1一、参数根轨迹、分离点与阶跃响应#
思路
- 由系统结构图求闭环特征式并分离出参数，整理成等效开环传函后绘制参数根轨迹，再用重根条件求分离点及其增益，该增益下闭环出现重极点后求阶跃响应
广义根轨迹与参数根轨迹
根轨迹法
本卷考法
- 由含参数的闭环特征式整理出等效开环并绘制参数根轨迹
本卷实例
- 关键一步：由闭环特征式分离出参数，写出等效开环的幅值条件
- 中间结果：等效开环为参数乘一个零点除以三阶极点因子
- 卡点：系统结构图以图给出，等效开环零极点需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
- 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
- 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
- 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
- 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
- 按常规根轨迹法则绘制
- 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
- 本卷考过由含参数的闭环特征式整理出等效开环并绘制参数根轨迹
- 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
- 绘制正反馈系统的零度根轨迹
- 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
- 本卷考过没有把参数提到分子的标准位置就套一百八十度相角条件
- 整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 按绘制法则确定实轴段、渐近线与夹角
本卷实例
- 关键一步：按极点数与零点数之差确定渐近线条数与夹角
- 中间结果：三个极点一个零点，渐近线交点在实轴上
- 卡点：渐近线夹角公式分子是二k加一
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过按绘制法则确定实轴段、渐近线与夹角
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 本卷考过渐近线夹角公式分子二k加一写成二k
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点
根轨迹法
本卷考法
- 由重根条件求根轨迹分离点坐标
本卷实例
- 关键一步：令增益对复变量求导为零或用重根条件建立分离点方程
- 中间结果：分离点方程为各开环极点倒数与零点倒数的关系式
- 卡点：方程出现重根时要单独说明，并用实轴段判据筛选
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
- 分离点必满足 dK/ds=0
- 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
- 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
- 令 dK/ds=0 得分离点方程
- 解方程并用实轴段判据筛选
- 代回求分离点处的 K 值
通用考法
- 本卷考过由重根条件求根轨迹分离点坐标
- 求根轨迹的分离点坐标
- 确定分离点处的临界增益
- 判断解的取舍
常见易错
- 本卷考过求出方程根后不筛选就当作分离点
- 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
- 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
零极点分布与响应模态
传递函数
本卷考法
- 由分离点增益下的重极点写出阶跃响应表达式
本卷实例
- 关键一步：把该增益代入闭环传函，约简成二重极点形式
- 中间结果：响应含时间乘负指数项，即临界阻尼型
- 卡点：第二问的输入与待求量在 OCR 中残缺，需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过由分离点增益下的重极点写出阶跃响应表达式
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 本卷考过只看极点分布就断定振荡，忽略重极点对应的模态
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
公式