杭州电子科技大学 861 自动控制理论（含现控） 2020 年真题思维导图

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难度：中等偏易　11 道计算题各自成块：无源网络建模、结构图求传函、测速反馈与扰动误差、相对稳定度、根轨迹、Bode 图反求传函、奈氏判据与临界增益、滞后校正、描述函数法、状态稳定性与转移矩阵、能控能观与极点配置。

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11、无源网络建模求传递函数#

思路

• 按串联电路电流相同与分压关系列方程，在s域整理成输出电压与输入电压之比。

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由R、C无源网络求输入输出传递函数

本卷实例

• 关键一步：用串联分压关系写出输出端与总电压之比
• 中间结果：传函为一阶形式，分子分母各含一个时间常数
• 卡点：电容复阻抗容易误写成Cs

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由R、C无源网络求输入输出传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

电路网络与有源网络建模 建模与机电系统

本卷考法

• 用复阻抗法建立电路网络模型

本卷实例

• 关键一步：在s域把各元件写成复阻抗后列回路关系
• 中间结果：输出电压等于串联支路分压
• 卡点：元件连接只以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 无源网络用复阻抗分压或节点法
• 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
• 有源滤波器与 RC 网络是常见载体

步骤

• 画出复阻抗等效电路
• 用分压公式或节点电流方程列写关系
• 整理为输出与输入的比值

通用考法

• 本卷考过用复阻抗法建立电路网络模型
• RC 网络或有源滤波器求传递函数
• 求运算电路的输出表达式

常见易错

• 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
• 把反相输入的负号漏掉

公式

22、系统结构图求传递函数#

思路

• 用梅森增益公式或结构图等效化简求闭环传递函数。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由多回路结构图求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：先找全部单独回路再写特征式
• 中间结果：特征式等于一减各回路增益加不接触回路增益积
• 卡点：多回路结构图的回路辨识需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由多回路结构图求闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 用等效化简法求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按串并联与反馈关系逐层合并
• 中间结果：负反馈闭环分母为1加开环乘积
• 卡点：反馈极性判断错误会使分母符号反号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过用等效化简法求闭环传递函数
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

33、测速反馈参数选择与扰动稳态误差#

思路

• 由结构图写闭环传函并对照二阶标准形式求反馈系数，再写扰动误差传函求稳态误差。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比要求确定测速反馈系数（第1问）

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函化成标准二阶形式再对应系数
• 中间结果：反馈系数由阻尼比与自然频率的关系解出
• 卡点：结构图只以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由阻尼比要求确定测速反馈系数（第1问）
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动信号引起的稳态误差（第2问）

本卷实例

• 关键一步：把参考输入置零后写扰动误差传函
• 中间结果：扰动误差由误差传函与扰动拉氏变换的乘积决定
• 卡点：把扰动误差与给定误差混在一起求

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动信号引起的稳态误差（第2问）
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

减小稳态误差的措施 稳态误差

本卷考法

• 分析反馈系数对扰动误差的影响（第3问）

本卷实例

• 关键一步：观察误差传函中参数出现的位置
• 中间结果：扰动误差是否可消除由扰动信号阶次与误差传函零点共同决定
• 卡点：只调整增益而不检查误差传函结构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
• 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
• 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
• 采用扰动补偿可提高扰动不变性

步骤

• 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
• 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
• 校验补偿后系统仍然稳定
• 重新计算稳态误差确认达标

通用考法

• 本卷考过分析反馈系数对扰动误差的影响（第3问）
• 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
• 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
• 说明为何单纯提高增益不可行

常见易错

• 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
• 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调

公式

44、闭环极点全部位于s=-1左侧的K范围#

思路

• 作变量代换把相对稳定度条件化为原点稳定问题，再对代换后的特征方程用劳斯判据。

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使闭环极点全部位于指定竖线左侧的参数范围

本卷实例

• 关键一步：令s等于z减1把竖线条件平移到虚轴
• 中间结果：参数范围由平移后特征方程的劳斯表首列决定
• 卡点：代换后忘记把常数项重新整理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使闭环极点全部位于指定竖线左侧的参数范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 对平移后的特征方程使用劳斯判据

本卷实例

• 关键一步：按z的特征方程系数逐行列劳斯表
• 中间结果：首列全正等价于全部特征根位于s等于负1左侧
• 卡点：端点是否可取的判断容易漏掉

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过对平移后的特征方程使用劳斯判据
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

55、根轨迹绘制与特征点求解#

思路

• 按法则画常规根轨迹，再求实轴段、渐近线、分离点与虚轴交点。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画出闭环根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先由根轨迹条数与渐近线定大致走向
• 中间结果：三条根轨迹起始于三个开环极点
• 卡点：渐近线交点计算时极点与零点求和要分清

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画出闭环根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹的分离点坐标

本卷实例

• 关键一步：用分离点方程求出根后逐一筛选
• 中间结果：只有落在实轴根轨迹段上的根才是分离点
• 卡点：舍弃解的理由必须写清否则容易误判

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹的分离点坐标
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点

本卷实例

• 关键一步：令特征方程中s等于jω并拆实虚部
• 中间结果：交点的频率与临界增益由两个方程联立确定
• 卡点：求交点时容易只保留频率解而漏掉增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

66、由对数渐近幅频曲线反求传函#

思路

• 由低频段斜率确定型别，由各转折频率确定对应环节，再由某点幅值确定增益。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由最小相位系统开环对数渐近幅频曲线写传递函数

本卷实例

• 关键一步：按各段斜率变化识别积分与一阶微分、惯性环节
• 中间结果：开环传函为型别、增益与若干一阶环节的串乘
• 卡点：曲线只以图给出，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由最小相位系统开环对数渐近幅频曲线写传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

77、奈氏图绘制、判稳与临界增益#

思路

• 写开环频率特性求起点终点与负实轴交点，用奈氏判据判稳，再令临界条件求开环增益。

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断系统稳定性（第1问）

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半面极点数再数包围圈数
• 中间结果：包围圈数与P的关系决定闭环右半面极点数
• 卡点：曲线与负实轴交点位置的读取需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断系统稳定性（第1问）
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求频率特性与负实轴的交点及临界增益（第2问）

本卷实例

• 关键一步：令相频等于负180度解出交点频率
• 中间结果：临界增益由交点处幅值等于1的条件反求
• 卡点：求交点时容易把相位条件与幅值条件顺序弄反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求频率特性与负实轴的交点及临界增益（第2问）
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

88、滞后校正前后对数幅频与相角裕度#

思路

• 画校正装置与校正前后开环伯德图，由截止频率求相角裕度，再判断校正装置类型与作用。

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制校正装置与校正前后开环对数幅频特性（第1问）

本卷实例

• 关键一步：由校正装置零极点位置确定高低频段幅值变化
• 中间结果：校正装置在高频段衰减、低频段保持增益
• 卡点：转折频率顺序写反会导致幅频曲线形状错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制校正装置与校正前后开环对数幅频特性（第1问）
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由校正后剪切频率求相角裕度（第2问）

本卷实例

• 关键一步：把剪切频率代入校正后开环相频特性
• 中间结果：相角裕度为180度加上该频率处的相位
• 卡点：校正装置自身的相位滞后容易漏算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由校正后剪切频率求相角裕度（第2问）
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 判别校正装置类型并说明其作用（第3问）

本卷实例

• 关键一步：比较校正装置分子分母时间常数的相对大小
• 中间结果：分母时间常数更大时低频增益高、高频衰减
• 卡点：滞后校正会降低截止频率从而减慢响应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过判别校正装置类型并说明其作用（第3问）
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

99、描述函数法判断极限环与参数影响#

思路

• 由负倒描述函数与线性部分曲线的交点判断极限环稳定性，求自振频率与开环增益，再讨论增益变化的影响。

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 判断交点处极限环稳定性并求自振参数（第1问）

本卷实例

• 关键一步：看交点处负倒描述函数的振幅增大方向
• 中间结果：从不稳定区穿入稳定区对应稳定极限环
• 卡点：交点频率需借助线性部分相频条件确定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过判断交点处极限环稳定性并求自振参数（第1问）
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由负倒描述函数分析增益变化对自振的影响（第2问）

本卷实例

• 关键一步：把增益变化体现为线性部分曲线整体缩放
• 中间结果：增益增大使交点沿负倒特性移动从而改变振幅与频率
• 卡点：只定性说振幅变化而漏说频率变化

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由负倒描述函数分析增益变化对自振的影响（第2问）
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

1010、渐近稳定性、状态转移矩阵与传递函数#

思路

• 先由A的特征值判断渐近稳定性，再求状态转移矩阵，最后按C(sI-A)的逆B求传递函数。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 由状态矩阵特征值判断系统渐近稳定性（第1问）

本卷实例

• 关键一步：求A的特征值看是否全在左半开平面
• 中间结果：特征值实部全负对应渐近稳定
• 卡点：把矩阵元素符号直接当特征值符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过由状态矩阵特征值判断系统渐近稳定性（第1问）
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求系统的状态转移矩阵（第2问）

本卷实例

• 关键一步：对(sI-A)求逆后作拉氏反变换
• 中间结果：转移矩阵为对角元由指数函数组成的形式
• 卡点：矩阵求逆时伴随矩阵元素位置容易写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求系统的状态转移矩阵（第2问）
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数（第3问）

本卷实例

• 关键一步：按C(sI-A)的逆B计算并约简
• 中间结果：传函分母对应A的特征多项式
• 卡点：传递函数约简时可能发生零极点对消

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数（第3问）
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

1111、能控能观性判断与状态反馈极点配置#

思路

• 先写能控性与能观性矩阵判断满秩，再设状态反馈增益阵由特征多项式比较系数配置极点。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性（第1问）

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控性矩阵与能观性矩阵并求秩
• 中间结果：两个矩阵满秩则系统既能控又能观
• 卡点：矩阵秩的计算容易漏掉相关行列式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性（第1问）
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点为指定值（第2问）

本卷实例

• 关键一步：比较A-bK与期望特征多项式的系数
• 中间结果：反馈增益由两组系数逐项对应解出
• 卡点：配置极点前要先确认系统能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点为指定值（第2问）
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式