馈极性对应
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过判断并求状态反馈使极点位于给定位置
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式