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河北工业大学 897 自动控制理论(含现控) 2015 年真题思维导图

211 院校共 14 题合计 150 分

难度:中等 十道大题:简答三问、输入与扰动共同作用下的稳态误差、奈奎斯特判稳与正弦稳态反求参数、状态运动表达式证明、采样系统输出与判稳、参数根轨迹与闭环极点、描述函数法自振、状态空间与能控标准型及坐标变换、两个非线性系统的平衡点稳定性、状态反馈与全状态观测器设计。多数题以结构图给出,需结合图形条件。

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一1一1、稳态误差与稳定性的关系5 分#

思路
  • 由误差定义判断误差无穷大是否意味着闭环不稳定。
本卷考法
  • 说明稳态误差与闭环稳定性之间无固定对应关系
本卷实例
  • 关键一步:由误差极限定义判断误差仅反映复现精度
  • 中间结果:误差无穷大时系统仍可能稳定
  • 卡点:勿把误差大小当作稳定性判据
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差有两种定义:输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s),须看清题意
  • 误差传递函数由结构决定
  • 单位反馈时两种定义等价
步骤
  • 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
  • 由结构图写出误差传递函数
  • 乘输入后取 s→0 的极限
通用考法
  • 本卷考过说明稳态误差与闭环稳定性之间无固定对应关系
  • 写出误差传递函数
  • 说明不同误差定义对结果的影响
常见易错
  • 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
  • 忘记先判断系统是否稳定
公式
本卷考法
  • 从被控量与期望值之差说明稳态误差的含义
本卷实例
  • 关键一步:用输出实际值与期望值之差定义误差
  • 中间结果:误差由系统结构与输入类型共同决定
  • 卡点:不同误差定义会改变误差表达式
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过从被控量与期望值之差说明稳态误差的含义
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半

一2一2、传递函数实现与状态空间传函的唯一性5 分#

思路
  • 区分由状态空间求传函唯一、而传函的实现不唯一。
本卷考法
  • 判断由状态空间表达式求得的传递函数是否唯一
本卷实例
  • 关键一步:给定 A、B、C、D 后传函由预解矩阵乘积唯一确定
  • 中间结果:一个传函可对应无穷多状态空间实现
  • 卡点:勿把实现不唯一误当成传函不唯一
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过判断由状态空间表达式求得的传递函数是否唯一
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
本卷考法
  • 说明传递函数描述的是零初始条件下的输入输出关系
本卷实例
  • 关键一步:明确传函定义以零初始条件为前提
  • 中间结果:外部等价不要求内部状态结构相同
  • 卡点:内部结构不同但外部传函可相同
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 定义:零初始条件下,输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
  • 只由系统结构与参数决定,与输入形式无关
  • 分母为特征多项式,其根是极点;分子的根是零点
  • 工程可实现系统必为真分式(分子阶数 ≤ 分母阶数)
步骤
  • 对微分方程两边取拉氏变换,初始条件全部置零
  • 把输出项移到左边、输入项移到右边
  • 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
  • 本卷考过说明传递函数描述的是零初始条件下的输入输出关系
  • 由微分方程直接写出传递函数
  • 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
  • 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
  • 忽略“零初始条件”这一前提,把初始值带进变换结果
  • 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式

一3一3、串联滞后校正装置及其作用5 分#

思路
  • 写出滞后网络传函并说明其压低截止频率改善相角裕度。
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 写出串联滞后校正网络的传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按分子时间常数小于分母写出滞后网络
  • 中间结果:低频增益保持、高频幅值被衰减
  • 卡点:两个转折频率写反会变成超前网络
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过写出串联滞后校正网络的传递函数
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式
本卷考法
  • 说明滞后校正改善动态性能的机理
本卷实例
  • 关键一步:用高频段衰减换取相角裕度提升
  • 中间结果:截止频率左移使响应速度有所下降
  • 卡点:注意快速性与裕度之间的折衷
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
  • 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
  • 时域指标与频域指标存在对应关系
  • 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标
步骤
  • 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
  • 画出未校正系统的 Bode 图
  • 比较未校正特性与目标要求的差距
  • 选择校正方式并计算校正装置参数
通用考法
  • 本卷考过说明滞后校正改善动态性能的机理
  • 说明串联校正与反馈校正的适用场合
  • 把时域指标折算为频域指标
  • 分析未校正系统的主要缺陷
常见易错
  • 把截止频率与相位穿越频率混用
  • 只盯相角裕度而忽略带宽要求
公式

二二、输入与扰动共同作用下的稳态误差15 分#

思路
  • 分别求给定与扰动两路误差,按叠加反求前馈系数。
本卷考法
  • 求扰动作用下的稳态误差并处理参考输入置零
本卷实例
  • 关键一步:求扰动误差时把参考输入通道置零
  • 中间结果:扰动误差由扰动点到误差点的传函决定
  • 卡点:勿把扰动误差直接当成总误差
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
  • 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
  • 增大扰动点前的增益可减小扰动误差
步骤
  • 令参考输入为零,求扰动到误差的传递函数
  • 代入扰动信号求稳态值
  • 与输入引起的误差叠加
通用考法
  • 本卷考过求扰动作用下的稳态误差并处理参考输入置零
  • 求扰动引起的稳态误差
  • 比较扰动与输入对误差的不同影响
  • 分析提高前向增益的作用
常见易错
  • 把扰动误差直接当作总误差,遗漏输入分量
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 结构图含两路输入时分别列写传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按叠加原理分别追踪两路信号通路
  • 中间结果:总误差为给定误差与扰动误差之和
  • 卡点:叠加前需确认系统为线性
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 线性系统可用叠加原理,每次只保留一个输入
  • 求扰动的传递函数时令参考输入为零
  • 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加
步骤
  • 令 R(s)=0,求扰动到输出的传递函数
  • 令 N(s)=0,求输入到输出的传递函数
  • 按题目要求叠加或单独分析
通用考法
  • 本卷考过结构图含两路输入时分别列写传递函数
  • 求扰动引起的输出或误差
  • 分析满足扰动不变性的补偿条件
常见易错
  • 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 由斜坡输入的稳态误差限反求前馈系数
本卷实例
  • 关键一步:用终值定理写出组合误差的极限式
  • 中间结果:令组合误差极限为零可定前馈系数
  • 卡点:先判断稳定再用终值定理
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过由斜坡输入的稳态误差限反求前馈系数
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

三1三1、奈奎斯特曲线与闭环稳定条件10 分#

思路
  • 由开环传函画奈氏曲线,按两个时间常数大小判断包围情况。
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 由幅相曲线判断含积分环节系统的闭环稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先数开环右半平面极点数再补画辅助线
  • 中间结果:曲线对负实轴的穿越决定闭环稳定条件
  • 卡点:含积分环节须补画无穷大半径圆弧
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过由幅相曲线判断含积分环节系统的闭环稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
本卷考法
  • 由开环传函写出幅相频率特性
本卷实例
  • 关键一步:由幅频与相频表达式考察起止段
  • 中间结果:曲线所在象限由两个时间常数大小决定
  • 卡点:参数大小关系改变时曲线形状不同
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过由开环传函写出幅相频率特性
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式

三2三2、由正弦稳态输出反求二阶参数5 分#

思路
  • 用闭环幅频等于幅值比、相频等于相位差联立求参数。
本卷考法
  • 由正弦输入的幅值比与相位差反求系统参数
本卷实例
  • 关键一步:写出闭环幅频与相频并代入给定频率
  • 中间结果:幅值比为一、相位差为四十五度
  • 卡点:相位差正负与超前滞后关系勿反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由正弦输入的幅值比与相位差反求系统参数
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 把二阶闭环传函化为标准形式求 ωn 与 ξ
本卷实例
  • 关键一步:对照标准二阶形式分离自然频率与阻尼比
  • 中间结果:分母常数项与自然频率平方对应
  • 卡点:先归一化 s 平方项系数再比较
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过把二阶闭环传函化为标准形式求 ωn 与 ξ
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式

四四、状态运动表达式的拉普拉斯变换证明10 分#

思路
  • 对状态方程取拉氏变换求解后反变换,得零输入与卷积项。
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 用拉普拉斯变换证明状态运动的解析表达式
本卷实例
  • 关键一步:对状态方程取拉氏变换并解出状态像函数
  • 中间结果:反变换后拆成零输入与零状态两项
  • 卡点:卷积项来自预解矩阵与输入的乘积
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过用拉普拉斯变换证明状态运动的解析表达式
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式

五五、采样系统输出响应与稳定性15 分#

思路
  • 求闭环脉冲传函,长除法算前几拍输出,再由特征根模判稳。
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 由采样系统结构图求闭环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:分别求前向通道与反馈通道的 z 变换
  • 中间结果:闭环脉冲传函写成 z 的有理分式
  • 卡点:采样开关位置影响传函, 需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过由采样系统结构图求闭环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
z 变换与 z 反变换 离散控制系统
本卷考法
  • 由闭环像函数展开求采样点输出序列
本卷实例
  • 关键一步:用长除法或部分分式展开求前几拍
  • 中间结果:输出序列由 z 的幂次系数给出
  • 卡点:零时刻输出对应展开式的常数项
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • z 变换是离散信号的拉氏变换,令 z=e^{Ts} 得到
  • 常用函数的 z 变换要熟记
  • z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
  • 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
  • 将连续传递函数展开为部分分式
  • 逐项查表做 z 变换
  • 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
  • 本卷考过由闭环像函数展开求采样点输出序列
  • 求给定函数的 z 变换
  • 求 z 反变换得到采样序列
  • 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
  • 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
  • 部分分式分解时漏项导致反变换出错
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 由闭环特征根模判断采样系统稳定性
本卷实例
  • 关键一步:解闭环特征方程得到两个根
  • 中间结果:两根模均小于一才稳定
  • 卡点:模大于一的根对应发散响应
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征根模判断采样系统稳定性
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式

六六、参数根轨迹与闭环极点20 分#

思路
  • 由闭环极点代特征方程定参数,再按法则画参数根轨迹。
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由给定闭环极点代入特征方程求系统参数
本卷实例
  • 关键一步:把共轭极点代入特征方程分离实虚部
  • 中间结果:得到关于两个待定参数的方程组
  • 卡点:极点代入须对实部与虚部分别列式
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由给定闭环极点代入特征方程求系统参数
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
本卷考法
  • 以增益参数为变量绘制 180 度根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:把可变参数提到分子写成幅值为一的形式
  • 中间结果:根轨迹含一个开环零点与两个重极点
  • 卡点:开环结构与图有关, 需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
  • 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
  • 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
  • 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
  • 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
  • 按常规根轨迹法则绘制
  • 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
  • 本卷考过以增益参数为变量绘制 180 度根轨迹
  • 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
  • 绘制正反馈系统的零度根轨迹
  • 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
  • 整理时没有把参数完整地提到分子位置
  • 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
本卷考法
  • 按绘制法则写渐近线、分离点与实轴段
本卷实例
  • 关键一步:按零极点分布确定渐近线交点与夹角
  • 中间结果:分离点由 dK/ds 为零求取
  • 卡点:求出的分离点须落在根轨迹上
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按绘制法则写渐近线、分离点与实轴段
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 由一个闭环极点反求系统其余极点
本卷实例
  • 关键一步:由特征方程根与系数关系求另一根
  • 中间结果:确定全部极点后回代得对应增益
  • 卡点:注意重极点情形的计数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由一个闭环极点反求系统其余极点
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式

七七、描述函数法分析自激振荡10 分#

思路
  • 画负倒描述函数与线性部分奈氏曲线,由交点求自振参数。
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 写出非线性环节的负倒描述函数特性
本卷实例
  • 关键一步:由给定描述函数写出负倒特性
  • 中间结果:负倒特性随振幅增大单调变化
  • 卡点:描述函数法限于一次谐波近似
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过写出非线性环节的负倒描述函数特性
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 由两条曲线交点判断自振并求频率振幅
本卷实例
  • 关键一步:联立相角条件与幅值条件求交点
  • 中间结果:交点对应自振频率与振幅
  • 卡点:交点走向需回原卷核对图确认
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过由两条曲线交点判断自振并求频率振幅
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式

八八、状态空间、能控标准Ⅰ型与坐标变换14 分#

思路
  • 由图列状态方程,判能控后化能控标准Ⅰ型,再按变换阵改写。
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由系统结构图列写状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:为每个积分环节选取一个状态变量
  • 中间结果:整理成标准的状态方程与输出方程
  • 卡点:状态变量个数须与系统阶数一致
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由系统结构图列写状态空间表达式
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 构造能控性判别矩阵并判断能控性
本卷实例
  • 关键一步:按 B、AB、A²B 依次排列构造判别矩阵
  • 中间结果:判别矩阵满秩则系统完全能控
  • 卡点:秩须等于状态变量维数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过构造能控性判别矩阵并判断能控性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 写能控标准Ⅰ型并按给定关系作坐标变换
本卷实例
  • 关键一步:用特征多项式系数构造友矩阵
  • 中间结果:变换阵由能控矩阵与规范阵相乘得到
  • 卡点:变换后输出矩阵需同步改写
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过写能控标准Ⅰ型并按给定关系作坐标变换
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式

九1九1、非线性系统平衡点稳定性(系统一)8 分#

思路
  • 求平衡点后逐点线性化,由雅可比矩阵特征值判局部稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫第一法判断非线性系统平衡点稳定性
本卷实例
  • 关键一步:令两个状态导数同时为零求平衡点
  • 中间结果:在平衡点处线性化得到雅可比矩阵
  • 卡点:特征值有正实部即该点不稳定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫第一法判断非线性系统平衡点稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
非线性系统的特点 非线性系统
本卷考法
  • 非线性系统的稳定性需逐平衡点分别考察
本卷实例
  • 关键一步:对每个平衡点分别线性化而不是只查原点
  • 中间结果:同一系统不同平衡点的稳定性可不同
  • 卡点:特征值含零实部时第一法失效
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 不满足叠加原理,输出与初始条件、输入幅值都有关
  • 可能出现自持振荡即极限环
  • 响应可能对初始条件敏感,出现跳跃谐振
  • 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性
步骤
  • 确认系统含明显非线性环节
  • 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
  • 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法
通用考法
  • 本卷考过非线性系统的稳定性需逐平衡点分别考察
  • 说明非线性系统与线性系统的本质差别
  • 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
  • 判断某系统应选用哪种分析方法
常见易错
  • 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
  • 认为非线性系统一定不稳定

九2九2、非线性系统平衡点稳定性(系统二)8 分#

思路
  • 第二个系统先求唯一平衡点,再线性化判稳。
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 对第二个系统线性化判断原点稳定性
本卷实例
  • 关键一步:令导数为零求出唯一平衡点
  • 中间结果:雅可比矩阵在原点处呈下三角
  • 卡点:两个特征值都为负才渐近稳定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过对第二个系统线性化判断原点稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式

十十、状态反馈极点配置与全维观测器20 分#

思路
  • 判能控能观后,按期望极点配置反馈阵与观测器增益阵。
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 由超调量与自然频率确定期望极点并配置反馈阵
本卷实例
  • 关键一步:由二阶指标反解阻尼比与自然频率
  • 中间结果:比较期望与闭环特征多项式定反馈增益
  • 卡点:未验证能控性不得直接配置极点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过由超调量与自然频率确定期望极点并配置反馈阵
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式
状态观测器设计 状态空间分析
本卷考法
  • 按指定极点配置全维状态观测器
本卷实例
  • 关键一步:由观测器特征多项式比较系数求增益阵
  • 中间结果:观测器增益由期望极点多项式确定
  • 卡点:观测器极点通常取得比闭环极点更远
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态观测器用输出与输入重构状态,前提是系统能观
  • 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
  • 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
  • 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
  • 验证系统能观性
  • 写出观测器方程并求误差动态矩阵
  • 按期望特征多项式比较系数求出 L
  • 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
  • 本卷考过按指定极点配置全维状态观测器
  • 设计全维状态观测器
  • 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
  • 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
  • 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
  • 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 设计前分别判断系统能控性与能观性
本卷实例
  • 关键一步:分别构造能控与能观判别矩阵
  • 中间结果:两个判别矩阵满秩是设计前提
  • 卡点:能控与能观是两套独立判据
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过设计前分别判断系统能控性与能观性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式